稳定判据和裕学习教案

1、会计学1稳定稳定(wndng)判据和裕判据和裕第一页，共60页。25.2.7 系统(xtng)类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度(sd)和加速度(sd)误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。当 趋近于零时，回路增益(zngy)越高，有限的静态误差常值就越大。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 第2页/共60页第二页，共60页。3静态(jngti)位置误差常数的确定+ +- -R(s

2、)E(s)C(s)(sG图5-21单位反馈(fnku)控制系统假设(jish)系统的开环传递函数为 ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(2121sTsTsTssTsTsTKsGnm) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGnm)(jG在低频段等于pK，即pKjG)(lim0第3页/共60页第三页，共60页。4图5-22 某一0型系统对数幅值曲线(qxin) 12 . 0)(1(15)(sssGcf3_dB=-30.4575749 cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.5424251第4页/共60页第四页，共60页。5图

3、5-23为一个(y )1型系统对数幅值曲线的例子。decdB/20的起始(q sh)线段/或其延长线，与1的直线(zhxin)的交点具有的幅值为vKlog20静态速度误差常数的确定在1型系统中1,)(jKjGv斜率为证明vvKjKlog20log2011斜率为decdB/20其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于vK设交点上的频率为111jKv1vK的起始线段/或证明第5页/共60页第五页，共60页。61232第6页/共60页第六页，共60页。7100101102-40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec1232图5-23 某个(mu )1型系统对数幅值曲线

4、) 1()(TssKsG转角(zhunjio)频率为2 斜率(xil)为decdB/40与/或其延长线与0分贝线的交点为3 的直线T12 ，TK23 ，KKv1由此得到23212331在伯德图上2331loglogloglog3点恰好是2点与1点的中点 第7页/共60页第七页，共60页。8静态(jngti)加速度误差常数的确定斜率(xil)为decdB/40的起始(q sh)线段/或其1的直线的交点具有的幅值为aKlog20 )( 对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线延长线，与1,)()(2jKjGaaaKjKlog20)(l

5、og2012证明第8页/共60页第八页，共60页。9)( 对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线(qxin)斜率(xil)为decdB/40的起始线段(xindun)/或其延长线与0分贝线的交点的频率为a在数值上等于aK的平方根 证明01log20)(log202aajKaaK第9页/共60页第九页，共60页。105.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线(qxin)，奈奎斯特曲线(qxin)可用幅值和相角(xin jio)的向量表示(biosh)。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的

6、变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的 第10页/共60页第十页，共60页。11图5-25 极坐标图)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体(jt)影响 采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围(fnwi)内的频率响应特性。第11页/共60页第十一页，共60页。125.3.1积分(jfn)与微分因子11)(jjjG所以(suy)jjG1)(的极坐标图是负虚轴。jjG)(的极坐标图是正虚轴。图5-26 积分(jfn)因子极坐标图90190j

7、jG)(0第12页/共60页第十二页，共60页。13图5-27 微分(wi fn)因子极坐标图0第13页/共60页第十三页，共60页。145.3.2一阶因子(ynz)TjjG11)(01)0( jG 4521)1(TjG图5-28 一阶因子(ynz)jjG11)(极坐标图TarctgT2)(1101800)( jGT1)(jG第14页/共60页第十四页，共60页。15图5-29 一阶因子(ynz)jjG1)(极坐标图第15页/共60页第十五页，共60页。165.3.3二阶因子(ynz)0,)()(211)(2nnjjjG01)0( jG1800)( jG)(jG的高频部分(b fen)与负实轴

8、相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。n0图5-30 二阶因子(ynz)极坐标图第16页/共60页第十六页，共60页。17对于(duy)欠阻尼n时21)(jjGn相角(xin jio)90)(jG的轨迹与虚轴交点处的频率(pnl)，就是无阻尼自然频率(pnl)n极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率r这时)(jG可以用谐振频率r处的向量幅值，与0处向量幅值之比来确定。当Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值第17页/共60页第十七页，共60页

9、。18过阻尼情况(qngkung)增加(zngji)到远大于1时，)(jG的轨迹趣近于半圆(bnyun)。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。 当第18页/共60页第十八页，共60页。192 . 01 . 03 . 04 . 02第19页/共60页第十九页，共60页。20对于(duy)2)()(21)(nnjjjG )2()1 (22nnj极坐标图的低频(dpn)部分为：01)0( jG极坐标图的高频(o pn)部分为：180)( jG图5-31 二阶因子2)()(21nnjj极坐

10、标图第20页/共60页第二十页，共60页。21Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456图5-31 二阶因子(ynz)2)()(21nnjj极坐标图第21页/共60页第二十一页，共60页。22例5-2 考虑(kol)下列二阶传递函数：) 1(1)(TsssG试画出这个(zh ge)传递函数的极坐标图。解：)1 (1)(TjjjGTarctgTTjjjG90)(11)1 (1)(2极坐标图的低频(dpn)部分为：90)0( jG 极坐标图的高频部分为：1800)( jG第22页/共60页第二十二页，共60页。23图5-32 )1

