2009年全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ

1、2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AUB,则集合？u（APB）中的元素共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个2. （5分）已知卫=2+i,WJ复数z=（）1+iA.1+3iB,1-3iC.3+iD.3-i3. （5分）不等式1M；_|<1的解集为（）x-1A.x|0<x<1Ux|x>1B,x|0<x<1C,x|T<x<0D,x|x<0224. （5分）已知双曲线当"-4=1（a>0,b&g

2、t;0）的渐近线与抛物线y=x?+1相切,ab则该双曲线的离心率为（）A.B.2C.1D.二5. （5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种6. （5分）设；、了、3是单位向量，且；后二0,则G-3）?（E-3）的最小值为A.-2B.依-2C.-1D.1-衣7. （5分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（A<B/C：>8. （5分）如

3、果函数y=3cos”的图象关于点殁,。）中心对称，那么1加的最小值为（）C.9. （5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（A.1B.2C.-1D.-210. （5分）已知二面角a-l-B为6。°,动点P、Q分别在面a、B内，P到B的距离为我，Q到a的距离为2加，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A.1B.2C.三D.411. （5分）函数f（x）的定义域为R,若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数212. （5分）已知椭圆C:5-+y2=1的右焦点为F,右准线

4、为I,点ACI,线段AF交C于点B,若萩=3祚，则|前=（）A.丁B.2C.不D.3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.14. （5分）设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=81,则m+%+a8=.15. （5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/BAC=120,则此球的表面积等于.16. （5分）若?则函数y=tan2xtan3x的最大值为.三、解答题(共6小题，满分70分)17. (10分)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c

5、2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC求b.18. (12分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD，底面ABCRAD=72,DC=SD=2点M在侧棱SC上，/ABM=60(I)证明：M是侧棱SC的中点；(H)求二面角S-AM-B的大小.SAB19. (12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(R)设士表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求己的分布列及数学期望.20. (12分)在数列

6、an中，a1二1,an+1=(11)an+.门2n(1)设bn=-,求数歹Ubn的通项公式；(2)求数歹1an的前n项和S.21. (12分)如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(I)求r的取值范围;(II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AGBD的交点P的坐标.22. (12分)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、X2,且XiC-1,0,X261,2.(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b,c)的区域；(2)证明:2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷I

7、）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）（2009?全国卷I）设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AUB,则集合？u（APB）中的元素共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出AHB,再根据补集的含义求解.【解答】解：AUB=3,4,5,7,8,9,AHB=4,7,9a?u（AHB）=3,5,8故选A.也可用摩根律：?u（APB）=（?uA）U（?uB）故选A2. （5分）（2009?全国卷I）已知g=2+i,则复数z=（）L+iA.1+3iB,1-3iC.3+iD.3-i【分析】化简复数直

8、接求解，利用共腕复数可求z.【解答】解：k13i故选B3. （5分）（2009?全国卷I）不等式|目|<1的解集为（）算j1A.x|0<x<1Ux|x>1B,x|0<x<1C,x|T<x<0D,x|x<0【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值.【解答】解：|血丁|<1,x-1|x+1|<|x-1|,.x2+2x+1<x22x+1.二x<0.不等式的解集为x|x<0.故选D4. （5分）（2009?全国卷I）已知双曲线"-=1（a>0,b>

9、0）的渐近线与”b2抛物线y=X2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A.二B.2C.1D.二【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0,找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得.22k【解答】解：由题双曲线三-殳>0,b>0）的一条渐近线方程为尸旦，a2b2a代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=0,因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0,即c2=5a2e=/5,故选择C.5. （5分）（2009?全国卷I）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.15

10、0种B.180种C.300种D.345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有Cs"Cb/qJzzs种选法；（2）乙组中选出一名女生有C2?。1?6142。种选法.故共有345种选法.故选D6. （5分）（2009?全国卷I）设工是单位向量,且。芯二0,则（通-力?特F的最小值为（）A.-2B.依-2C.-1D.1-衣【分析】由题意可得iW+ElWL故要求的式子即a-b-(a+b)?c+e2=1-|l+b|-Ic|cos<g+丁，7>=1-V2cos<+,3>,再由余弦函数的值

11、域求出它的最小值.【解答】解：:日、b、c是单位向量，a*b=0,a_Lb,|a+b|=V2.(g-G)?(E-G)=0b-(a+b)?c+；,=0-(a+b)?c+1=1_|a+b|"|c|cos_一二二=1-&cos<W+F,飞一贬.故选项为D7. （5分）（2009?全国卷I）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（）【分析】首先找到异面直线AB与CC所成的角（如/AAB）;而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC-A1B1G的侧棱与

