线性代数总复习很全PPT学习教案

1、会计学1线性代数线性代数(xin xn di sh)总复习很全总复习很全第一页，共68页。 则则的的代代数数余余子子式式是是设设,ijijnnijaAaA jijiAAaAaAajinjiji当当当当,022211 jijiAAaAaAanjnijiji当当当当,02211利用展开定理，高阶行列式计算可以(ky)转化为低一阶行列式的计算(j sun)。第2页/共68页第二页，共68页。特殊(tsh)关系式是是数数，则则阶阶方方阵阵是是设设knBA, AAAkkAnn1,1 ,121*1 nAAAA BABCABAAB 0,3第3页/共68页第三页，共68页。 3 31235,2, AAAAAB

2、 设设求求，解1213,23 AAAA 132cc B21cc 123,3 AAA 3 A 12223,2 BAAAAA 其其中中计算(j sun)下列行列式 第4页/共68页第四页，共68页。123 4121231123232112 , , , 4 =m , =n+ =? 例例题题 设设均均为为 维维列列向向量量且且四四阶阶行行列列式式则则第5页/共68页第五页，共68页。解方程02781941321111132xxx此为范德蒙行列式0321xxx3, 2, 1x例题(lt)第6页/共68页第六页，共68页。smA nsB nmijnmcC )(BAAB 不能推出(1)(3)(2)0AB0A

3、或0BBCAB 不能推出CB 交换律不成立(chngl)消去律不成立(chngl)转置矩阵的运算律1 1221 sijijijissjikkjkca ba ba ba b 一、矩阵运算中注意的几点() TTTABB A 第7页/共68页第七页，共68页。AAT 若AAT 若阶梯(jit)阵A与行最简阶梯(jit)阵B 00000160007430051321A 00000210003010050021BTT-1 A A=E A =A 正正交交矩矩阵阵正正定定矩矩阵阵若A 为n阶对称(duchn)矩阵A 为n阶反对称矩阵第8页/共68页第八页，共68页。n 阶方阵(fn zhn)A可逆的充要条件

4、n阶方阵(fn zhn)A可逆0 AEBAEABB 或或，使，使存在方阵存在方阵, nAnn 秩秩0 的的特特征征值值全全部部A仅仅有有零零解解齐齐次次线线性性方方程程组组0 XAnn向向量量组组线线性性无无关关。列列的的行行)(AEA第9页/共68页第九页，共68页。可逆矩阵(j zhn)的性质 设A,B都是n阶可逆矩阵(j zhn)，k是非零数，则 TTAAAkkAABABAA111111111142,31 5、求方阵(fn zhn)A的逆矩阵的方法 *1, 011AAAAA 且且可逆可逆则则如果如果BAA 1可逆，且可逆，且 则则或或使使如果存在方阵如果存在方阵,2EBAEABB 1,3

5、AAEEA可可逆逆，且且则则如如果果行行变变换换第10页/共68页第十页，共68页。nEAAAAA*1 AAA1 nAA特别(tbi)：AA11 第11页/共68页第十一页，共68页。矩阵(j zhn)的初等变换,初等方阵用初等方阵左（右）乘 A，相当于对 A 作初等行（列）变换得到(d do)的矩阵，矩阵(j zhn)A的标准型 0, 00rm nm nEr ArA 初初等等变变换换设设则则第12页/共68页第十二页，共68页。1、R（A）：A的不等于(dngy)0的子式的最大阶数。2、秩的基本(jbn)关系式： TnmARARnmAR ;,min13、关于(guny)秩的重要结论： 矩阵的

6、秩；矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变矩阵的初等变换不改变1 003 AnARAAnARnA可逆可逆阶方阵，则阶方阵，则是是设设 矩矩阵阵是是阶阶可可逆逆矩矩阵阵，阶阶、分分别别是是、设设nmAnmQP 2 PAQRAQRPARAR 则则 002 AAR第13页/共68页第十三页，共68页。)(),(min()(BrArABr重要(zhngyo)结论则则设设,)(,)(tnijnmijbBaA)()()()1(ABrnBrArnBrArAB)()(, 0)2(特别特别,)()3(nAr若若0, 0BAB则则且且阵阵，则则均均为为nmBA,)4()()()(BrArBAr则则阶阶方方阵阵为为, 2,

