连续时间信号与系统的频域分析

1、第第3章章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析n3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数n3.2 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换n3.4 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质n3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n3.6 频域系统函数频域系统函数n3.7 连续系统的频域分析连续系统的频域分析n3.8 抽样定理抽样定理本章学习目标本章学习目标n通过本章的学习，应达到以下要求：通过本章的学习，应达到以下要求：n（1）掌握周期信号和非周期信号频谱的概念）掌握周期信号和非周期信号频谱的概念及信号频带宽度的

2、概念。及信号频带宽度的概念。n（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。）熟悉傅里叶变换的主要性质。n（3）熟悉系统函数和频域分析法。）熟悉系统函数和频域分析法。n（4）掌握抽样定理。）掌握抽样定理。n（5）了解信号无失真传输和信号通过理想滤）了解信号无失真传输和信号通过理想滤波器的概念。波器的概念。3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数n3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数返回首页3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n若一个连续时间信号若一个连续时间信号f(t)是周期的，则它可以是周期的，则

3、它可以表示为：表示为：,2, 1,0)()(1nnTtftf3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n当当f(t) 满足狄里赫利条件满足狄里赫利条件 时，周期信号时，周期信号f(t) 才才能展开成傅里叶级数。能展开成傅里叶级数。tnbtnatbtatbtaatfnn11121211110sincos2sin2cossincos)(1110)sincos(nnntnbtnaa3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n傅里叶系数：傅里叶系数：221010111)(1)(1TTTdttfTdttfTa1011cos)(2TntdtntfTa1011sin)(2

4、TntdtntfTb3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：n例例3-2 110)cos()(nnntncctf3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n 狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）条件是：条件是：n（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；断点的数目应是有限个；n（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；是有限个；n（3）在一周期内，信号满足绝对可积。）在一周

5、期内，信号满足绝对可积。返回本节3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数n欧拉公式：欧拉公式： tjntjntjntjneejtneetn111121sin21cos11101122)(ntjnnntjnnnejbaejbaatf3.2 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度周期信号频谱的特点及频带宽度返回首页3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱n1单边频谱单边频谱 n2双边频谱双边频谱1单边频谱单边频谱 n若周期信号若周期信号 的傅里叶展开式为：的傅里叶展开式为：)(tf110)cos()(nnntnc

6、ctf1单边频谱单边频谱n对应的幅度频谱对应的幅度频谱 和相位频谱和相位频谱 称为单边称为单边频谱。频谱。ncnnc1n015110124n1n01511021 （a）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱周期信号的单边频谱2双边频谱双边频谱n若若 周期信号的傅里叶展开式为：周期信号的傅里叶展开式为： )(tfntjnneFtf1)(njnTtjnneFdtetfTF01)(1nF1n0151101511012442（a）双边幅度频谱n1n01511022115110（b）双边相位频谱图3-4 周期信号的双边频谱3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度周期信号频谱的特点及频带宽度n1周期信号频谱的特

7、点周期信号频谱的特点n2周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度n3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点1周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点n（1）离散性离散性。n（2）。n（3）收敛性收敛性。2周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度0221T1T)(tftE周期矩形脉冲信号的波形 2周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度n若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级数，则数，则21112211nSaTEdtEeTFtjnn01242nF1n1TE52Enc0241n1)(tftE1T12T( a)51T)(tftE1T12

8、Tnc25E1n01(b)101T不同值下周期矩形脉冲信号的频谱3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点返回本节3.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换n3.3.1 傅里叶变换傅里叶变换n3.3.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱n3.3.3 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换返回首页3.3.1 傅里叶变换傅里叶变换n1从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 n2傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件1从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 1从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换2211)(2TTtjnnndt

