2412垂直于弦的直径

1、靖西二中 黄宏（）圆是轴对称图形吗？（）圆是轴对称图形吗？（）如果是（）如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少你能找到多少条对称轴？条对称轴？（）你是用什么方法解决上述问题的（）你是用什么方法解决上述问题的? ?答：圆是轴对称图形答：圆是轴对称图形. .答；圆的对称轴是任意一条答；圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线经过圆心的直线, ,它有无数条它有无数条对称轴对称轴. .答：利用答：利用对折对折的方法即可解决上述问题的方法即可解决上述问题. .O（）圆是中心对称图形吗？（）圆是中心对称图形吗？（）如果是（）如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?（）你又是

2、用什么方法解决这个问题（）你又是用什么方法解决这个问题的的? ?答：圆也是中心对称图形答：圆也是中心对称图形. .答：它的对称中心就是答：它的对称中心就是圆心圆心. .答；用答；用旋转旋转的方法即可解决这个问的方法即可解决这个问题题. .AM=BM,AB是是 O的一条弦的一条弦.（）你能发现图中有哪些相等的线段和（）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？弧？作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.O（）左图是轴对称图形吗（）左图是轴对称图形吗?如果如果是是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n发现图中有发现图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD

3、.（）说出图中的弦和弧（优（）说出图中的弦和弧（优弧劣弧）弧劣弧） 如图理由是如图理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.OA=OB，OM，AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD. 定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分平分弦弦,并且并且平分平分弦所的两条弧弦所的两条弧.EDCOAB下列图形是

4、否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB例如图，在以例如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。求证：求证：AC = BDABCDOE证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AE = BE, CE = DEAE CE = BE DE 即即 AC = BD辅助线：垂直于弦的直径。辅助线：垂直于弦的直径。 实际上从圆心作与弦垂直的线段。实际上从圆心作与弦垂直的线段。 变变 换换ABCDO1、如图、如图1，在，在 O中中, AB是是 弦弦, OC =

5、 OD。求证：求证：AC = BD (1)ABCDO2、如图、如图2，在，在 O中中, CD是是弦弦, OA = OB。求证：求证：AC = BD (2)垂径定理垂径定理：AM=BMAD=BDAC=BCABCDOM 如果如果交换垂径定理的交换垂径定理的题设题设和和结论结论的部分语句的部分语句，会有一些什么样的结论呢？会有一些什么样的结论呢？直线直线CD过圆心过圆心O AM=BMAD=BDAC=BC?(AB不是直径不是直径)直线直线CD过圆心过圆心O AM=BM(AB不是直不是直径径)AD=BDAC=BC条件条件结论结论垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦平分弦（不是直径不是直径）的）的直径直

6、径垂直垂直于弦，并且于弦，并且平平分分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 ABCDOM几何语言几何语言:垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的

7、一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.例例2.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的

8、距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).垂径定理的应用垂径定理的应用解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半，半径为径为Rm，经过圆心，经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根据垂径定理，根据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.AB=37.

9、4 CD=7.2AD= AB= 37.4=18.72121OD=OCDC=R-7.2OA2=AD2 + OD2即：即：R2 = 18.72 + ( R 7.2 )2CDOAB船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？ 相信自己能独立相信自己能独立完成解答完成解答. 做一做做一做P补补船能过拱桥吗船能过拱桥吗

10、解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得 做一做做一做P补补ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在

11、RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.课堂小结1.圆的对称性圆的对称性2.垂径定理及推论垂径定理及推论BADCOE3.技巧：重要辅助线是过技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。圆心作弦的垂线。4.思路：（由）垂径定理思路：（由）垂径定理构造构造Rt（结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程如图，如图，O的半径为的半径为5，弦，弦AB的长为的长为8，M是弦是弦AB上的动点，则线段上的动点，则线段OM的长的最小值为的长的最小值为_._.

12、最大最大值为值为_._. 35 例已知例已知 O的直径是的直径是 cm， O的两条平行的两条平行弦弦AB= cm ，CD=cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、在点、在点O两侧两侧AB、在点、在点O同侧同侧过点作直线过点作直线，交于。，交于。某机械加工厂要把一个如图所示的破轮子某机械加工厂要把一个如图所示的破轮子重新加式成新的一个轮子重新加式成新的一个轮子,加工前先要在图加工前先要在图纸上计算出这个破轮子所在圆的直径纸上计算出这个破轮子所在圆的直径.已知图中弦已知图中弦AB=40cm,高高CD=10cm,请你请你帮助工人师傅求出该破轮的直径帮助工人师傅求出该破轮的直径.ABCD练习练习:AB如图如图,已知已知AB(1)你能求出你能求出AB的中点吗的中点吗?(2)你能把你能把AB四等分吗四等分吗?1. 如图如图1,在圆在圆O中中,若若MNAB,MN为直径为直径, 则则_, _, _. MOABNC2. 如图如图2,已知圆已知圆O的半径的半径OA长为长为5,直径直径MN垂直垂直于于AB,AB长为长为8, 则则OC的长为的长为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如图如图2:MN为圆为圆O的直径的直径