第七章 频率响应法

1、第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第七章第七章 频率响应法频率响应法Frequency Response Method本章主要内容：本章主要内容： 频率响应的概念及频率响应图 绘制Bode图的一般方法 频域性能指标 对数幅相图 Matlab 绘制频率响应图 设计实例教学目标：教学目标： 深刻理解频率响应的概念及在系深刻理解频率响应的概念及在系统分析设计中的作用统分析设计中的作用熟练掌握频率响应图的手工绘制熟练掌握频率响应图的手工绘制方法和计算机绘制方法方法和计算机绘制方法充分理解频域性能指标及其计算

2、，充分理解频域性能指标及其计算，频域指标与时域响应的关系。频域指标与时域响应的关系。具备利用频率响应法设计控制器具备利用频率响应法设计控制器满足指标要求的能力满足指标要求的能力参阅教材第参阅教材第8章，章，P345-386第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT7.1 频率响应及频率响应图频率响应及频率响应图 前面各章采用了基于复数域变量前面各章采用了基于复数域变量s 传递函数描述控制系统，并用系统极、传递函数描述控制系统，并用系统极、零点在零点在s平面的位置分布来分析系统响应，设计系统参数。平面的位置分

3、布来分析系统响应，设计系统参数。 本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法-频率响应法。频率响应法。一、线性系统的频率响应一、线性系统的频率响应 在前面基于在前面基于s域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些信号激励下系统信号激励下系统动态与稳态响应动态与稳态响应情况。频率响应法采用正弦测试信号，研情况。频率响应法采用正弦测试信号，研究系统在它激励下的究系统在它激励下的稳态响应稳态响应。 对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳态输出也是同频率的正弦信对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳

4、态输出也是同频率的正弦信号。而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率号。而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率的函数。的函数。造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就是频率法分析设计系统的理论依据。是频率法分析设计系统的理论依据。1. 频率响应的定义频率响应的定义 系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系表示。出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关

5、系表示。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT)sin()(itRtr)sin()(otYty)()()()()()()(GjGjGRYjioG(j)幅频响应幅频响应相频响应相频响应例如：图示例如：图示RCRC电路电路iuRouC)sin()(tAtui )sin()( tAtuoo由相量分析法得相量比：由相量分析法得相量比：1jT1C1/jRC1/jUUio TtgT12io1)(11jT1UU)j (G对一般系统对一般系统 )()()(sRsTsY其中其中22)(sAsRniipssmsqsmsT1

6、)()()()()()sin()(tAtr输入为输入为其拉氏变换其拉氏变换第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT假设假设p pi i为互不相同的极点。对为互不相同的极点。对Y(s)部分分式展开有部分分式展开有 2211 )(sspskpsksYnn2211 )(1ssLekektytpntpn取反拉普拉斯变换得取反拉普拉斯变换得 则在稳态时，输出则在稳态时，输出y(t)y(t)将为：将为：) sin()( ) sin()( 1 )(221tjTAtjTAssLty) ( jT由于由于p pi i都有负实

7、都有负实部，稳态时指数部，稳态时指数项均趋于项均趋于0 0。 当输入为正弦信号时，对于特定的频率当输入为正弦信号时，对于特定的频率，系统稳态输出信号的幅值和相，系统稳态输出信号的幅值和相位完全依赖于位完全依赖于T(j)。系统的频率响应就是。系统的频率响应就是T(j)。 在已知系统传递函数时，只要用在已知系统传递函数时，只要用j替换复变量替换复变量s 即可直接得到系统频率响即可直接得到系统频率响应函数。应函数。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT2. 拉氏变换、傅立叶变换、传递函数、频率特性的关系拉氏变

8、换、傅立叶变换、传递函数、频率特性的关系dtetftfLsFst0)()()(dsesFjsFLtfstjj)( 21)()(1dtetftfFjFtj)()()(dejFjFFtftj)(21)()(1拉氏变换对拉氏变换对傅立叶变换对傅立叶变换对)()()()()(jRjYtrFtyFjT)()()()()(sRsYtrLtyLsT传递函数传递函数频率特性频率特性js js 由拉氏变换可以可以导出系统的传递函数，由拉氏变换可以可以导出系统的传递函数，基于拉氏变换的基于拉氏变换的s平面方法侧重于分析系统的平面方法侧重于分析系统的极、零点分布；极、零点分布； 由傅立叶变换可以导出系统频率特性，基