7、)5(nnA)(*Ar.)(,nArn. 1)(, 1 nAr. 2)(, 0 nAr第14页/共68页第十四页，共68页。1)R（A）：A的不等于(dngy)0的子式的最大阶数。2）初等变换法：TA阶阶梯梯形形,R（A）=T的阶梯(jit)数3）若P可逆，则 APRAR ,常需先验证(ynzhng)P可逆4 ） 利利用用矩矩阵阵的的秩秩和和矩矩阵阵对对应应的的其其次次方方程程组组的的解解的的关关系系5 ）利利用用相相似似矩矩阵阵的的秩秩 （矩矩阵阵的的秩秩n-0n-0特特征征秩秩的的重重数数）第15页/共68页第十五页，共68页。设 A、B 都是 n 阶方阵(fn zhn)，则 222()2

8、 aABAABB e, ABBA 当当时时 成成立立 1 nABBA , ABBA 当当时时 成成立立, ABBA 当当时时 成成立立 ABABBABA bABBA 1,:1 cIfAthenA 22()() dABABAB eABBA 第16页/共68页第十六页，共68页。,nA,B,CABC = E设设 阶阶方方阵阵满满足足关关系系式式则则必必有有：1 2(3) 4ACB = ECBAEBACE BCA= E （ ）（ ）（ ）（4）第17页/共68页第十七页，共68页。 3 , 0 A BnABA,B 选选择择题题 设设都都是是 阶阶非非零零矩矩阵阵，且且，则则的的秩秩为为：1 2 (3

9、) n（ ）必必有有一一个个等等于于零零（ ）都都小小于于一一个个小小于于n ,n ,一一个个等等于于n (4) n (4) 都都等等于于n n（2）第18页/共68页第十八页，共68页。11=(,0,0,), ,222 E , TTnAEBEnAB = 设设 维维列列向向量量矩矩阵阵其其中中为为 阶阶单单位位矩矩阵阵则则T(1) 0 (2) -E(3) E (4) E+ （3）第19页/共68页第十九页，共68页。, 1, 23,. 3 BABA阶阶方方阵阵，如如果果都都是是设设 BAABABAAAA 计计算算设设,2321321解 3221,2ABAABA 3221,4ABAA 12124

10、,4321321 ABAAAA *1,41AA 计算计算 114141AA413 A *13,128141AA例第20页/共68页第二十页，共68页。例：设方阵 A满足(mnz)2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆， 12 EA求求关键(gunjin)：寻求方阵 B，使（A-2E）B = E分析(fnx) EEAEA 21012并且可逆所以,2EA EAEA 210121原式可写为 010)2(2 EEAEA（重点）第21页/共68页第二十一页，共68页。例：设矩阵 X 满足(mnz)：AXB = XB+C，求X，其中 110101,100012002,2012CBA由已知，得 A

11、XB-XB=C，则得 1CXBEA 显然(xinrn)A-E、B均可逆，并且 1000110021,10111011111BEA 11CBEAX 11 BCEAX解（重点(zhngdin)）第22页/共68页第二十二页，共68页。2 101020 201ABA BABEAB 设设三三阶阶方方阵阵 、 满满足足，则则？2 A BABEA+ E)(A- E)B -(A+ E)= 0 解解： 由由， （ A+E, 显显然然可可逆逆 于于是是()AE BE, -1B = (A- E)以以下下的的做做法法有有多多种种 比比如如 求求, A A- E B求求 的的特特征征值值的的特特征征值值的的特特征征值

12、值例第23页/共68页第二十三页，共68页。 12341,3456 56780112101 ,110R AABR BA 求求设设求求12340246 0000AR(A)=2 2 R BAR A 初等变换例（重点(zhngdin)）第24页/共68页第二十四页，共68页。41312114321 TA例,4 , 3 , 2 , 1 ,41,31,21, 1 , TA ,TBNnABAn,求求解13424431233213212413121143214131211TB4第25页/共68页第二十五页，共68页。定义(dngy)定义(dngy) 极大无关组、等价等价定义（重点）第26页/共68页第二十六

