工程力学第八章

1、1第 8 章轴向拉伸与压缩本章主要研究：21 引 言3 轴向拉压轴向拉压实例实例4 轴向拉压及其特点轴向拉压及其特点轴向拉压: : 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式拉 压 杆: : 以轴向拉压为主要变形的杆件以轴向拉压为主要变形的杆件52 轴力与轴力图6 轴轴 力力符号规定：拉力为正拉力为正, ,压力为负压力为负轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力通过横截面形心并沿杆件轴线的内力7 轴力计算轴力计算试分析杆的轴力试分析杆的轴力FFFF 12RFF N1段： ABFF N20N2 FF段： BC要点：逐段分析轴力；设正法求轴力要点：逐段分析轴力；设正

2、法求轴力（F1=F，F2=2F）8 轴力图轴力图 表示轴力沿杆轴变化情况的图线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图以横坐标以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。FF N1FF N29 例例 题题例 21 21 等直杆等直杆BC , 横截面面积为横截面面积为A , 材料密度为材料密度为r r , 画杆画杆的轴力图的轴力图，求最大轴力求最大轴力解：1. 轴力计算轴力计算 gxAxFr r N 00N F glAlFr r N2. 轴力图与最大轴力轴力图与最大轴力 gxAxFr r N轴力图为直线轴

3、力图为直线glAFr r maxN, 103 拉压杆的应力与圣维南原理11 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 横线仍为直线 仍垂直于杆轴 横线间距增大1.1.试验观察试验观察12AFN 2. 假设假设变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移 拉压平面假设拉压平面假设3. .正应力公式正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布公式得到试验证实公式得到试验证实13横截面上横截面上的正应力的正应力均均匀分布匀分布横截面间横截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面间斜截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面上斜截面上的应力均的应力均匀分布匀分布 拉压杆斜截面上的应

4、力拉压杆斜截面上的应力1. 1. 斜截面应力分布斜截面应力分布14 0cos , 0FApFx 2. 斜截面斜截面应力计算应力计算 coscos0AFp 20coscos p 2sin2sin0 p152045max 20cos 2sin20 00max 3. 最大应力分析最大应力分析4. 正负符号规定正负符号规定 ：以以x 轴为始边，逆时针转向轴为始边，逆时针转向者者为正为正 ：斜截面外法线斜截面外法线On沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转9090 ，与，与 该方向同向之切应力为正该方向同向之切应力为正 最大正应力发生在杆件横截面上，其值为最大正应力发生在杆件横截面上，其值为 0 最大切应力发

5、生在杆件最大切应力发生在杆件45斜截面上斜截面上, 其值为其值为 0/216 圣维南原理圣维南原理杆端应力分布17圣维南原理 力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区约距杆端 12 倍杆的横向尺寸杆端镶入底座，横杆端镶入底座，横向变形受阻，应力向变形受阻，应力非均匀分布非均匀分布应力均布区应力均布区应力非应力非均布区均布区应力非应力非均布区均布区181920 例例 题题例 3-1 已知：已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：试求：斜斜截面截面 m-m 上的应力上的应力 解：1 1. 轴力与横截面应力轴力与横截面应力FF N263N0m10400N1050

6、AFAF MPa 5 .12212. 斜截面斜截面 m-m 上的上的应力应力50 50coscos 202050 001 sin22 sin 20050 MPa 5 .120 MPa 51.6 50 MPa 61.650 224 材料在拉伸与压缩时的力学性能23 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图GB/T 228-2002金属材料室温拉伸试验方法金属材料室温拉伸试验方法dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或拉伸标准试样24拉伸试验 试验装置试验装置25 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 AFF/ lll/应力应变图应力应变图26 低碳钢的低碳钢的拉伸力学性能拉

7、伸力学性能滑移线滑移线加载过程与力学特性低碳钢低碳钢Q23527 p-比例极限比例极限 s-屈服极限屈服极限28材料的塑性000100 ll 伸长率伸长率l试验段原长（标距）试验段原长（标距） l0试验段残余变形试验段残余变形 塑性塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力29001100 AAA 断面收缩率断面收缩率塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积A1断口的横截面面积断口的横截面面积 塑性与脆性材料塑性