9、etfFTF11,Tnd当dtetfTFjFtjnT)(lim)(记2傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件n傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。一般来说，傅里叶变换存在的充分条件是：一般来说，傅里叶变换存在的充分条件是：dttf)(返回本节3.3.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱)(F0)(0 （a）幅度频谱 （b）相位频谱 非周期信号的频谱返回本节3.3.3 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换n1门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）n2单边指数函数单边指数函数n3单位冲激函数单位冲激函数n4直流信号直流信号n5单位阶跃函数单位阶跃函数1门

10、函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）n1门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲） 2sin2)()(2222AjeeAdteAdtetgGjjtjtj2 02 )(ttAtg222sinSaAAAt)(tg0224A)(G022 （a）门函数 （b）门函数的频谱门函数及其频谱2单边指数函数单边指数函数n单边指数函数的表示式为：单边指数函数的表示式为： )0( )()(atuAetfat频谱函数为：频谱函数为：jaAdteAdteeAFtjatjat0)(0)(2单边指数函数单边指数函数n即：即：jaAtuAeat)(其幅度频谱和相位频谱分别为：aaAFarctan)()(22A)(tf0t（a）单边

11、指数函数 )(FA)(022（b）单边指数函数的频谱单边指数函数及其频谱3单位冲激函数单位冲激函数n根据傅里叶变换的定义，并应用单位冲激函根据傅里叶变换的定义，并应用单位冲激函数的抽样性质，得：数的抽样性质，得：1)()()(0dttedtetttjF即： 1)(t0)(t)1(t01)(F （a）单位冲激函数 （b）单位冲激函数的频谱单位冲激函数及其频谱4直流信号直流信号n设直流信号：设直流信号：Atf)(t21)(21)(1detjF它不满足绝对可积条件，因此不能用傅里叶积分式求傅里叶变换。但由傅里叶反变换式可以求得冲激函数在时域的原函数为：即：21)(0A)(tft0)(F)2(A （a

12、）直流信号 （b）直流信号的频谱直流信号及其频谱5单位阶跃函数单位阶跃函数n单位阶跃函数表示为：单位阶跃函数表示为：0 00 1)(t ttu显然，它不满足绝对可积条件，但可以采用取极限的方法求出它的傅里叶变换。0 00 lim)( 0a ttetuatjjF1)()()(tu1t00)()(F （a）单位阶跃函数 （b）单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数及其频谱表3-3 典型信号的傅里叶变换及频谱图续表返回本节3.4 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质n3.4.1 线性线性n3.4.2 对称性对称性n3.4.3 尺度变换尺度变换n3.4.4 时移特性时移特性n3.4.5 频移特性频移特性n

13、3.4.6 卷积定理卷积定理n3.4.7 时域微分和时域积分时域微分和时域积分n3.4.8 频域微分和频域积分频域微分和频域积分返回首页3.4.1 线性线性n若若 ， ，n则则)()(22jFtf)()(11jFtf)()()()(22112211FaFatfatfa返回本节3.4.2 对称性对称性n若若 ，则：，则： )()(Ftf)(2)(ftF证明 由傅里叶反变换式得：deFtftj)(21)(即：dtetFftj)()(2)(2)(ftF21t)(212tg0111)(Sa0（a）门函数及其频谱t1)(tSa0)(2tg011（b）抽样函数及其频谱 返回本节3.4.3 尺度变换尺度变换

14、n若若 ，则：，则：)()(FtfaFaatf1)(若a0，f(t)被压缩；若0a1，f(t)被展宽。如果a0，则f(t)被反褶并被压缩或被展宽。 )0( a1t)(tf02)(F0222（a）)21(tf01t2)2(2F0（b）1t)2( tf0442)2(21F044（c）尺度变换性质的说明返回本节3.4.4 时移特性时移特性若 ，则：3)2(4jaeS)()(Ftf0)()(0tjeFttf为常数。0t例：) 3( 4tG例：3.4.5 频移特性频移特性若 ，则： )()(Ftf)()(00Fetftj为常数。0信号若在时域乘以因子，则对应于频域其频谱沿轴搬移。同理可得：)()()co