13、页，共68页。2、 ,2121mm线性无关，线性无关，设向量组设向量组。3、1、矩阵初等行变换(binhun)不改变列向量组线性关系线线性性表表示示，必必可可由由则则线线性性相相关关m ,21并并且且表表法法惟惟一一。注意：求极大无关组、讨论线性表示主要(zhyo)用此方法； 秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩第27页/共68页第二十七页，共68页。线线性性表表示示可可由由向向量量m ,21有有解解 mmxxx2211 有解有解线性方程组线性方程组 mmxx121, ，mmRR,2121 第28页/共68页第二十八页，共68页。定理(dngl)线性相关线性相关向量组向量组m ,21有有

14、非非零零解解02211 mmxxx 非零解非零解线性方程组线性方程组0,121 mmxx 是向量个数是向量个数mmRm ,21第29页/共68页第二十九页，共68页。 nrnnnnn ,0,212121线性相关线性相关元元个个判别(pnbi)法 2.1元元向向量量必必线线性性相相关关个个 nn 等价(dngji)的向量组的秩相等； nrnnnnn ,0,212121线性无关线性无关元元个个部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关第30页/共68页第三十页，共68页。1212.,.,. jjmmbAB b bbBA 即添上一个分量后得向量若向量组：即添上一个分量后得向量若向量组：线性无关 则向

15、量组 ：也线性无线性无关 则向量组 ：也线性无关 反言之，若向量组 线性相关 则向量组 也线关 反言之，若向量组 线性相关 则向量组 也线性相关性相关判别(pnbi)法3 第31页/共68页第三十一页，共68页。 线性相关线性相关维向量组维向量组mn ,121DF 中中至至少少有有一一个个零零向向量量；mA ,21 对对应应成成比比例例；中中至至少少有有两两个个向向量量分分量量mB ,21 个个线线性性表表示示；余余中中每每一一个个向向量量都都可可由由其其1,21 mCm 个个线线性性表表示示；其其余余中中至至少少有有一一个个向向量量可可由由1,21 mDm mnE mRFm ,21第32页/

16、共68页第三十二页，共68页。 则则的秩为的秩为维向量组维向量组设设,221rnm BC 个向量必线性无关；个向量必线性无关；中任意中任意rAm ,21 个向量必线性相关；个向量必线性相关；中任意中任意1,21 rBm 都构成极大无关组；都构成极大无关组；个线性无关的向量个线性无关的向量中任意中任意rCm ,21第33页/共68页第三十三页，共68页。 0000001000501104020112311113111131163421设 987675431310745432432154321 ，的一个极大无关组与秩的一个极大无关组与秩，求求54321, 解 进进行行初初等等行行变变换换：，对对矩

17、矩阵阵54321, A9713548510437473263421A54321,，无无关关组组线线性性表表示示。并并将将其其余余向向量量用用此此极极大大例重点(zhngdin)第34页/共68页第三十四页，共68页。 9713548510437473263421A 00000010005011040201的一个极大无关组为：的一个极大无关组为：，54321, 421 ，其余(qy)向量由此极大无关组表示为：215213542 ，所以(suy)第35页/共68页第三十五页，共68页。 1231131,1 ,7 11bbb 讨讨论论 取取何何值值时时，向向量量组组线线性性相相关关？解 1)因为(y

18、n wi)行列式 1131731 11Dbbbb 所以(suy)当b=3或b=1时，D=0，线性相关； 否则线性无关。第36页/共68页第三十六页，共68页。,3211321 设设线性无关线性无关设设证明(zhngmng) .10332211 xxx设设 03232123211 xxx即即 03312321121 xxxxxxx所以所以线性无关线性无关因为因为,321 20003132121 xxxxxxx., 0:321321线性无关线性无关故故解之得解之得 xxx.,:,321323212也线性无关也线性无关证明证明 第37页/共68页第三十七页，共68页。,mmnnmEBABmnAnm