9、于由傅立叶变换可以导出系统频率特性，基于傅氏变换的频率响应法则重点研究系统的幅频傅氏变换的频率响应法则重点研究系统的幅频和相频特性。和相频特性。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT二、频率响应的图形表达二、频率响应的图形表达 系统频率响应特性在每个频率点都是复数，复数常表示为直角坐标和极坐系统频率响应特性在每个频率点都是复数，复数常表示为直角坐标和极坐标形式。频率响应特性通常也在直角坐标系和极坐标系中绘制其曲线标形式。频率响应特性通常也在直角坐标系和极坐标系中绘制其曲线-频率频率响应图响应图。1. 极

10、坐标图极坐标图幅相图（幅相图（Nyquist图）图）)()()()(jXRsGjGjs)(Re)(jGR)(Im)(jGX频率特性函数：频率特性函数：)( )()()()(GejGjGj)()(tan)( 1RX222)()()(XRG)()(ReRG )()(ImXG 例如，例如，RC电路电路1)(11)(1)(1jRCjjG21121211)(1)()(111)()(1)()()(jjjXRjGRC11第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT21121211)(1)()(111)()(1)()()(j

11、jjXRjG21)(,21)(,0)(, 0)(,0)(, 1)(, 01XRXRXR绘制方法：绘制方法：计算若干特殊点频率特性，以光滑曲线计算若干特殊点频率特性，以光滑曲线连接。连接。45)(,21)(,90)(, 0)(,0)(, 1)(, 01GGG或者或者第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例1.1.某系统的极坐标图某系统的极坐标图 2) 1 ()()(jKjjKjGsGjs21242)()(KG 1tan)(1幅值和相位分别为幅值和相位分别为计算特殊点的值计算特殊点的值第七章第七章 频率响

12、应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT2. 对数坐标图对数坐标图Bode图图)()()(jeGjG系统频率特性函数为系统频率特性函数为在对数坐标中，通常用以在对数坐标中，通常用以1010为底的对数表示频率响应的幅值，即为底的对数表示频率响应的幅值，即）(log2010G对数幅值增益对数幅值增益 单位为分贝（单位为分贝（dBdB）1 11)(1)(jRCjjGRC) (1log(10) (11log20|log202212G tan)(1j当当 时，对数增益为时，对数增益为 /101. 3)2log(10log20G称为称为

13、转折频率转折频率或或转角频率转角频率。 /1第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUITBode图手工近似绘制图手工近似绘制1 11)(1)(jRCjjGRC对数幅值增益为对数幅值增益为) (1log(10) (11log20|log202212G在低频段，即在低频段，即 ，对数增益为，对数增益为 /1dB0) 1log(10log20G在高频段，即在高频段，即 ，对数增益为，对数增益为 /1log20log20Glog20log20水平轴选为水平轴选为log幅值特性变为一条直线幅值特性变为一条直线直线斜率为

14、直线斜率为-20dB/-20dB/十倍频率十倍频率均匀刻度均匀刻度十倍频率刻度十倍频率刻度近似幅值特性，精近似幅值特性，精确特性的渐近线确特性的渐近线第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT3. 基本因子项的频率特性图基本因子项的频率特性图频率特性函数的一般形式：频率特性函数的一般形式： MmnknkkRkmNQiibjjjjjKjG1211)/()/2(1() 1 ()() 1 ()(它的对数幅值为它的对数幅值为 RknnMmmNQiibkkjjjjKG1211j 21log20 1log20)(log