15、s()()()(sin00210000jFjFttfjjt)(tg202tAA)(G022（a）门函数及其频谱ttgty0cos)()(22At2A)(Y0200020（b）高频脉冲信号及其频谱 高频脉冲信号的频谱返回本节3.4.6 卷积定理卷积定理1时域卷积定理时域卷积定理若 ， ，则：)()(11Ftf)()(22Ftf)()()()(2121jFjFtftf例 3-16221t)(tg0221t)(tg00t)(tf（a）时域卷积运算)(G022)(G0222)(G022（b）频域相乘运算例图3.4.6 卷积定理卷积定理n2频域卷积定理频域卷积定理若 则：)()(11Ftf)()(22F

16、tf)()()()(212121jFjFtftf例 3-18 1)(tg202t1t0cost1ttgty0cos)()(221t1（a）时域相乘运算)(G022000t0cosF2)(Y000)()(（b）频域卷积运算例图返回本节3.4.7 时域微分和时域积分时域微分和时域积分n1时域微分时域微分n若若 ，则：，则：)()(Ftf)()()()1 (jFjtf推广到推广到n阶导数有：阶导数有：)()() ()(Fjtfnnn1时域微分时域微分n若若 ，则：，则：)()(Ftf)(tf121210t)() 1 (tf21210t)()2(tf21210t2)()( （a）原信号 （b）原信号的

17、一阶导数 （c）原信号的二阶导数 例图)(tf101t5 . 1)(0tf0t5 . 0)(1tf101t15 . 0 （a）原信号 （b）恒定分量 （c）时限信号 例 图3.4.7 时域微分和时域积分时域微分和时域积分n2时域积分时域积分若若 ，则：，则：)()(Ftf)()0()()()1(FjFtf)(tg202t1)()() 1(tgtf202t1 （a）门函数 （b）门函数的积分 例图返回本节3.4.7 时域微分和时域积分时域微分和时域积分3.4.8 频域微分和频域积分频域微分和频域积分n1频域微分频域微分若若 ，则：，则：)()(Ftf)()(Fddjttf推广到推广到n阶导数有：

18、阶导数有：nnnndFdjtft)()()(n2频域积分频域积分若若 ，则，则)()(FtfdFjtfttfj)(1)(1)()0(13.4.8 频域微分和频域积分频域微分和频域积分表3-4 傅里叶变换的主要性质返回本节3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换,2,1,0)(1neFtfntjnnTdtetfTFtjnTn1)(11返回首页3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换ntjnnntjnnTTeFeFtfF11)()(FFF根据频移特性：根据频移特性：)(21111neetjntjnFF3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n所以：所以：,2,1,0)(2)

19、(1nnFFnnT) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (0)(tT1T1T12T13T12T13Tt)(1011)(tTF)(1)(1)(1)(11212 （a）周期单位冲激序列 （b）周期单位冲激序列的频谱 图3-24 例3-14图1t)(tgT0221T1T)(tgTF0111 （a）周期矩形脉冲 （b）周期矩形脉冲的频谱 图3-25 例3-15图返回本节3.6 频域系统函数频域系统函数n3.6.1 系统函数的定义系统函数的定义n3.6.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法返回首页3.6.1 系统函数的定义系统函数的定义)()()(txthty)()()

20、(XHY得：则根据时域卷积定理可若),()(),()(),()(XtxHthYty为：时，系统的零状态响应当激励为，系统的单位冲激响应为设)()()(LTItytxth)(H为系统函数，或称系统频率响应。3.6.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法n（1）当给定激励和零状态响应时，根据定义）当给定激励和零状态响应时，根据定义 求解求解 n（2）当已知系统的单位冲激响应）当已知系统的单位冲激响应h(t)时，由时，由其傅里叶变换求解，即其傅里叶变换求解，即)()()(XYH)()(thHF3.6.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法n（3）当给定系统当给定系统电路模型时，根据电路理论电路模