19、满足满足矩阵矩阵与与矩阵矩阵设设分析(fnx)：只要证明：B的列秩= m ;证明(zhngmng) mBBR 的的列列数数显显然然 mERABRBRm 又因为又因为 的的列列数数所所以以BmBR 的的列列向向量量数数的的列列向向量量组组的的秩秩所所以以BmBRB 的的列列向向量量组组线线性性无无关关。所所以以B。的的列列向向量量组组必必线线性性无无关关证证明明：并并且且Bnm, 第38页/共68页第三十八页，共68页。2)(, 03334 ArABBA矩矩阵阵且且为为矩矩阵阵，为为例例设设的的列列向向量量组组线线性性相相关关。证证明明B3)()(0 nBrArAB证证明明：2)( Ar 1)(

20、 Br的的列列向向量量组组线线性性相相关关。B第39页/共68页第三十九页，共68页。 1111k 1112k k1113 20kk 问 k 为何(wih)值时线线性性表表示示？，可可由由321 表示法唯一(wi y)，不唯一，不可表示。解 设 332211xxx即 01321xxxk kxxkx 3211 23211kxkxx kkkDA 111111111用克莱姆法则)3(2 kk30 kk0)3(2 kk第40页/共68页第四十页，共68页。 k = - 3 时.321线线性性表表示示，可可由由 表示法唯一(wi y)，0 k时 011101110111A同解方程组321xxx 有无穷(

21、wqing)多解。 921131210112A 1000123309211.321线线性性表表示示，不不可可由由 30 kk时方程组有唯一(wi y)解,321线线性性表表示示，可可由由 表示法不唯一，第41页/共68页第四十一页，共68页。线性方程组解的存在(cnzi)性定理各种( zhn)解法解的结构(jigu)定理1 设有非齐次线性方程组 10, XAnm 有解；有解；则则如果如果1,2 ARAR 无无解解；则则如如果果1,1 ARAR 有惟一解；有惟一解；则则有解时，如果有解时，如果1,nAR 有无穷多解；有无穷多解；则则如果如果1, nAR 第42页/共68页第四十二页，共68页。定

22、理(dngl)1 设有齐次线性方程组（2）0 XAnm 则则设设, rAR 个个解解向向量量；基基础础解解系系中中含含rn 通解为：通解为：则则基础解系基础解系设设,21rn RkkkkkkXrnrnrn ,212211 仅有零解；仅有零解；则则如果如果,1nr 必有非零解；必有非零解；则则如果如果2,2nr 第43页/共68页第四十三页，共68页。定理(dngl)2 设有非齐次线性方程组（1） 0, XAnm 则则如如果果设设,nrARARrAR 必有无穷多解；必有无穷多解；方程组方程组 AX1 ,2的一个特解的一个特解是是设设 AXRkkkkkkXrnrnrn ,212211 ,基基础础解

23、解系系的的是是设设0,21 AXrn 的的通通解解为为：则则 AX第44页/共68页第四十四页，共68页。 讨论a满足(mnz)什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、 23213213211aaxxxaxaxxxxax解系数(xsh)行列式aaaD111111 212111111121111222 aaaaaaaaaa所以(suy)1):有惟一解；有惟一解；时时并且并且即即当当,21, 0 aaD增增广广矩矩阵阵时时当当,2 a2): 421121211112A 300021211112213rrr有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。（重点）例第45页/共68页第四十五页，共68页。由于同解方

24、程组中出现了矛盾(modn)方程:0=3,故无解.2):增增广广矩矩阵阵时时当当,1 a 111111111111A1312,rrrr 000000001111 方程组为方程组为，有无穷多解，一同解，有无穷多解，一同解此时此时31 ARAR 33223211xxxxxxx则通解(tngji)为Rkkkkxxx 2121321,001101011第46页/共68页第四十六页，共68页。 0, 当时，称与正交。 nrr ,21nR中两两正交、非零向量组线性无关(wgun)。 jijiji, 1, 0, n ,21若满足n ,21称为规范(gufn)正交基。定义3 五、内积、施密特正交化。元列向量）

25、元列向量）为为nTT ,(),( 第47页/共68页第四十七页，共68页。A是n阶方阵,若是正交矩阵A称EAAT 性质(xngzh)2A的列(行)向量(xingling)组为正交单位向量(xingling)组是正交矩阵A1 AAT性质1是正交矩阵则A可逆且A设性质3设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。EAAT jiji , jiji, 1, 0即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。性质4设 A 是正交矩阵，则 AA与与1也是正交矩阵。性质5设 A 是正交矩阵，则. 1 A第48页/共68页第四十八页，共68页。3、施密特正交化方法(fngf)321, 3R设在中为线性无关(w