12、底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解：设BC的中点为D,连接AD、ADAB,易知8hA1AB即为异面直线AB与CC所成的角；并设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|二亨，|AQ|=1,|A1B|j1,1+1-工由余弦定理，得cos0T-=|-.故选D.8（5分）（2009?全国卷如果函数y=3c°s+小）的图象关于点（罟,°）中心对称，那么|4的最小值为（）A二B二C.D三6432【分析】先根据函数y=3cos（2x+（|）的图象关于点（里匕，0）中心对称，令x=A2L33代入函数使其等于0,求出4的值，进而可得|”的最小值.【解答】解：二函

13、数y=3cos（2x+（|）的图象关于点（圾,0）中心对称.32与T0;k冗+冬,小二（k42）由此易得|中LinT"ZV川WL0故选A9. （5分）（2009?全国卷I）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切,贝a的值为（）A.1B,2C.-1D.-2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.【解答】解：设切点P（x0,yo）,则yo=xo+1,yo=ln（刈+a）,x0+a=1yo=0,x0=1a=2.故选项为B10. （5分）（2009?全国卷I）已知二面角a-l-B为60°,动点P、Q分别在面a、B内，

14、P至ljB的距离为立，Q至lja的距离为则RQ两点之间距离的最小值为（）A.1B.2C.二D.4【分析】分另1J作QA±a于A,AC±l于C,PB±B于B,PD，l于D,连CQ,BD则/ACQ4PBD=60,在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可.【解答】解：如图分另I作QA，a于A,AC±l于C,PBX0于B,PD±l于D,连CQBD则/ACQ与PDB=60,AQ=2近，BP二.AC=PD=2又.二II-''-当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故答案选C.11. (5分)(2009?全国卷I)函数f(x)

15、的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f(x)的周期，然后利用此周期推导选择项.【解答】解：f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,函数f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称,.f(x)+f(2-x)=0,f(x)+f(-2-x)=0,故有f(2-x)=f(-2x),函数f(x)是周期T=2-(-2)=4的周期函数.f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),f(x+3)是奇函数.故选D212. （5分）（2009?全国卷I）

16、已知椭圆C:2+y2=1的右焦点为F,右准线为1,2点AC1,线段AF交C于点B,若司=3而，则|而|二（）A.1B.2C.二D.3【分析】过点B作BMx轴于M,设右准线l与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据包工3而，求出BM,AN,进而可得|AF|.【解答】解：过点B作BMx轴于M,并设右准线l与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意-故FM，故B点的横坐标为且，纵坐标为土工333即BM，3故AN=1,.|AF|=V2.故选A10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）（2009?全国卷I）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于

17、-240.【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）rbr+Cnna0bn,各项的通项公式为：Tr+i=Granrbr.然后根据题目已知求解即可.【解答】解：因为（x-y）10的展开式中含x7y3的项为G03x10-3y3（-1）3=-Ci03x7y3,含x3y7的项为C107x107y7（-1）7=-C107x3y7.由C103=G07=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.故答案为-240.14. （5分）（2009?全国卷I）设等差数列an的前n项和为S,若S9=81,则a2+a5+a8=27.【分析】由S9解得a5即可.a“a9（a1+aa）【解答】解：Vs9=5上一二9a5

18、35=9-a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715. （5分）（2009?全国卷I）直三棱柱ABC-A1B1G的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/BAC=120,则此球的表面积等于20兀.【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O',球心为O,在11RTAOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积.【解答】解：在ABC中AB=AC=2/BAC=120,可得二由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RTAOBO中，易得球半径三T,故此球的表面积为4冗=20九故答案为：20冗16. （5分）（2009?全国卷I）若贝函

19、数y=tan2xtan3x的最大值为一8.【分析】见到二倍角2x就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决.【解答】解：令潦。吟.y=tan2xtan3F2t，口；1tanx2/_222_t2上工二i1LVT7-7)/故填：-8.三、解答题（共6小题，满分70分）17. （10分）（2009?全国卷I）在4ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC求b.12【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsin叱成边的关系，再根据a2-c2=2b即可得到答案

20、.【解答】解：法一：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC则由正弦定理及余弦定理有：一.a2ab32bc3化简并整理得：2（a2-c2）=b2.又由已知a2-c2=2b,.4b=b2.解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA又a2-c2=2b,bw0.所以b=2ccosA+2又sinAcosC=3cosAsinCsinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsi1A+C）=4cosAsinC即sinB=4cosAsinCft正弦定理得sinB=sinC，c故b=4ccosAD由，解得b=4.18. （12分）（2009?全国卷I）如图，四棱