21、型时，根据电路理论的基本定理和基本分析方法（诸如叠加定理、的基本定理和基本分析方法（诸如叠加定理、戴维南定理、网孔分析法及节点分析法等），戴维南定理、网孔分析法及节点分析法等），用用相量法相量法求解。求解。n（4）当给定当给定系统的微分方程时，对其取傅里系统的微分方程时，对其取傅里叶变换，再求得叶变换，再求得 。 )()()(XYH)(txR1C)(ty1F图3-28 例3-16图)(H0)(0122图3-29 例3-16的频率特性)(X1j1)(YR图3-30 例3-16的频域模型返回本节3.7 连续系统的频域分析连续系统的频域分析n3.7.1 复指数信号的响应复指数信号的响应n3.7.2

22、非正弦周期信号的响应非正弦周期信号的响应n3.7.3 非周期信号的响应非周期信号的响应n3.7.4 无失真传输及其条件无失真传输及其条件n3.7.5 理想低通滤波器及其响应理想低通滤波器及其响应返回首页3.7.1 复指数信号的响应复指数信号的响应n对于对于LTI系统，若有单位冲激响应系统，若有单位冲激响应h(t)信号为：信号为：)( )(tetxtj则根据时域分析可知，系统的零状态响应为：则根据时域分析可知，系统的零状态响应为： tjjtjtjtjeHdehedehthety)()()()()()(返回本节3.7.2 非正弦周期信号的响应非正弦周期信号的响应n1频域分析法频域分析法n2相量法相

23、量法1频域分析法频域分析法n对于周期为对于周期为t1正弦周期信号正弦周期信号x(t)展开为：展开为： ntjnneFtx1)(ntjnnejnHFty1)()(12相量法相量法n对于周期为对于周期为t1的非正弦周期信号的非正弦周期信号x(t)，还可还可以展开为：以展开为：110)cos()(nnntncctx)(tv0222t)(tvR1CF1)(tvc （a）周期方波信号 （b）RC电路 图3-31 例3-17图返回本节3.7.3 非周期信号的响应非周期信号的响应n1连续时间连续时间LTI系统零状态响应的频域求解系统零状态响应的频域求解 n2电网络的频域求解电网络的频域求解 1连续时间连续时

24、间LTI系统零状态响应的频域求解系统零状态响应的频域求解n通常通常LTI系统激励与响应的关系可以用常系数系统激励与响应的关系可以用常系数线性微分方程来描述。通过对微分方程取傅里线性微分方程来描述。通过对微分方程取傅里叶变换，则可以将时域微分方程的求解转变为叶变换，则可以将时域微分方程的求解转变为频域代数方程的求解，即频域代数方程的求解，即)()()(HXY2电网络的频域求解电网络的频域求解n电网络是由放大器、加法器、电阻、电容和电网络是由放大器、加法器、电阻、电容和电感等线性单元电路和器件组成的。电感等线性单元电路和器件组成的。n运用电路分析中的相量法，通过电网络的频运用电路分析中的相量法，通

25、过电网络的频域电路模型可以很方便地得出激励与响应的频域电路模型可以很方便地得出激励与响应的频域关系式，即域关系式，即 n通过部分分式展开法求出响应的时域解。通过部分分式展开法求出响应的时域解。)()()(XHY)(txR1C)(ty1t)(tx0221F （a）矩形脉冲信号 （b）RC电路 图3-32 例3-20图)(X022221t)(tx0（a）矩形脉冲信号及其幅频特性曲线)(H0te1t)(th01（b）RC低通电路的冲激响应及其幅频特性曲线 )(Y022221t)(ty0（c）RC低通电路的响应及其幅频特性曲线 图3-33 矩形脉冲信号通过RC低通电路返回本节3.7.4 无失真传输及其