8、与脆性材料30 其它材料的拉伸力学性能其它材料的拉伸力学性能 /%/% / /MPa30铬锰硅钢铬锰硅钢50钢钢硬铝硬铝塑性金属材料拉伸 0.2名义屈服极限名义屈服极限31灰口铸铁拉伸断口与轴线垂直断口与轴线垂直32灰口铸铁压缩 b)c= 3 4 ( b)t断口与轴线约成断口与轴线约成45o335 应力集中概念34 应力集中与应力集中因数应力集中与应力集中因数由于截面急剧变化引起应力局部增大现象由于截面急剧变化引起应力局部增大现象应力集中应力集中应力集中35应力集中因数nmax K max最大局部应力最大局部应力 n 名义应力名义应力 )(ndbF 板厚板厚36 交变应力与材料疲劳概念交变应力

9、与材料疲劳概念随时间循环或交替变化的应力随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力连杆连杆37N应力循环数应力循环数 / /MPa b s疲劳破坏在交变应力作用下，材料或构件产生可见在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的现象裂纹或完全断裂的现象，称为，称为 疲劳破坏在在循环循环应力作用下应力作用下，虽然小于强度极限，虽然小于强度极限，但经历应但经历应力的多次循环后，构件将力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂产生可见裂纹或完全断裂钢拉伸疲劳断裂钢拉伸疲劳断裂38 应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展

10、, 对构件（塑对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大性与脆性材料）的疲劳强度影响极大 对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度分布趋于均匀化，不影响构件静强度 对于脆性材料构件，当对于脆性材料构件，当 max b 时，构件断裂时，构件断裂396 许用应力与强度条件40 失效与许用应力失效与许用应力断裂与屈服，相应极限应力断裂与屈服，相应极限应力脆性材料塑性材料-bsu 构件工作应力的最大容许值构件工作应力的最大容许值nu n 1 安全因安全因数数脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料-bbssnn 静荷失效许用应

11、力41 轴向拉压轴向拉压强度条件强度条件保证保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件拉压杆不致因强度不够而破坏的条件 maxNmax AF maxN, AF校核强度校核强度 已知杆外力、已知杆外力、A与与 ，检查杆能否安全工作检查杆能否安全工作截面设计截面设计 已知杆外力与已知杆外力与 ，确定确定杆所需杆所需横截面面积横截面面积maxN, FA N AF 确定承载能力确定承载能力 已知杆已知杆A与与 ，确定杆能承受的确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型强度条件 变截面变轴力拉压杆变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆等截面拉压杆42 例例 题题例 6-1 图示吊环，最大吊重图示吊环，最大吊重 F

12、= 500 kN，许用应力许用应力 = 120 MPa，夹角夹角 = 20。试确定斜杆的直径试确定斜杆的直径 d。解：1. 问题分析问题分析轴力分析轴力分析应力分析应力分析根据强度条件确定直径根据强度条件确定直径432. 轴力分析轴力分析0cos2 , 0NyFFF cos2NFF 得得：2N4dF 3. 应力计算应力计算 cos2Fd cos22 dFm1031. 52 mm 30. 5 d取取4. 确定直径确定直径 d cos22dF 44例 6-2 已知已知 A1=A2=100 mm2, t =200 MPa, c =150 MPa 试求载荷试求载荷F的许用值的许用值许用载荷许用载荷 F

13、 解：1. 轴力分析轴力分析0 0 xyFF与与由由)( 2N1拉拉伸伸FF )( N2压缩压缩FF 452t1 AFkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2 AFkN 14.14 F故故2. 应力分析应力分析3. 确定确定F)( 211N11拉应力拉应力AFAF )( 22N22压应力压应力AFAF )( 2N1拉拉伸伸FF )( N2压缩压缩FF 467 胡克定律与拉压杆的变形47 胡克定律与杆的轴向变形胡克定律与杆的轴向变形实验表明：当实验表明：当 p 时，时，引入比例常数引入比例常数E E 胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比在比例极限内，正应力与正应变成正比胡