21、锥SABCD中，底面ABCD为矩形,SD，底面ABCDAD域，DC=SD=2点M在侧棱SC上，/ABM=60（I）证明：M是侧棱SC的中点；（H）求二面角S-AM-B的大小.SAB【分析】（I）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN/SD交CD于N,作NE，AB交AB于E,连ME、NB,WJMN，面ABCDMEXAB,ME=AD二百设MN=x,则NC=EB=x解R3MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、v、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,并求13出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、v

22、、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明.(H)我们可以以D为坐标原点，分别以DADCDS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,我们可以利用向量法求二面角S-AM-B的大小.【解答】证明：(I)作MN/SD交CD于N,作NE±AB交AB于E,连ME、NB,则MN，面ABCDMEXAB,NE=AD=V2设MN=x,WJNC=EB=x在R3MEB中，/MBE=60.ME=Vsx.在RIAMNE中由ME2=nW+MN2；3x2=x2+2解得x=1,从而MJySD'-M为侧棱SC的中点M.(I)证法二：分别以DA、DGDS为x、y、z轴

23、如图建立空间直角坐标系D-xyz,则0,0),2,°),2,0),S(0,0,Z.设M(0,a,b)(a>0,b>0),则：-，一.，,ir-，二一一，：,，SY.-I-一.SC=CO,2,-2)，1由题得，ss<BABM>=-z-2SM#SC'-2(a-2)_1即2-7(a-2)2+b2+22-2a=2(b-2)解之个方程组得a=1,b=1即M(0,1,1)所以M是侧棱SC的中点.14y口B（I）证法三：设标二人蔽,则”.'."一,:1故而族二I而|屈|8吕60,即合出（看解得人=1所以M是侧棱SC的中点.(H)由(I)得M(0,1

24、,1),位工又-：.0),工），n2一（工2了2,工2）分别是平面SAM、MAB的法向量,n,'MA=0则，一且，二%'AS=0近二0*,AB=0V2X-yJ-£一我町+2盯二0二0(V2且z2=0Z2=2,分别令打二K2二加得Z1=1,yi=1,y2=0,n"。，2),cos<n,口2>二2+0+2至2-V6-3而角S-AM-B的大小n-3TCCQ白?1519. (12分)(2009?全国卷I)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，

25、已知前2局中，甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；(R)设士表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求己的分布列及数学期望.【分析】(1)由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果.(2)由题意知己表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知己的可能取值是2、3,由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望.【解答】解：记A表示事件：第i局甲获胜，(i=3、4、5)Bi表示第j局乙获胜，j=3、4(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，.前2局中，甲、乙各胜1局，一甲要获

26、得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，B=AA4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，.P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.648(2)己表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知己的可能取值是2、316由于各局相互独立，得到己的分布列P(E=2=P(A3A4+B3B4)=0.52P(己=3=1p(己=2=1-0.52=0.48EE=20.52+3X0.48=2.48.20. (12分)(2009?全国卷I)在数列an中，ai=1,an+i=(1+1)由忠旦.n2n(

27、1)设bn二,求数列bn的通项公式；n(2)求数歹1an的前n项和Sn.【分析】(1)由已知得&m1=%+工,即必+1=6+工，由此能够推导出所求的通n+1n2n2n项公式.(2)由题设知an=2nJ,故Sn=(2+4+-+2n)-2n-1设Tn=147向+受+，由错位相减法能求出2122232nT列an的前n项和Sn.Tn=4一+n+24t+-t-),23211-12nT.从而导出数【解答】解：(1)由已知得4=&=1,且W真n+1n2即bn+1=bn+_b2=b1+-,2n2b3=b2+,22bn=bn1+_(n>2).2n-1于是bn=b1+!Jy+-r=2-1.(

28、n>2).2o29n-l9n-l又b1=1,故所求的通项公式为bn=2广+23211T(2)由(1)知an=2n-三2故Sn=(2+4+-+2n)(1+设Tn=117Tn=+2222232n-12n一Tn=1+L+-+-32n=2-,2n2n.Tn=4-.2nLiSn=n(n+1)+-+2*-4.21. (12分)(2009?全国卷I)如图，已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、CD四个点.(I)求r的取值范围；(II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AGBD的交点P的坐标.【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、CD四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围.(2)先设出四点A,B,C,D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.【解答】解：(I)将抛物线E：y2=x代入圆M：(x-4)2+y2=r2(r>0)的方程,消去y2,整理得x2-7x+16-r2=0(1)抛物线E：y2=x与圆M：(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、CD四个点的充18方程(1)有两个