26、gun)向量组11 令正交化过程(guchng)： 1111222, 222231111333, 321, 则是正交向量组，单位化iii 第49页/共68页第四十九页，共68页。内容(nirng)： 矩阵(j zhn)的特征值与特征向量的定义,求法,性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法定义1使方程XAX ,nnijaA 设方阵,X成立数 和 n 元非零列向量第50页/共68页第五十页，共68页。1、特征值的求法个个特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2、特征向量的求法 riiXAE , 0,1得得基基础础解解系系解解对对特特征征值值 所对应的特征向量为所对应的特

27、征向量为i 不不全全为为零零rrrkkkk,111 第51页/共68页第五十一页，共68页。 nnnijnaA ,1个特征值分别为个特征值分别为的的设矩阵设矩阵 性质(xngzh) .1221121nnnaaa 的迹的迹A An 212 nAA ,0321 可可逆逆全不为零。第52页/共68页第五十二页，共68页。性质(xngzh)200,0,AA 设设是是 的的一一个个特特征征值值且且则则 01000*04400112,343356537537TmmAAAAAAAAAAE 特特征征向向量量可可逆逆时时特特征征向向量量特特征征向向量量特特征征向向量量可可逆逆时时特特征征向向量量第53页/共68

28、页第五十三页，共68页。3,AA 设设的的一一个个特特征征值值为为 ，是是相相应应的的特特征征向向量量，则则2 2 11*211323444565AEAAAAAA 的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为 1322182481322A5 .1921252例3 设A是一个(y )方阵 102030,kAEAA 如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果则则的的特特征征值值必必为为 -10000kkA 第54页/共68页第

29、五十四页，共68页。设矩阵(j zhn)A、B相似，求参数a,b,c.;11,201200011bBaA解 1）因为矩阵(j zhn)A、B相似，所以 tr Atr BAB 1221 14bab 即即31ba第55页/共68页第五十五页，共68页。设矩阵A、B相似(xin s)，求参数a,b,c.2）因为矩阵A、B相似(xin s)，所以1也是A的特征值，所以 1452016 ,03Ac 并且(bngqi)1是B的一个特征值0,242060054010cccAE第56页/共68页第五十六页，共68页。1）方阵A的不同(b tn)特征值所对应的特征向量必线性无关。2）实对称矩阵(j zhn)A的

30、不同特征值所对应的特征向量必相3）正交向量组必是线性无关组。互正交。第57页/共68页第五十七页，共68页。1、一个(y )充分必要条件：n阶方阵(fn zhn)A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：nnnA ,2121，个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的是是设设 nAPP 2114、正交对角化 可可逆逆，并并且且，则则令令是是相相应应的的特特征征值值PPn ,21 （重点）（重点）第58页/共68页第五十八页，共68页。,10100002xA（1）求设,

31、BA相似于（1）由性质(xngzh)., yx yx12（2）1y,10000002yB.3EA（2）解.402453EA0 xBA 的的特特征征值值相相同同与与BA112，为为的的特特征征值值为为EA3245 ，y22 第59页/共68页第五十九页，共68页。例5, 3, 2, 13321 的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设A：对对应应的的特特征征向向量量分分别别是是,)4 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(21TT ,)9 , 3 , 1(3T ).(ZnAn 求求),(321 C取取解解ACC1 321 1 CCAnnCCA)(1 111 CCCCCCAn1 CCAnn第60页/共68页第六十页，共68页。三阶实对称矩阵 的特征值分别为A, 3, 221 ,321, 秩 ,2A相应(xingyng)的特征向量分别为已知,0111 X 1112X3.A求 的值及矩阵解秩 ,2A, 0321 A, 03 A有三个不同特征值,则 可取A03 的特征向量为,321 xxxX则 0021321xxxxx第61页/共68页第六十一页，共68页。1、二次型二次齐次多项式； 32312121222132124232,xxxxxxxxxxxxf 312111212A标准型