15、20 1log20log20)(log20它的相角为它的相角为 RinnkQiMmmikkN122111112tan tan)90( tan)(特点：特点：无论幅值还是无论幅值还是相角，都是各因子项相角，都是各因子项幅值和相位的代数和幅值和相位的代数和。 第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT构成系统频率特性函数的基本因子项包括：构成系统频率特性函数的基本因子项包括： 常数增益项常数增益项 Kb;原点处的极点或零点项原点处的极点或零点项 j;实轴上的极点或零点项实轴上的极点或零点项 j+1;共轭复极点或

16、复零点项共轭复极点或复零点项 ) 1(j)/()/2(1 2nnjj放大环节放大环节比例环节比例环节积分环节积分环节微分环节微分环节惯性环节惯性环节比例微分环节比例微分环节二阶环节二阶环节（a) a) 常数增益常数增益bK对数幅频增益为对数幅频增益为 bKlog20常数常数 dB 相角为相角为 0)(在在BodeBode图上幅频曲线为平行于横轴图上幅频曲线为平行于横轴的水平线。的水平线。 （b) b) 在原点处的极点（或零点）在原点处的极点（或零点） )(j极点极点的对数幅频为的对数幅频为 dBlog201log20j相角为相角为 90)(在在BodeBode图上幅频曲线为斜率图上幅频曲线为斜

17、率dB/1020倍频程倍频程的直线的直线 相频曲线相频曲线为平行与横轴的直线为平行与横轴的直线 在原点处的在原点处的一重零点一重零点的对数幅值为的对数幅值为 dBlog20log20j相角为相角为 90)(其幅频曲线为斜率其幅频曲线为斜率dB/1020倍频程的直线倍频程的直线 第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT2ej)j (G 0j0 2e1j1)j (G 0j0 都要过（都要过（1，0）点）点极坐标图极坐标图第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Contro

18、l Engineering , CUIT（c) c) 在实轴上的极点或零点在实轴上的极点或零点 ) 1(j实轴上的实轴上的极点极点，其对数幅频为，其对数幅频为 )1log(10 11log2022 j/1当当渐近线为渐近线为 dB01log20当当 /1渐近线则为渐近线则为 log20是斜率为是斜率为倍频程的倍频程的直线。直线。dB/1020两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 称为称为转折频率转折频率。/145tan)(1dB3实际对数增益为实际对数增益为 。实轴上的实轴上的零点零点，其对数幅频为，其对数幅频为 )1log(101log2022 j/1当当渐近线为渐近线为 dB01log20

19、当当 /1渐近线则为渐近线则为 log20是斜率为是斜率为倍频程的倍频程的直线。直线。dB/1020dB3实际对数增益为实际对数增益为 。45tan)(1第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT)1 (jBode图与此图相比，无论幅频还是相频都关于横轴对称。图与此图相比，无论幅频还是相频都关于横轴对称。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT1Tj1jG )(0j0 o45-1/T 1TjjG )(0j0 1极坐标图

20、极坐标图第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT（d) d) 共轭复极点或零点共轭复极点或零点 )/()/2(1 2nnjj一般情况下，一般情况下，共轭复极点对共轭复极点对的二次因子可以写为的二次因子可以写为12 21 uujnu/共轭复极点对共轭复极点对的对数幅值为的对数幅值为 )4)1log(10| )(|log202222uuG相角为相角为 211 2tan)(uudB01log10log20G相角趋于相角趋于0 0度度1u当当时，幅值为时，幅值为 )(nuuGlog40log10log204对数增

21、益曲线的渐近线是斜率为对数增益曲线的渐近线是斜率为 dB/1040倍频程倍频程的直线的直线相角趋于相角趋于1801u当当时，幅值为时，幅值为 在不考虑在不考虑影响时，两幅频渐影响时，两幅频渐近线相交于近线相交于u=1(=n)处。处。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Enginee

22、ring , CUIT)4)1log(10| )(|log202222uuG需要讨论的问题是需要讨论的问题是：u=1 附近附近对幅频和相频特性的影响。对幅频和相频特性的影响。由幅频特性曲线可以看出：由幅频特性曲线可以看出：在在u=/n=1附近，用渐近线近似附近，用渐近线近似误差较大；误差较大；近似误差与近似误差与有关，且有关，且0.7070.707时时误差明显增大，不可忽视；误差明显增大，不可忽视；当当0.707，在在u=1附近幅频特性附近幅频特性有极值（最大值）。有极值（最大值）。在在0.707，对幅频关于对幅频关于u u求极值。求极值。2210)(log20nuduGd221nr707.

