第七章不可压缩流体动力学基础

1、第七章第七章 不可压缩流体动力学不可压缩流体动力学基础基础重点、难点内容重点、难点内容 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理涡线、涡管以及斯托克斯定理 第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析分析流场中任意流体微团运动是研分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。究整个流场运动的基础。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有流体微团基本运动形式有平移运动平移运动，旋旋转运动转运动和变形运动等，而变形运动又包和变形运动等，而变形

2、运动又包括括线变形线变形和和角变形角变形两种。两种。平移运动平移运动、旋转运动旋转运动、线变形运动线变形运动和和角变形运动角变形运动右图为任意右图为任意t时刻时刻在平面流场中所取的一在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由个正方形流体微团。由于流体微团上各点的运于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微动速度不一致，经过微小的时间间隔后，该流小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四发生变化，变成了斜四边形。边形。 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x从从xoy平面看速度分解平面看速度分解xxvvvxxu

3、uuBB ，yyvvvyyuuuDD ，yyvxxvvvyyuxxuuuCC ，7.1 7.1 流体微团的运动分流体微团的运动分析析 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x xtxxutyyvxuxyvy二、线变形率二、线变形率：单位长度在单位时间内的伸长：单位长度在单位时间内的伸长量量线变形率线变形率7.1 7.1 流体微团的运动分流体微团的运动分析析流体的特征流体的特征？7.1 7.1 流体微团的运动分流体微团的运动分析析三、角变形率三、角变形率 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x xtyy

4、utxxvtyutgtxvtg1. 角变形角变形 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x角变形角变形率率)(2121lim0yuxvttzOO2OAO2. 角变形率角变形率7.1 7.1 流体微团的运动分流体微团的运动分析析tyutxv四、旋转角速四、旋转角速度度旋转角速旋转角速度度)(2121lim0yuxvttz流体微团的运动流体微团的运动形式与微团内各点速形式与微团内各点速度的变化有关。设方度的变化有关。设方形流体微团中心形流体微团中心 M 的流速分量为的流速分量为 ux 和和 uy （图（图 7-1 ) ，则微，则微团各侧边的中点团各

5、侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速的流速分量分别为：分量分别为：可见，微团上每一点可见，微团上每一点的速度都包含的速度都包含中心点的速度中心点的速度以及由于以及由于坐标位置不同坐标位置不同所引所引起的速度增量两个组成部分。起的速度增量两个组成部分。A A 、 B B 、 C C 、 D D 的流速分量的流速分量平移运动速度平移运动速度微团上各点公有的分速度微团上各点公有的分速度 ux 和和uy ，使它们在使它们在 dt 时间内均沿时间内均沿 x 方向移动一方向移动一距离距离 uxdt , 沿沿 y 方向移动一距离方向移动一距离 uydt 。因而，我们把因而，我们把中心点中心点 M

6、的速度的速度 ux和和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。，定义为流体微团的平移运动速度。线变形运动线变形运动微团左、右两侧的微团左、右两侧的 A 点和点和 C 点沿点沿 x 方方向的速度差为向的速度差为 ，当这速度差值为正，当这速度差值为正时，微团沿时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿时，微团沿 x 方向发生缩短变形。方向发生缩短变形。线变形速度线变形速度单位时间，单位长度的线变形单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。称为线变形速度。以以x表示流体微团沿表示流体微团沿 x 方向的方向的线变形速度，则：线变形速度，则：三元流动线变形速度三元流动

7、线变形速度微团的旋转和角变形微团的旋转和角变形旋转角速度旋转角速度把把对角线对角线的旋转角速度的旋转角速度定义为整个流定义为整个流体微团在平面体微团在平面上的旋转角速上的旋转角速度。度。角变形速度角变形速度直角边直角边 AMC （或（或BMD）与对角）与对角线线 EMF 的夹角的变的夹角的变形速度定义为流体形速度定义为流体微团的角变形速度。微团的角变形速度。亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理第二节第二节 有旋流动有旋流动流体微团的流体微团的旋转角速度旋转角速度在流场内在流场内不完全不完全为零为零的流动称为有旋流动。的流动称为有旋流动。自然界和工程中