11、 (1Tjj极坐标图第23页/共60页第二十三页，共60页。245.3.4 传递(chund)延迟ReIm010TjejG)(TjTjGsincos1)(ReIm0Tj11Tje低频区当T1时，TjeTj1TjTj111当T1两者存在(cnzi)本质的差别低频(dpn)时传递延迟与一阶环节的特性相似 时第24页/共60页第二十四页，共60页。255.3.5 极坐标图的一般(ybn)形状ReIm0型系统0型系统1型系统2000) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 00型系统(xtng)：极坐标图的起点0是一个位于(wiy)正实轴的有限值

12、极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。11型系统：90的相角是j极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的0第25页/共60页第二十五页，共60页。262在总相角(xin jio)中180的相角(xin jio)是由2)(j项产生(chnshng)的2型系统：Re01mn2mn3mn图5-34b高频区域内的极坐标图 如果)(jG的分母多项式阶次)(jG的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时， )(jG轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当第26页/共60页第二十六页，共60页。275.4对

13、数幅-相图(xin t)(Nichols Chart)尼柯尔斯图图5-34 二阶因子(ynz)对数幅-相图第27页/共60页第二十七页，共60页。285.5奈奎斯特稳定(wndng)判据(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)图3-35 闭环系统(xtng)闭环传递函数为)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了(wi le)保证系统稳定，特征方程0)()(1sGsH的全部根，都必须位于左半s平面。)()(sGsH的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。 虽然开环传递函数充要条件第28页

14、/共60页第二十八页，共60页。29奈奎斯特稳定判据(pn j)正是将开环频率响应)()(jGjH与)()(1sGsH在右半s平面(pngmin)内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行(jnxng)稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数)()(sGsH可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的)()(sGsH的极限，或趋于零，或趋于常

15、数。 第29页/共60页第二十九页，共60页。305.5.1 预备(ybi)知识0)()(1)(sGsHsF可以证明，对于(duy)S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在)(sF平面上必存在一条封闭曲线(qxin)与之对应。)(sF平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：第30页/共60页第三十页，共60页。31)2)(1(6)()(sssGsH其特征方程为：)2)(1(61)()(1)(sssGsHsF0)2)(1()4 . 25 . 1)(4 . 25 . 1(ssjsjs

16、函数(hnsh)(sF在s平面内除了奇点外处处解析(ji x)。对于s平面上的每一个解析(ji x)点，)(sF平面(pngmin)上必有一点与之对应21js，则)(sF为：577. 0115. 1)23)(22(61)21 (jjjjF这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在)(sF平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如第31页/共60页第三十一页，共60页。32ImRej平面s平面)(sF图5-36 s平面上的图形(txng)在 平面上的变换)(sF上半s平面(pngmin)内的直线1 , 3和2在)(sF平面(pngmin)上的变换 第32页/共60页第三十二页，共

17、60页。33ImRej平面s平面)(sF00当s平面上的图形包围(bowi)两个)(sF的极点(jdin)时，)(sF的轨迹(guj)将反时针方向包围)(sF平面上原点两次 第33页/共60页第三十三页，共60页。34AABFEDCA1B1F1E1D1C1Rej平面s平面)(sFIm当s平面上的图形(txng)包围)(sF的两个(lin )极点和两个(lin )零点，)(sF的轨迹(guj)将不包围原点 相应的第34页/共60页第三十四页，共60页。35ImRej平面s平面)(sF00如果这个(zh ge)曲线只包围一个零点，相应的)(sF的轨迹(guj)将顺时针包围原点一次， 封闭曲线既不包

18、围(bowi)零点又不包围(bowi)极点，)(sF的轨迹将永远不会包围)(sF平面上的原点 第35页/共60页第三十五页，共60页。36如果在s平面上曲线包围(bowi)k个零点和k个极点(k=0,1,2)，)(sF相应(xingyng)的封闭曲线不包围)(sF上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立(jinl)在影射定理的基础上。 即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上的原点。第36页/共60页第三十六页，共60页。375.5.2影射(yngsh)定理设)(sF为两个(lin )s的多项式之比，并设P为)(sF的极点(jdin)数，Z为)(sF的零点数，它们位于s平面

19、上的某一封闭曲线内，)(sF的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到)(sF平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时)(sF平面上，相应的轨迹顺时针包围)(sF原点的总次数R等于Z-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在第37页/共60页第三十七页，共60页。38若R为正数(zhngsh)，表示)(sF的零点数超过(chogu)了极点数；)(sF的极点数超过(chogu)了零点数。)()(sGsH很容易确定)()(1)(sGsHsF的P数。因此，如果，)(sF的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数若R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确

20、定。 )()()()(sAsBsGsH)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsF两者的极点数相同第38页/共60页第三十八页，共60页。395.5.3影射(yngsh)定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线(qxin)包围整个右半s平面。这时的封闭曲线(qxin)由整个j轴(从到该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向(fngxing)为顺时针方向(fngxing)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成)()(1sGsH的所有正实部的极点和零点。)()(1sGsH则不存在闭环极点，因而系统是