23、0幅值幅值| |G G( ( )|)|的最大值的最大值-谐振峰值谐振峰值为为 )12(1| )(|2rpGM 幅频取得极大值的频率称为系统幅频取得极大值的频率称为系统谐谐振频率，振频率，用用r表示：表示： 当当趋近于趋近于0 0时，时， 谐振频率谐振频率r 趋近固有频率趋近固有频率n。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT 由前面几章分析知：系统的固有由前面几章分析知：系统的固有频率频率n、阻尼、阻尼与系统性能指标密与系统性能指标密切相关，在频率特性中，谐振频率切相关，在频率特性中，谐振频率r、谐振峰值

24、、谐振峰值Mp与与n、有关。有关。 表明，表明，系统性能指标将与谐振频系统性能指标将与谐振频率、谐振峰值相关。率、谐振峰值相关。谐振频率谐振频率r、谐振峰值、谐振峰值Mp与与n、关系曲线关系曲线 通过此曲线可以方便查出在获通过此曲线可以方便查出在获得系统谐振频率得系统谐振频率r、谐振峰值、谐振峰值Mp时，系统主导极点的时，系统主导极点的n和和。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT7.2 频率响应图的绘制频率响应图的绘制 在建立频率响应概念和获得基本环节频率响应曲线特征及绘制方法后，在建立频率响应概念和

25、获得基本环节频率响应曲线特征及绘制方法后，本节介绍系统频率响应图的手工绘制方法和利用本节介绍系统频率响应图的手工绘制方法和利用Matlab绘制方法。绘制方法。一、极坐标图绘制一、极坐标图绘制-Nyquist曲线绘制曲线绘制3 3）根据）根据A()A()和和 ()()确定变化趋势，画出确定变化趋势，画出NyquistNyquist图的大致形状。图的大致形状。绘制步骤：三个要素绘制步骤：三个要素k)(0)j (GImxx2 2）补充必要的特征点）补充必要的特征点( (如：与实轴或虚轴的交点如：与实轴或虚轴的交点) )：若存在渐近线则求出渐近线若存在渐近线则求出渐近线即求即求 =0=0和和 = =

26、时时 A(0A(0+ +),), (0(0+ +) )；A(),A(), ()()；1 1）起点和终点：）起点和终点：第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT1. 1. 起点：起点：=0=0+ + 时时G(j0G(j0+ +) ) 和终点：和终点：=时时G(j)G(j)设系统传递函数设系统传递函数：njjmiisTssKsG11) 1() 1()(幅频幅频： njmiiK12j121)T(1)()(A相频：相频： -n1jj1m1ii1o)T(tg)(tg90)( 起点：起点：=0+ ：K)A(0 o0)

27、(0 )A(0o90)(0 0 0型：型：型及以上：型及以上：结论：结论： 起点位置与系统的型起点位置与系统的型 有关。有关。0 1 2 第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT) 1()(TssKsG111)(2222TKjTKTjTjKjG1)(,arctan90)(22TKjGTjG例例1 1 系统传递函数系统传递函数垂直渐近线：垂直渐近线：水平渐近线：水平渐近线：(Relim0jG(Imlim0jG渐近线问题渐近线问题第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic C

28、ontrol Engineering , CUIT结论：终点趋于坐标原点，只是入射结论：终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（角不同，由分子分母的阶次之差（n-n-m m）决定）决定。物理意义物理意义1mn 2mn 终点：终点： ：0)A( o90)mn()( njmiiK12j121)T(1)()(A -n1jj1m1ii1o)T(tg)(tg90)(第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT2. 2. 曲线与实轴（或虚轴）的交点：曲线与实轴（或虚轴）的交点：虚轴交虚轴交点如何点如何求？