14、克定律E弹性模量弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaMPa 10Pa 10GPa 139 GPa 220200 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa 7270 E铝合金：铝合金：轴向变形公式AFN ll EAlFlN EA - 杆截面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 E 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴与轴力力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比胡克定律 niiiiiAElFl1N n 杆杆段总数段总数FNi 杆段杆段 i 的的轴力轴力 阶梯形杆阶梯形杆: 等截面匀质杆等截面匀质杆: l

15、 - 伸长为正伸长为正, 缩短为负缩短为负 横向变形与泊松比横向变形与泊松比拉压杆的横向变形bbb 1bb E 泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号并异号 泊松比泊松比 ) 5 . 00 ( E 叠加原理叠加原理例1.1.分段解法分段解法12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1)( 分段解法EAlFEAllFl11212)()( 分段解法试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)( 51EAllFlF)(2122 2. 分解载荷法分解载荷法EAlFlF111 21)(FFlll 分分解解载载荷荷3. 比较比较分

16、分解解载载荷荷分分段段解解法法)()(ll EAlFEAllF11212)( EAlFEAllFl11212)()( 分段解法分段解法52叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理关系时，通常即可应用叠加原理 原理原理 应用应用 N1F 例题例题 用叠加法分析内力用叠加法分析内力21N1,N1,FFFF 1F 2F 几个载荷同时作用所产生的总效果，等几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和于各载荷单独作用产生的效果的总和 例例 题题例 7-1 已知已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm,

17、E200 GPa, 0.3, 拧紧后拧紧后, AB 段的轴向变形为段的轴向变形为 l 0.04 mm。试试求求螺栓横截螺栓横截面上的正应力面上的正应力 , , 与与螺栓的横向变形螺栓的横向变形 d 解：1. 螺栓螺栓横截面正应力横截面正应力4-10.417 ll MPa 2 .148 E E 2. 螺栓横向变形螺栓横向变形 mm 0034. 0i dd 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mm441022. 21041. 73 . 0 解：1. 轴力与变形分析轴力与变形分析)( 2N1拉拉伸伸FF )( N2压缩压缩FF EAlFAElFl22111N11 222N22AElFl 例 7-

18、2 图示桁架，杆图示桁架，杆1与与2分别用钢与松木制成。分别用钢与松木制成。F = 10 kN；E1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m；E2 = 10 GPa, A2 = 4000 mm2。试求试求节点节点 A 的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移。)( 0.707mm21伸伸长长 EAFll)( 0.177mm缩缩短短 EAFl552. 作图法作图法确定节点新位置确定节点新位置3. 节点位移计算节点位移计算)( 22 lAAAx5AAAy 用切线或垂线用切线或垂线代替圆弧作图代替圆弧作图)( 45cos21 ll4. 讨论小变形概念讨论小变形概念 与结构原尺寸相

19、比为很小的变形，称为与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形小变形 在小变形条件下，通常即可在小变形条件下，通常即可： 按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力 采用切线代圆弧的方法确定节点位移采用切线代圆弧的方法确定节点位移 0.707mm1 l0.177mm2 lmm 7072 lmm 10001 l例 7-3 F1 = F2 / 2 = F，求截面求截面 A 的位移的位移 Ay解：1. 计算计算 FNFFFF830sin221N 030sin2 , 0N21 lFlFlFMB刚体刚体EA2. 计算计算 lEAlFlCDN 4. 位移计算位移计算

20、 2CCAAAy 60cos 2l 364EAFl3. 画变形图画变形图EAFl361 刚体刚体EAFF8N EAlF60sin 8 588 简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题静不定问题 仅由平衡方程不仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题 静不定度静不定度 未知力数与有效未知力数与有效平衡方程平衡方程数之差数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可仅由平衡方程即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反约束反力与内力力与内力）的问题）的问题一度静不定一度静不定静定问题静定问题 静不定问题分析静不定问题分析分析方法求解思路求解思路 建立平

