三角形的四心和特殊三角形

1、三角形的四心”三角形是最重要的大体平面图形，很多较复杂的图形问题能够化归为三角形的问题图22:1.如图1,在三角形AABC中，有三条边AB,BC,CA,三个角NA,NB,/C,三个极点A,B,C,在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，那个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为已知口E、F别离为AABC三边BCCAAB的中点，求证ADBECF交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结DE设ADBE交于点G,D、E另1J离为BC、AE的中点，那

2、么1DEDE=AB.GDEGAB-AG=2GD,BG=2GE2设ADCF交于点G',同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F.则G与G'重合，ADBECF交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等例2已知.ABC的三边长别离为BC=a,AC=b,AB=c,I为AABC的内心，且I在h,ABC的边BC、AC、AB上的射影别离为D、E、F,求证AE=AFb+c-a2-f证明作AABC的内切圆，那么D、E、F别离为内切圆在三边上的切点，/AE,AF为圆的从同一

3、点作的两条切线，AE=AF,同理，BD=BF,CD=CE/.bIca=AFBFIAEICEBDCD=AFAE=2AF=2AE即AE=AF二b±尸例3假设三角形的内心与重心为同一点，求证：那个三角形为正三角形已知O为三角形ABC勺重心和内心.求证三角形ABE等边三角形.证明如图，连AO并延长交BC于D.:O为三角形的内心，故AD平分/BAC,ABBD,二2二之（角平分线性质定理）ACDCO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DCAB一.8=1,即AB=AC.AC同理可得，AB=BCABC为等边三角形三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心必然在三角形

4、的内部，直角三角形的垂心为他的直角极点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）例4求证：三角形的三条高交于一点.已知AABC中，AD_LBC于D,BE_LAC于E,AD与BE交于H点.求证CHAB.证明以CHK;直径作圆，/AD±BC,BE±AC,/.ZHDC/HEC90o,二D、E在以CH为直径的圆上，./FCB/DEH.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得/BED/BAD./BCH=/BAD,又3ABD与八CBF有公共角ZB,二/CFB=/ADB=900,即CHAB.过不共线的三点ABC有且只有一个圆，该圆是三角形ABC勺外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到

5、三个极点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点练习1 .求证：假设三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形2 .(1)假设三角形ABC勺面积为S,且三边长别离为a、b、c,那么三角形的内切圆的半径是;(2)假设直角三角形的三边长别离为a、仄c(其中c为斜边长)，那么三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.(二十四)几种特殊的三角形ABC中，三角形的内心I、重心G垂心H必然在一条直线上例5在&ABC中，ABAC3,BC2.求(1)aABC的面积0ABe及AC边上的高BE;(2)aABC的内切圆的半径r；(3)aABC的外接圆的半径R.(1)如图，作ADBC于AC,D为BC的中点,AD

6、S_j.ABC,AB12又S4ABe1AC2(2)如图，I连IA,IB,IC,S.ABCS.rIAB解得rBD222,2222.BE,解得BE为内心，那么S.、IBCS.-IAC1AB21r-BCr24.23到三边的距离均为r,(3),ABC是等腰三角形,外心O在AD上，连BO,则R3OBD中，ODADR,OB2BD2OD2,R2(2亚R)212,解得在直角三角形ABC,/A为直角，垂心为直角极点A,斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为(其中a,b,c别离为三角形的三边BCCAAB的长)，什么缘故?该直角角形的边长知足勾股定理：AC2-AB2=BC2.BB外心O为r；b+ca

7、2Da例6如图，在AABC中，ABAC,P为BC上任意一点.求证：AP2=AB2-PBPC.证明：过A作ADBC于D在Rt/ABD中，AD2-AB2-BD2.在Rt/APD中，AP2-AD2-DP2.2_222_2.AP2AB2BD2IDP2AB2（BDIDP）（BDDP）.,.,AB=AC,ADIBC,；BD=DC.BDDP-CDDP-PC.二AP2=AB2-PBPC.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABCF口点P,设点P到三边AB,ACBC的距离别离为Ah、，三角形ABC勺高为h,“假设点P在一边BC上，现在

8、ha-0,可得结论：%Ih2%h.”请直接应用以上信息解决以下问题：当（1）点P在AABC内（如图b）,（2）点在AABC外（如图c）,这两种情形时，上述结论是不是还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，%m2,在与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（没必要证明）.解（1）当点P在'ABC内时，法一如图，过P作B'C'别离交AB,AM,AC于B',M',C',由题设知AM'=PDPE,而AM'=AM-PF,故PDPE|PF=AM,即|h24一h.法二如图，连结，-S.-ABC-S.'.PABIS-.PACIS.PBC&

9、#39;1 一1一一，1一一，1一一BCAM=ABPD十一ACPE+BCPF,2222又ABBCAC,.AM=PDIPEIPF,即+%h3=h.(2)当点P在AABC外如图位置时，%Ih2%h不成立，猜想：%I%h3h.注意：当点P在ZXABC外的其它位置时，还有可能取得其它的结论，h,-h2Ih3h,%h2h3h(如图，想一想什么缘故？)等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方式，“法二”中灵活地运用了面积的方式练习:1 .直角三角形的三边长为3,4,X,那么X=2 .等腰三角形有两个内角的和是100°,那么它的顶角的大小是.3 .已知直角三角形的周长为3J3,斜边上

10、的中线的长为1,求那个三角形的面积4 .证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量习题A组1 .三角形三边长别离是六、八、10,那么它最短边上的高为2 .若是等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么那个等腰三角形的顶角等于3 .已知：a,b,c是&ABC的三条边，a7,b10,那么c的取值范围是4 .假设三角形的三边长别离为1、a、8,且a是整数，那么a的值是。5 .如图，等边&ABC的周长为12,CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE那么&CDE的周长为()A646B.1812>/3C.623D.18436.如图，在ABC中，C的度数。ABC2A,BD边AC上的高，求DBC1.7.如图，RtABC,C90o,M是AB的中点，AMAN,MNABCBACB:C的值。AD2.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且1.CEC=BC,求证：/EFA=90.43.如图，把“ABC纸片沿DE折