29、求？令虚部为零，解得令虚部为零，解得xx；再将；再将xx代入代入Re(j) Re(j) 即与实轴的交点。即与实轴的交点。例例2 2 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数) 11 . 0)(1 (10)()(sssHsG绘制系统开环幅相图。绘制系统开环幅相图。)1 . 01)(1 (1 . 110)1 . 01)(1 ()1 . 01 (10 )1 . 01)(1 (10)()(2222222jjjjHjGj0-10)G(j 0解：解： 系统开环频率特性系统开环频率特性起始点起始点终止点终止点与虚轴交点：令与虚轴交点：令j0-0)G(j j2.87-0)G(j 100)1 . 01)(1 (

30、)1 . 01 (1022222（10，j0)（0，-j2.87)第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT3. 3. Matlab 绘制频率响应极坐标曲线绘制频率响应极坐标曲线Matlab提供了绘制系统频率响应极坐标曲线的函数：提供了绘制系统频率响应极坐标曲线的函数：Nyquist().num=1 5;den=conv(1 3 2,1 2 5 0);sys=tf(num,den); nyquist (sys);-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-10-8-6-4-20246810Nyqui

31、st DiagramReal AxisImaginary Axis)52)(2)(1(5)(2sssssssG第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT二、二、Bode 图绘制图绘制系统频率响应系统频率响应BodeBode图的绘制的步骤：图的绘制的步骤： 1 1）基本环节分解；）基本环节分解； 2 2）将基本环节转折频率由低到高排列并依次标注到半对数坐标上；）将基本环节转折频率由低到高排列并依次标注到半对数坐标上； 3 3）绘制各基本环节幅频与相频渐近线图：）绘制各基本环节幅频与相频渐近线图： 4 4）自低

32、到高）自低到高频做幅频渐近线叠加及相频角度叠加：频做幅频渐近线叠加及相频角度叠加： 幅频：在转折频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个转折幅频：在转折频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个转折频率之间为斜率代数和的直线；频率之间为斜率代数和的直线； 相频：按相频渐近线转折点做直线斜率叠加得到相频渐近线。相频：按相频渐近线转折点做直线斜率叠加得到相频渐近线。 5 5）根据基本环节渐近线误差进行修正获得精确图形。）根据基本环节渐近线误差进行修正获得精确图形。 实际上，只需要精确计算特殊关注点：实际上，只需要精确计算特殊关注点： 幅频：过幅频：过0dB线的点和斜率；幅频极值点和谐振频率。

33、线的点和斜率；幅频极值点和谐振频率。 相频：过相频：过-180角度线的点及频率。角度线的点及频率。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例3 3. .系统传递函数为系统传递函数为: :)50/()50/(6 . 01)(5 . 01 ()1 . 01 (5)(2jjjjjjG第一步：第一步：按频率递增顺序，将各因子排列如下按频率递增顺序，将各因子排列如下1 1）常数增益）常数增益2 2）在原点处的极点）在原点处的极点3 3）在）在 处的极点处的极点4 4）在）在 处的零点处的零点5 5）在）在 处的复

34、极点对处的复极点对5K21050n绘制其频率响应绘制其频率响应BodeBode图图)250030)(2()10(2500)(2ssssssG解：解：系统频率特性为系统频率特性为: :注意：注意：各基本因子的各基本因子的标准形式！标准形式！第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第二步：第二步：画出各基本因子的幅值特性渐近线。画出各基本因子的幅值特性渐近线。 1 1）常数的对数增益为）常数的对数增益为 ，将其标在幅值图中，如，将其标在幅值图中，如所示。所示。 dB145log202 2）在原点处的极点，其幅

35、值渐近线的斜率为）在原点处的极点，其幅值渐近线的斜率为 倍频，在倍频，在 处处与与0dB0dB相交，将其标在幅值图中，如相交，将其标在幅值图中，如所示。所示。dB/102013 3）在）在 处的极点，当频率超过转折频率处的极点，当频率超过转折频率 时，其幅值渐近线的时，其幅值渐近线的斜率为斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB0dB线，将其标在幅值图中，如线，将其标在幅值图中，如所示。所示。22dB/1020第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering ,