21、衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程各杆的变各杆的变形间满足形间满足一定关系一定关系0),(321 lllf0),(N3N2N1 FFFF)3 , 2 , 1( N iFlii补充方程补充方程变形协调方程变形协调方程 联立求解联立求解利用利用变形协调方程与物理方程，变形协调方程与物理方程，建立建立补充方程补充方程61 平衡方程平衡方程0sinsinN1N2 FF0coscosN3N2N1 FFFF 变形几何关系变形几何关系 cos31ll 胡克定律胡克定律111N11AElFl 331N33cosAElFl 补充方程补充方程N323311N1cosFAEAEF 变形协调方程变形协调方程

22、E1A1= E2A2求解算例62 联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程 311332N2N1cos2cos AEAEFFF 33311N3cos21AEAEFF 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 满足静力平衡方程满足静力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 间满足给定物理关系（例如间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律）（静力、几何与物理）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 内力特点：内力特点： 例例 题题例 8-1 求两端固定杆

23、的支反力求两端固定杆的支反力解：(a) 0 , 0 BxAxxFFFF2. 几何方面几何方面0 CBACll4. 建立补充方程建立补充方程(b) 021 lFlFBxAx5. 支反力计算支反力计算联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(b)212llFlFAx 211llFlFBx 3. 物理方面物理方面EAlFEAlFlAxAC11N1 EAlFEAlFlBxCB22N2)( 一度静一度静不定不定1. 静力学方面静力学方面64解：1. 画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力例 8-2 已知：已知：

24、F = 50 kN， t = 160 MPa， c = 120 Mpa，A1= A2。试问：试问：A1=? A2=?02)(2 , 0N2N1 lFFlFMB2. .建立平衡方程建立平衡方程3. .建立补充方程建立补充方程CCl22 1222ll 1N112EAlFl 2N22EAlFl N1N24FF 655. 截面设计截面设计N 1059. 41282844N1N2 FFFtN11 FA cN22 FA 221mm 383 AA结结论论：4. 内力计算内力计算 N1N2N2N14 02)(2FFlFFlF联立求解平衡方程与补充方程联立求解平衡方程与补充方程拉拉力力 N1 F压力压力 N2

25、F2mm 7 .71 2mm 383 669 连接部分的强度计算67 连接实例连接实例耳片耳片销钉销钉螺栓螺栓6869 剪切与剪切强度条件剪切与剪切强度条件以耳片销钉为例介绍分析方法以耳片销钉为例介绍分析方法70S AF剪切强度条件：剪切强度条件： 许用切应力许用切应力假设：剪切面上的切应力均匀分布假设：剪切面上的切应力均匀分布剪切面剪切面AFS 切应力公式：切应力公式：71 挤压与挤压强度条件挤压与挤压强度条件挤压破坏在接触区在接触区的局部范围内，产生的局部范围内，产生显著塑性变形显著塑性变形挤压应力挤压面上挤压面上的应力的应力耳片耳片销钉销钉挤压面连接件间的连接件间的相互挤压接触面相互挤压

26、接触面几个概念72挤压破坏实例73dF bbs bsbs 挤压强度条件 bs 许用挤压应力许用挤压应力最大挤压应力 d： 数值上等于受数值上等于受压圆柱面在相应径向压圆柱面在相应径向平面上的投影面积平面上的投影面积74 例例 题题例 9-1 已知已知 = = 2 mm, b =15 mm , d =4 mm, =100 MPa, bs =300 MPa， =160 MPa。试求试求许用载荷许用载荷 F解：1. 破坏形式分析破坏形式分析752. 许用载荷许用载荷 F42 dFkN 257. 142 dFbsbs dFkN 40. 2bs dF)(max dbFkN 52. 3)( dbFkN 257. 1 F结结论论：76例 9-2 F = 45 kN; = = 10 mm, b = 250 mm, h = 100 mm, l = 100 mm; 顺木纹方向顺木纹方向, = 1 MPa, bs = 10 MPa, = 6 MPa；试校核杆端强度。试校核杆端强度。解：1. 受力分析受力分析表面表面aa积压积压, 截面截面cd拉应力最大拉应力最大, 截面截面ab剪切剪切772SFF MPa 9 . 02S blFAFsMPa 0 . 92bsbsbsbs bFAF剪切强度：剪切强度：挤压强度：挤压强度：拉伸强度：拉伸强度：2. 强度