8、出现的流动大多数是有自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如旋流动，例如:龙卷风龙卷风管道流体运动管道流体运动绕流物体表面的边界层及其尾部后面的绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动。流动。无旋流动有旋流动有旋流动与无旋流动有旋流动与无旋流动涡量涡量涡量连续性微分方程涡量连续性微分方程涡线及涡线微分方程涡线及涡线微分方程在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。线。在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处与涡线相切。量在该点处与涡线相切。涡线涡线

9、涡管涡管在涡量场中任意画一封闭曲线，在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所作出的通过这条曲线上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。涡线构成一管状的曲面，称为涡管。涡通量涡通量涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。斯托克斯定理斯托克斯定理沿任意封闭曲线沿任意封闭曲线s的速度环量的速度环量等于通确该曲线为边界的曲面等于通确该曲线为边界的曲面 A 的的涡通量。涡通量。速度环量速度环量通常，涡通量是利用速度环量这个概念来通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。计算的。在流场中任取一封闭曲线在流场中任取一封闭曲线s则流速沿曲线则

10、流速沿曲线s的积分称为曲线的积分称为曲线s上的速度环量。并规定积分上的速度环量。并规定积分沿沿s逆时针方向绕行为逆时针方向绕行为s的正方向。的正方向。微元体内的微元体内的质量变化率质量变化率输入微元体输入微元体的质量流量的质量流量直角坐标系中的直角坐标系中的连续性方程连续性方程输出微元体输出微元体的质量流量的质量流量y xz dzdxdyxv dydzxxvvdx dydzx第三节第三节 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程连续性方程连续性方程1 1、x x方向：方向：dtdt时间内沿从六面体时间内沿从六面体 x x 处与处与 x+dx x+dx 处处输入与输出的质量差：输入与

11、输出的质量差：()()xxxxvvv dydzdtvdx dydzdtdxdydzdtxxdxdydzdtyvy )( dxdydzdtzvz )( Y Y方向：方向： ； Z Z方向：方向：2 2、dtdt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：()()()()()()yxzyxzvvvdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzvvvdxdydzdtxyz 3 3、微元体内的质量变化：、微元体内的质量变化：dxdydzdtt从而有：从而有：()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt或：或：()()()0yxzvvvtx

12、yz连续性方程连续性方程连续方程物理意义：连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。矢量形式：矢量形式：()0t（适用于层流、湍流、牛（适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体）顿、非牛顿流体）0 zvyvxvzyx上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：适用范围：恒定流或非恒定流；恒定流或非恒定流；理想

13、液体或实际液体。理想液体或实际液体。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。之一。任何流体的连续运动均必须满足。一维流动的连续方程一维流动的连续方程1122AA若流体不可压缩：若流体不可压缩：zxyzxyvzyxu ,222 0 V0 zwyvxu02 zwzxx),(32132tyxfxzzwzxzw 方程的物理意义：方程的物理意义：方程右边是：作用在单位体积流体上方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：方程可简略表示成：aF以单位体积的流

14、体质量为基准的以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律xxaDtDv/方程左边是：任意时刻方程左边是：任意时刻t t通过考察通过考察点点A A的流体质点加速度的三个分量；的流体质点加速度的三个分量；y xz dzdxdypdydzdydzdxxpp)(在在X方向有：方向有：dtdudxdydzXdxdydzdxdydzxpxdxdydz两边除以两边除以 （即对单位质量而言），整理得：（即对单位质量而言），整理得：)(1zuuyuuxuutudtduxpXxzxyxxxx)(1zuuyuuxuutudtduypYyzyyyxyy)(1zuuyuuxuutudtduzpZzzz

15、yzxzz适用范围：适用范围：恒定流或非恒定流；恒定流或非恒定流；不可压缩流体或可压缩流体不可压缩流体或可压缩流体当液体平衡时当液体平衡时：0dtdudtdudtduzyx则可以得到则可以得到欧拉平衡微分方程。欧拉平衡微分方程。ypY1xpX1zpZ1运动方程运动方程应力状态及切应力互等定律应力状态及切应力互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzzzzyxyzyzyzdyyyxyxdyy应力状态：应力状态：切应力互等定律切应力互等定律xyyxzyyzxzzx微元体表面力的总力分量微元体表面力的总力分量X方向的表面力：方向的表面力：yxxxzxdxdydz

