第三章321直线的方向向量与平面的法向量

1、32 立体几何中的向量方法32 1 直线的方向向量与平面的法向量1了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示出来2理解并掌握用向量方法解决立体几何问题3掌握把立体几何问题转化为向量问题1空间中的点P，可用向量OP表示，OP称为点P的_ 2空间中任意一条直线 l 的位置可以由_以及一个向量确定，这个向量叫做直线的_3直线 l平面，取直线 l 的方向向量 a，则向量a平面，向量 a 叫做平面的_注意：(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行 位置向量 l上一个定点A 方向向量 法向量 4设 a，b 在平面内(或与平行)，a 与 b 不平行，直线

2、 l的方向向量为 c，则 l_ .ac且bc(或ac0且bc0)【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面【要点2】平面法向量的求法【要点3】直线的方向向量与平面的法向量的应用面ABC内的任意向量，不妨取AB，BC，因它们的基线相交，将题型1 求平面的法向量例1：已知点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量思维突破：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量自主解答：设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 其转化成数量积为 0，求得 n. C面的位置关系题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、ab8620.ab.l1l2

3、.(2)u(1,3,0)，v(3,9,0)，v3u.vu.(3)a(1,4,3)，u(2,0,3)au0 且 aku(kR)a 与 u 既不垂直也不共线，即 l 与相交但不垂直(4)a(3,2,1)，u(1,2,1)，au3410.au.l或 l.自主解答：(1)a(1,3,1)，b(8,2,2)，2下列命题中正确的是()AA若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和平面 ABC 内任意一条直线的方向向量垂直B若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是平面 ABC 的法向量C若 n 既是平面 的法向量，又是平面 的法向量，则 D若 ，则它们所有共同的法向量都在一条直线上

4、例3：如图 321，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点求证：MN平面 A1BD.图 321题型3 用向量方法证明线面、面面平行线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行思维突破：用向量法证明线面平行有如下方法：证明直3若互不重合的平面，的法向量分别为 u(1，2，2)，v(3，6，6)，证明：.证明：u(1 ， 2，2)，v(3，6 ， 6)，v3u，即 vu.又u，v 分别为平面，的法向量且，互不重合，.【变式与拓展】例4：如图 322，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O平面 GBD.图 322思维突破：用向量法证明线面垂直一般有如下两种方法：证明直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行题型4 用向量方法证明线面、面面垂直【变式与拓展】4已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 B1B，CD 的中点求证：平面 DEA平面 A1FD1.证明：如图 D16，建立空间直角坐标系 Dxy