26、条件无失真传输及其条件n1时域时域无失真传输的条件无失真传输的条件n无失真传输是指线性系统无失真传输是指线性系统输出输出响应响应y(t)的波的波形形与输入与输入激励激励x(t)的的波形完全相同波形完全相同，其，其幅度大幅度大小可以不同，时间前后有所差异小可以不同，时间前后有所差异，即：，即：)()(0ttKxtyLTI系统) ( t x1122) ( ) ( 0 t t Kxt y - =) ( t xtt) ( t y)(tx)()(0ttKxtytt0t00)(tx)(ty图3-34 LTI系统的无失真传输2频域无失真传输的条件频域无失真传输的条件n对式（对式（3-73）两边取傅里叶变换，

27、并利用时）两边取傅里叶变换，并利用时移特性，可得移特性，可得 )()()()(0XHeKXYtj所以无失真传输系统的系统函数为：所以无失真传输系统的系统函数为：0)(tjeKH2频域无失真传输的条件频域无失真传输的条件n由此可得，系统无失真传输的条件为：由此可得，系统无失真传输的条件为：0)()(tKHH0K)(H00t)(H无失真传输系统的频谱特性0t)(tf0t)(tf0t)(tf（a）原信号 （b）幅度失真 （c）相位失真 图3-36 信号的幅度失真和相位失真1RCF12RLH1)(tis)(2tv1Rj12Rj)(sI)(2V（a）时域电路模型 （b）频域电路模型 图3-37 例3-2

28、1图返回本节3.7.5 理想低通滤波器及其响应理想低通滤波器及其响应n1理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应n2理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应1理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应n由于系统函数由于系统函数 为系统冲激响应为系统冲激响应h(t)的傅的傅里叶变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应里叶变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应为：为：)(HccddeedeHHthtjtjtj21)(21)()(1F)(21)(dccttjttSadeccdt)(th0dtc2t)(t0) 1 (c图3-39 理想低通滤波器的冲激响应2理想低通滤波器的阶跃响应理想低

29、通滤波器的阶跃响应n若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信号号u(t)，则其响应为阶跃响应则其响应为阶跃响应g(t)。n根据时域分析可知，阶跃响应根据时域分析可知，阶跃响应g(t)可以通过可以通过对冲激响应的积分而得到，即：对冲激响应的积分而得到，即：tddctdcctdttdtSadhtg)()(sin)()()(t)(tg0dtcdtt)(tu0121cdt1图3-40 理想低通滤波器的阶跃响应返回本节3.8 抽样定理抽样定理n3.8.1 连续信号的时域抽样定理连续信号的时域抽样定理n3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号返回

30、首页3.8.1 连续信号的时域抽样定理连续信号的时域抽样定理n1信号的抽样信号的抽样 n2抽样定理抽样定理 1信号的抽样信号的抽样 n连续连续时间时间信号信号f(t)抽样的工作原理如图抽样的工作原理如图3-41所示。所示。)(tf0tS)(tf)(tfs抽样器)(tfs0tsTsT图3-41 信号的抽样 n抽样器相当于一个定时开关，它每隔一个周期抽样器相当于一个定时开关，它每隔一个周期ts闭闭合一次，每次闭合时间为合一次，每次闭合时间为t，从而得到样值信号从而得到样值信号fs(t)。)(ts0tsTsT1sT2 图3-42 抽样开关信号 )(tf)(ts)()()(tstftfs 图3-43 抽样模型2抽样定理抽样定理 )(tf0t)(tT0t)(tfstsTsT0sTsT) 1 (t图3-44 理想抽样0)(tft0)(Fmm1（a）信号及其频谱) 1 (0)(tssTsTsT2sT2t)(s0ss)(Ss2s2（b）信号及其频谱0)(tfst0)(sFsTsTsT2sT2sssT1mm（c）抽样信号及其频谱 理想抽样与频谱分析返回本节3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号n信号在抽样时必须满足信号在抽样时必须满足抽样定理的条件是抽样定理的条件是mmsf21T 2 s或3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