36、 CUIT4) 4) 在在 处的零点，当频率超过转折频率处的零点，当频率超过转折频率 时，其幅值渐近线时，其幅值渐近线的斜率为的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB0dB线，将其标在幅值图中，如线，将其标在幅值图中，如所示；所示； 1010dB/10205) 5) 在在 处的复极点对，当频率超过转折频率处的复极点对，当频率超过转折频率 时，其幅值渐近线的斜率为时，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为时，其幅值渐近线为0dB0dB线，将其标在幅值图中，如线，将其标在幅

37、值图中，如所示。所示。 50n50ndB/1040第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第三步第三步：将各个因子的幅值特性渐近线迭加绘制该系统频率响应的幅值渐：将各个因子的幅值特性渐近线迭加绘制该系统频率响应的幅值渐近线。绘制方法是近线。绘制方法是按照频率递增的顺序并考虑每个因子的影响，来绘制总按照频率递增的顺序并考虑每个因子的影响，来绘制总的幅值渐近线的幅值渐近线。最后对其进行修正，得实际幅值曲线。最后对其进行修正，得实际幅值曲线。 -20dB/十倍频程十倍频程-40dB/十倍频程十倍频程-20dB/

38、十倍频程十倍频程-60dB/十倍频程十倍频程第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第四第四步：对于独立极点或零点，分别绘制其相角特性的渐近线。：对于独立极点或零点，分别绘制其相角特性的渐近线。 1 1）常数增益的相角为）常数增益的相角为 。02 2）在原点的极点处，其相角为常数）在原点的极点处，其相角为常数 903 3）在）在 = 2 = 2的极点，其相角特性渐近线如图中所示

39、，在的极点，其相角特性渐近线如图中所示，在 = 2 = 2的的相角为相角为454 4）在）在 =10 =10的零点，其相角特性渐近线如图，其中在的零点，其相角特性渐近线如图，其中在 =10 =10的相角的相角为为 ； 455 5）复极点对的精确相角特性见图所示。）复极点对的精确相角特性见图所示。 第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT第五步第五步：将各个因子的相角特性渐近线迭加绘制系统频率特性的相角渐近：将各个因子的相角特性渐近线迭加绘制系统频率特性的相角渐近线。绘制方法：线。绘制方法：以频率递增的顺序

40、考虑每个因子的影响，绘制总的相角渐以频率递增的顺序考虑每个因子的影响，绘制总的相角渐近线近线。最后对其进行修正，得实际幅角曲线。最后对其进行修正，得实际幅角曲线。2121111 2tantantan90)(uu50/ , 1 . 0 , 5 . 021nu,17555. 3tan6 . 4tan23tan90)46(111计算特殊点：计算特殊点：第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT利用利用Matlab绘制绘制Bode 图图Matlab提供了绘制系统频率响应提供了绘制系统频率响应BodeBode图的函数

41、：图的函数：Bode().num=2500 25000;den=conv(1 2 0,1 30 2500);sys=tf(num,den); bode (sys);)250030)(2()10(2500)(2ssssssG-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102103-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT三、最小相位和非最小相位系统三、最小相

42、位和非最小相位系统 前面例子中，所考虑的系统传递函数的零点和极点均在前面例子中，所考虑的系统传递函数的零点和极点均在s s平面的左半边。平面的左半边。该系统称为该系统称为最小相位系统最小相位系统。 实际上，若系统极点在左边实际上，若系统极点在左边s s平面内，系统有零点在右边平面内，系统有零点在右边s s平面上，系统平面上，系统仍为稳定的。仍为稳定的。我们把具有右半我们把具有右半s s平面零点的系统称为非最小相位系统。平面零点的系统称为非最小相位系统。 下图下图8(a)8(a)和和(b)(b)所示的两个零所示的两个零极点图具有相同的幅值特性。然而，它们极点图具有相同的幅值特性。然而，它们的相位

43、特性是不同的。见图的相位特性是不同的。见图(c)(c)。pszssG)(1pszssG)(2第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例4.4.已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。20dB/dec0dB/dec40dB/dec-122000.111 101002 )(L说明：红色曲线说明：红色曲线为幅频响应的渐为幅频响应的渐近线。近线。含有哪些环节？含有哪些环节？Ks1s/11 1/ s2/s12222解：解：确定参数？确定参

44、数？根据幅频曲线渐近线及精确曲线知，系统含有下列基本环节：根据幅频曲线渐近线及精确曲线知，系统含有下列基本环节：低频段渐近线的斜率为低频段渐近线的斜率为20dB/dec20dB/dec且过且过0dB0dB时频率为时频率为1 1，则知，则知K=1。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT20dB/dec0dB/dec40dB/dec-122000.111 101002 )(L对直线段对直线段：斜率为斜率为20dB/dec，且过（且过（1，0）点。）点。则其方程为：则其方程为：lg20)(L由曲线知：由曲线知

45、：12lg20)(11L对直线段对直线段：41020121lg4080)(L由曲线知：由曲线知：由曲线知：由曲线知：Mp=20-12=8dB12lg4080)(22L501040682812120lg20lgM2p196. 0传递函数为：传递函数为：1)50s196. 0250s1)(4s(s) s (G22第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT7.3 频域性能指标频域性能指标 讨论系统频率响应，绘制频率响应图的目的是为了分析和设计控制系统。讨论系统频率响应，绘制频率响应图的目的是为了分析和设计控制系统

46、。系统的系统的频率响应与系统的时域响应是什么关系？频率响应与系统的时域响应是什么关系？或者说，或者说，时域性能指标在时域性能指标在频率响应中如何表现？频率响应中如何表现？这就是本节要回答的问题。这就是本节要回答的问题。二阶系统闭环传递函数为二阶系统闭环传递函数为2222)(nnnsssT 从前面几章讨论中发现，在从前面几章讨论中发现，在引入引入主导极点主导极点概念之后，控制概念之后，控制系统动态特性可以二阶系统参系统动态特性可以二阶系统参数表示。这也符合绝大多数实数表示。这也符合绝大多数实际工程中控制系统的情况。际工程中控制系统的情况。 本节同样以二阶系统为本节同样以二阶系统为标准，定义标准，

47、定义频域性能指标频域性能指标，讨论频域指标与时域指标讨论频域指标与时域指标之间的关系。之间的关系。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT一、频域性能指标一、频域性能指标二阶系统的频率响应为二阶系统的频率响应为1. 1. 谐振峰值谐振峰值Mp是频率响应的最大幅值，出现在是频率响应的最大幅值，出现在谐振频率谐振频率r处。处。2. 2. 谐振频率谐振频率r3. 3. 系统带宽系统带宽B带宽带宽 是频率响应的幅值从低频值下降是频率响应的幅值从低频值下降 时的频率，是对系统复现输时的频率，是对系统复现输入信号能力

48、的度量。入信号能力的度量。BdB312)212(| )(|rpGM二、频域性能指标与系统时域响应间的关系二、频域性能指标与系统时域响应间的关系 阶跃响应的超调量随谐振峰值阶跃响应的超调量随谐振峰值 增加而增加。增加而增加。 pM21/%100.eOP 两者都只与阻尼两者都只与阻尼有关，阻尼减有关，阻尼减小必然引起振荡加剧。小必然引起振荡加剧。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT由由 知知85. 119. 1/nB 带宽带宽 、谐振频率、谐振频率r与系统动态响应速度直接相关。与系统动态响应速度直接相关。

49、 增加时，系统增加时，系统阶跃响应的上升时间将减小，系统响应速度加快。阶跃响应的上升时间将减小，系统响应速度加快。 BB对于二阶系统对于二阶系统 （标标准化带宽准化带宽）与）与变化规律如变化规律如图，近似为线性关系。图，近似为线性关系。nB 在在一定的情况下，一定的情况下， n越越大，带宽将越宽。大，带宽将越宽。nsT44 带宽越宽，调节时间越短。带宽越宽，调节时间越短。从而在控制系统频域设计时，通常要求：从而在控制系统频域设计时，通常要求：1 1）相对较小的谐振幅值，例如：）相对较小的谐振幅值，例如： ；2 2）相对较大的带宽，使得系统的时间常数足够小。（）相对较大的带宽，使得系统的时间常数

50、足够小。（ ）5 . 1pMn/1第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT 闭环系统稳态误差与频率响应的关系。闭环系统稳态误差与频率响应的关系。 对于图示的二阶系统，斜坡输入时的稳态误对于图示的二阶系统，斜坡输入时的稳态误差由速度误差系数决定。差由速度误差系数决定。 由前几章讨论已知，系统对输入信号的稳态误差，与系统增益和系统开环由前几章讨论已知，系统对输入信号的稳态误差，与系统增益和系统开环传递函数中积分环节的个数有关。传递函数中积分环节的个数有关。该系统的稳态误差为该系统的稳态误差为 vtKAte)(

51、lim2)2(lim)(lim200nnnssvsssssGK将开环传递函数写成绘将开环传递函数写成绘BodeBode图时的标准形式（利用时间常数表示）图时的标准形式（利用时间常数表示）) 1 () 12/()2/()(ssKsssGvnn该该I 型系统的增益就为速度误差系数型系统的增益就为速度误差系数 。 vK第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT一般情况下一般情况下：若：若N型反馈系统的开环频率特性函数为型反馈系统的开环频率特性函数为 QkkNMiijjjKjG11)1 ()()1 ()(那么根据系

52、统不同的型那么根据系统不同的型N和输入信号类型，和输入信号类型，增益增益 就是相应的稳态误差系数。就是相应的稳态误差系数。K换句话说：换句话说： 决定了系统稳态决定了系统稳态误差。误差。NjK)(例如：例如：0型系统型系统KKjjjKjGvQkkMii,)1 ()()1 ()(11KKjjKjGpQkkMii,)1 ()1 ()(11I 型系统型系统NjK)(构成系统构成系统开环频率特性开环频率特性的的低频低频部分部分。而且其与。而且其与0dB线交点的线交点的频率频率结论：结论：系统误差系数等于该系统系统误差系数等于该系统开环开环BodeBode图的低频增益。图的低频增益。NK10)(强调：强

53、调：系统稳态误差与该系统开环频系统稳态误差与该系统开环频率特性相关；动态指标与闭环频率特性率特性相关；动态指标与闭环频率特性相关。相关。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT三、频率响应的对数幅相图三、频率响应的对数幅相图Nichols图图 频域响应除前面介绍的极坐标图、频域响应除前面介绍的极坐标图、Bode图图表示为，经常换用对数幅相图表示。表示为，经常换用对数幅相图表示。 它以一定范围的频率为参数，绘制对数幅值它以一定范围的频率为参数，绘制对数幅值随相角变化的曲线。随相角变化的曲线。)50/()50

54、/6 . 01)(15 . 0() 11 . 0(5)(22jjjjjjGH 对数幅相图给出的幅值和相角信息等价于对数幅相图给出的幅值和相角信息等价于BodeBode图，图，优势在于能够更直观的研究闭环系统优势在于能够更直观的研究闭环系统的相对稳定性。的相对稳定性。 Matlab提供了绘制对数幅相图的函数：提供了绘制对数幅相图的函数： Nichols(sys)，使用方法与，使用方法与Bode(sys),Nyquist(sys)相同。相同。第七章第七章 频率响应法频率响应法 College of Automatic Control Engineering , CUIT7.4 设计实例设计实例六腿机器人单腿位置控制系统设计六腿机器人单腿位置控制系统设计控制目标：控制目标：控制机器人腿的移动位置，使系统有良好的抑制测量噪声的能力。控制机器人腿的移动位置，使系统有良好的抑制测量噪声的能力。控制变量：控制变量：机器人腿的位置，要求其能尽可能快的移动到指令位置并具有机器人腿的位置，要求其能尽可能快的移动到指令位置并具有极小的超调。极小的超调。控制指标：控制指标： 闭环系统带宽大于闭环