21、稳定的。 如果在右半s平面不存在零点，第39页/共60页第三十九页，共60页。40平面sj0图5-37 s平面(pngmin)内的封闭曲线ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线(qxin)对原点的包围，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH轨迹(guj)对-1+j0点的包围第40页/共60页第四十页，共60页。41这一判据(pn j)可表示为：PRZZ函数(hnsh)()(1)(sGsHsF在右半s平面(pngmin)内的零点数R对-1+j0点顺时针包围的次数P函数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须0Z或PR，这意味着必须反时

22、针方向包围-1+j0点P次。5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则RZ 因此，为了保证系统稳定，)()(jHjG的轨迹必须不包围-1+j0点。第41页/共60页第四十一页，共60页。425.5.6)()(sHsG含有(hn yu)位于j上极点(jdin)和/或零点的特殊情况平面sj0j0j j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00变量(binling)s沿着j轴从 j运动到0j，从0j到0j，变量s沿着半径为1）的半圆运动，再沿着正j轴从0j运动到j（) 1()()(TssKsHsG第42页/共60页第四十二页，共6

23、0页。43对于包含(bohn)因子, 3 , 2,1s的开环传递函数，当变量(binling)s沿半径为(1)的半圆(bnyun)运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：) 1()()(2TssKsHsGjes jeseKsHsGj22)()(lim当s平面上的9090时，的相角180180第43页/共60页第四十三页，共60页。44平面sj0j0j j j1ABC平面GHReImFED001在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹(guj)包围01j点两次。所以(suy)函数)()(1sGsH在右半s平面内存在两个零点。因此(ync)，系

24、统是不稳定的。 第44页/共60页第四十四页，共60页。45如果在s平面内，奈奎斯特轨迹(guj)包含)()(1sGsH和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹(guj)运动时，不)()(1sGsH通过(tnggu)的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围01j点PZR次（负R值表示反时针包围01j点）。5.6稳定性分析的Z个零点a)不包围-1+j0如果这时)()(sGsH在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。点。系统是不稳定的。 c)顺时针包围-1+

25、j0b)反时针包围-1+j0第45页/共60页第四十五页，共60页。46例5-3 设闭环系统(xtng)的开环传递函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsGsH)()(jGjH的轨迹(guj)如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点(jdin)，并且)()(jGjH的轨迹不包围01j，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。第46页/共60页第四十六页，共60页。47图5-41 例5-3中的)()(jGjH极坐标图 第47页/共60页第四十七页，共60页。48例5-4 设系统(xtng)具有下列开环传递函数：) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH试确定以下两种情况下，系统的稳定性

26、：增益(zngy)K较小增益(zngy)K较大。平面GHReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRPjjjj00小K值时是稳定(wndng)的 大K值时是不稳定的 第48页/共60页第四十八页，共60页。49例5-5 设开环传递函数为：) 1() 1()()(122sTssTKsGsH该系统(xtng)的闭环稳定性取决于1T和2T相对大小(dxio)。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。ReIm00121TT 平面GH平面GHReIm00121TT 点矢量穿过01)()(jjHjG 21TT )()(sGsH的轨迹(guj)不包围01j系统是稳定的21TT )()(s

27、GsH的轨迹通过01j点，这表明闭环极点位于轴上j第49页/共60页第四十九页，共60页。50平面GHReIm00121TT 21TT )()(sGsH的轨迹顺时针方向(fngxing)包围01j点两次，因此系统(xtng)有两个闭环极点位于右半s平面，系统(xtng)是不稳定的。 第50页/共60页第五十页，共60页。51例5-6 设一个(y )闭环系统具有下列) 1()()(TssKsHsG试确定(qudng)该闭环系统的稳定性。平面GHReIm100开环传递函数：在右半s平面内有一个(y )极点(Ts1)，因此1P。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围01j点一次，因此，1R

28、。因为2PRZ。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。第51页/共60页第五十一页，共60页。52)1()()(TjjKjHjG)1(Tj)1(TjjK)1(Tj)(1 (2TjK)(1 ()1 (2TjTjK2)(1)1 (TjTjKarctg90 00, 00,2)(1)1 (TjTjKarctg90)1(Tj第52页/共60页第五十二页，共60页。53例5-7 设一个闭环系统具有(jyu)下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。1,) 1()3()()(KsssKsHsG平面GHReIm001图5-45 例5-7中的)()(jGjH极坐标图)()(sGsH在右半s平面(pngmin)内有一个极点(1s)，因此(ync)1P。开环系统是不稳定的。图5-45表明)()(sGsH轨迹逆时针方向包围01j点一次，因此，1R因为0PRZ，这说明)()(1sGsH没有零点位于右半s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。 第53页/共60页第五十三页，共60页。545.7.2相位(xingwi)裕度和增益裕度ReIm01平面G大时K小时K图5-46 )1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGn