对理想频率响应等间隔抽样作为实际FIR数字滤波器的频率特性的

1、对理想频率响应等间隔抽样对理想频率响应等间隔抽样作为实际作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值数字滤波器的频率特性的抽样值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN第三节第三节 频率抽样设计法频率抽样设计法1、设计方法、设计方法 知道知道H(k)后后, 由由IDFT定义定义, 可以用这可以用这N个采样值个采样值H(k)来惟一确定有限长序列来惟一确定有限长序列h(n)，即即 1,.,2 , 1 , 0)(1)(10 NnWkHNnhNknkN h(n)为待设计的滤波器的单位脉冲响应。其系统为待设计的滤波器的单位脉冲响应。其系统函数函数H(z)为为 10)()(Nnnznhz

2、H 以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理。此以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理。此外，由频域内插公式知道，利用这外，由频域内插公式知道，利用这N个频域采样值个频域采样值H(k)同样可求得同样可求得FIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH2、线性相位的约束、线性相位的约束 如果我们设计的是线性相位的如果我们设计的是线性相位的FIR滤波器，则其采滤波器，则其采样值样值H(k)的幅度和相位一定要满足前面所讨论的二类线的幅度和相位一定要满足前面所讨论的二类线性相位滤波器的约束条件。性相位滤波器的约束条件。 （1）对于第一类线性相位滤波器，）对于

3、第一类线性相位滤波器， h(n)偶对称，偶对称，长度长度N为奇数时，为奇数时， 21)(N 式中：式中：)()()( jjeHeH 第一类线性相位滤波器幅度函数第一类线性相位滤波器幅度函数H()关于关于=0, , 2为偶对称，即为偶对称，即 )2()( HH 如果采样值如果采样值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值也用幅值Hk（纯标量）纯标量）与相角与相角k表示，表示， 即即 kjkNkjeHeHkH )()(/2并在并在=02之间等间隔采样之间等间隔采样N点点 kNk 2 k=0, 1, 2, , N-1 将将=k代入上面的式子中，并写成代入上面的式子中，并写成k的函数的函数, 有：有： k

4、NkkHHNkNkN 11212 由上式可知，由上式可知，Hk满足偶对称要求。满足偶对称要求。 （2）对于第一类线性相位）对于第一类线性相位FIR滤波器，滤波器，h(n)偶对称，偶对称，N为偶数，则其为偶数，则其H(ej)的表达式仍为的表达式仍为: 21)()()()(NeHeHjj 但是，其幅度函数但是，其幅度函数H()关于关于=是奇对称的，关于是奇对称的，关于=0, 2为偶对称，为偶对称， 所以，这时的所以，这时的Hk也应满足奇对称要求也应满足奇对称要求 )2()( HHkNkHH （3）对于第二类线性相位）对于第二类线性相位FIR滤波器，滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为奇数，时，为奇

5、数，时，式中：式中： 221)( N 第三类线性相位滤波器幅度函数第三类线性相位滤波器幅度函数H()关于关于=0, , 2为奇对称，即为奇对称，即 )2()( HH)()()( jjeHeH 将将=k=2k/N代入上面的式子中，并写成代入上面的式子中，并写成k的的函数，得函数，得: 2112212 NkNkNkkNkHH 即即Hk满足奇对称要求。满足奇对称要求。 （4）对于第二类线性相位）对于第二类线性相位FIR滤波器，滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为偶数，则其为偶数，则其H(ej)的表达式仍为的表达式仍为: 221)()()()( NeHeHjj 但是，其幅度函数但是，其幅度函数H()关

6、于关于=是偶对称的，关于是偶对称的，关于=0, 2为奇对称，为奇对称， 即即 )2()( HH所以，这时的所以，这时的Hk也应满足偶对称要求也应满足偶对称要求 kNkHH 3、逼近误差及其改进措施、逼近误差及其改进措施 频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一步考察，步考察， 用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何？如此设计所得到的频响效果如何？如此设计所得到的频响H(ej)与要求的理想与要求的理想频响频响Hd(ej)会有怎样的差别？回忆内插公式：会有怎样的差别？回忆内插公式： kNkHeHNkj 2)(

7、)(10式中式中, ()是内插函数是内插函数 2/ )1()2/sin()2/sin()( NjeNN 1）采样点上滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响）采样点上滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响 应数值相等的。应数值相等的。2）但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函）但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函 数的延伸叠加而成的数的延伸叠加而成的, 因而有一定的逼近误差，因而有一定的逼近误差， 误差大误差大 小取决于理想频率响应曲线形状。小取决于理想频率响应曲线形状。3）理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值）理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想

8、值 ，逼近误差越小。，逼近误差越小。4）如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与）如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与 理想值的误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点理想值的误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点 附近，就会产生肩峰和起伏。附近，就会产生肩峰和起伏。分析：分析：频率采样的响应频率采样的响应 )(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH加过渡带加过渡带（a） 一点过渡带一点过渡带; (b) 二点过渡带二点过渡带; (c) 三点过渡带三点过渡带 cccooo(a)(b)Hc1Hc1Hc2Hc1Hc2Hc3Hd() , HkHd()

9、, HkHd() , Hk(c)在低通设计中：在低通设计中：1) 不加过渡采样点时，阻带最小衰减为不加过渡采样点时，阻带最小衰减为-20 dB2) 加一点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提加一点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提高到高到 -44 dB到到-54 dB 左右，左右，3) 加二点过渡采样的最优化设计可达加二点过渡采样的最优化设计可达-65 dB到到-75dB左右，左右，4) 加三点过渡采样的最优化设计则可达加三点过渡采样的最优化设计则可达-85 dB到到-95dB左右。左右。例例 ：利用频率采样法，设计一个线性相位低通：利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，数字

10、滤波器， 其理想频率特性是矩形的其理想频率特性是矩形的 ： 其它其它001| )(|cjdeH 已知已知c=0.5，采样点数为奇数采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值试求各采样点的幅值Hk及及相位相位k，也即求采样值也即求采样值H(k)。解：解： N=33, 且低通滤波器幅度特性且低通滤波器幅度特性H(0)=1。由表由表7-1可知，这属可知，这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于关于=为偶对称为偶对称， 即即 21)()( NjjeHeH 且有：且有： kjkeHkHHH )()2()(则则Hk满足偶对称特性，因而有：满足偶对称特性，因而有： 3203332212 kkNNkHHkkNk 又又 25. 83325 . 0)/2(,5 . 0 Ncc故故 01kH0k8, 25k32 9k24 kjkeHkH )(0k32 FIR滤波器滤波器nh(n)无限长无限长nh(n)有限长有限长n极点位于极点位于z平面任意位置平面任意位置n滤波器阶次低滤波器阶次低n一般是非线性相位一般是非线性相位n递归结构递归结构 n不能用不能用FFT计算计算n可用模拟滤波器设计可用模拟滤波器设计n用于设计规格化的选频滤用于设计规格化的选频滤