16、xyzY方向的表面力：方向的表面力：xyyyzydxdydzxyzZ方向的表面力：方向的表面力：yzxzzzdxdydzxyz动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率y xz dzdxdyxxv vx xx xv vv vdxxzxv vy xy xv vv vdyyz xz xv vv vdzzyxv v动量流量动量流量 动量通量动量通量x流通面积流通面积图中标注的是动量的输入或图中标注的是动量的输入或输出方向，而动量或其通量输出方向，而动量或其通量本身的方向均指向本身的方向均指向x x方向，即方向，即分速度分速度v vx x的方向。的方向。x方向：方向：2()()()yxxzxdxdydz

17、xyz 输入输出微元体的动量流量输入输出微元体的动量流量y方向：方向：z方向：方向：2()()()xyyzydxdydzxyz 2()()()yzxzzdxdydzxyz 微元体内的动量变化率微元体内的动量变化率x方向：方向：xdxdydzty方向：方向：ydxdydztz方向：方向：zdxdydzt流体的瞬时质量为流体的瞬时质量为dxdydzdxdydzvxX X方向的瞬时动量为方向的瞬时动量为x方向的运动方程：方向的运动方程：以应力表示的运动方程以应力表示的运动方程()yxxxxxxxzxxyzxftxyzxyzy方向的运动方程：方向的运动方程：z方向的运动方程：方向的运动方程：yyyyx

18、yyyzyxyzyftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzftxyzxyz注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。方程的物理意义：方程的物理意义：方程左边是：任意时刻方程左边是：任意时刻t t通过考察点通过考察点A A的流体质点加速度的三个分量；的流体质点加速度的三个分量；方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：方程可简略表示成：aF这就是以单位体积的流体质量为基

19、准的这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律xxaDtDv/粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程对一维流动问题：对一维流动问题：对粘性流体流动问题：对粘性流体流动问题：目的目的关键：关键：寻寻求流体求流体应力应力与变形速率与变形速率之间的关系之间的关系N-SN-S方程方程牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程引入的基本假设：引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，StokesStokes提出三个提出三个基本假设：基本假设：应力与变形速率成线性关系应力与变形速率

20、成线性关系; ;应力与变形速率之间的关系各向同性；应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx牛顿流体的本构方程：牛顿流体的本构方程：223yxxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本构方程的讨论：本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：正应力中的粘性应力：线变形率与流体流动：线变形率与流体流动：正应力与线变形速率：正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyz xx xxxxp

21、正应力与压力：正应力与压力：3xxyyzzp 这说明：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：切应力与角边形率：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。流体运动微分方程流体运动微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx适用于牛顿流体适

22、用于牛顿流体常见条件下常见条件下N NS S方程的表达形式：方程的表达形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下常粘度条件下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 2222221xxxxxDvpfDtxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体不可压缩流体的不可压缩流体的NS方程：方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：矢量形式：21DvfpDt

23、 2222221xxxxxxxxyzxvvvvpvvvftxyzxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下不可压缩流体的常粘度条件下不可压缩流体的NS方程：方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：矢量形式：const21()vfpDt 非定常项非定常项定常流动为定常流动为0静止流场为静止流场为0对流项对流项静止流场为静止流场为0蠕变流时蠕变流时 0单位质量流体单位质量流体的体积力的体积力单位质量流体单位质量流体的压力差的压力差扩散项（粘性力项）扩散项（粘性力项）对

24、静止或理想流体为对静止或理想流体为0高速非边界层问题高速非边界层问题0流体流动微分方程的应用流体流动微分方程的应用N-S方程应用概述方程应用概述流动微分方程的应用求解步骤流动微分方程的应用求解步骤 根据问题特点对一般形式的运动方程进行根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化简化，获，获得针对具体问题的得针对具体问题的微分方程或方程组微分方程或方程组。 提出相关的初始条件和边界条件。提出相关的初始条件和边界条件。 初始条件初始条件：非稳态问题：非稳态问题边界条件边界条件固壁流体边界：固壁流体边界：流体具有粘性，在与壁面接流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。触处流体速度为零。液体气体边界：液体气体边界：对非高速流，气液界面上，对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液相速度梯度为零。液体液体边界：液体液体边界：液液界面两侧的速度或切应液液界面两侧的速度或切应力相等。力相等。N-S方程应用举例：方程应用举例：例例: 圆管内