19-20年广东省学业水平合格考试数学复习：第13章解三角形

1、Bf=a解三角形I广宗国学业水平专弱定位*考纲展示考情汇总备考指导(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题.2017 年 1 月 T202018 年 1 月 T112019 年 1 月 T20本章的重点是正弦定 理、余弦定理及其在 解三角形中的应用， 难点是综合应用正、 余弦定理解三角形， 学习本章时，要注意 把二角包等义换与 正、余弦定理结合起 来，同时注意应用三 角形的性质解决问 题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.考点G整合突破IZ2ZIIZZZZ2ZS。第二二二 IZZZZ=Z = Z

2、ZIZS =XZZI =iSZZ = X= =ZHI KAOD.! N ZH EN GHETUPC 注=iSZ=X5 =l = i= U = ZZZZZ22.Z 工=E= ZiZZ；=ZZIXZ.考点17正弦定理的应用基础知识填充正弦定理及其变式正弦定理：；=焉=氤=里.但为ABC外接圆半径）（2）正弦定理的变式：sin A ： sin B ： sin C = a : b ： c.最新模拟快练1. （2019 珠海市学考模拟）在ABC 中，BC = a=5, AC=b = 3, WJ sin A : sinB的值是（）53-35A- B- C D-3577sin A a 5rA snB=b=

3、3.2.（2019 肇庆高一月考）在ABC 中，若 a = 2,b=2V3,A=30°,则 8为（）A. 60C. 308. 60°或 120°D. 30°或 150°a bbsin A 213*23.B 由正弦止理可知sin a= sin b,sin B= a =2=2 y, B（0 5180°）, .B = 60°或 120 .3. （2019江门市学考模拟）在ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 a=42, b=V3, B = 60°,那么 A等于（）A. 135° B.

4、 900 C. 45° D. 30由 sin Ab ,得 sin A= sin Basin BbV0O<A<180°, . .A= 45由正弦定理得sin A a 5sin B = b=3.或 135°.又.a< b, . .A<B, . .A=45°.sin A4. （2018肇庆市局二检测）在4ABC中，a = 5, b=3,则snA的值是（） 335 A.3 B.5 C.7 D.75. （2018深圳市高二月考）已知 ABC的三边分别为a, b, c,满足acos A= bcos B,则此三角形的形状是（）A.等腰三角形B.

5、直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形C 因为acos A=bcos B,所以由正弦定理得：sin Acos A= sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,一 一. 一 九 _所以2A= 2B或2A+2B=%即A=B或A+B = 2,因此选C.6. (2019广州市学考模拟)在zABC 中，若 BC=J5, sin C = 2sin A,贝U AB2收 由正弦定理得：AB=snCBC=2BC = 2m. sin / 号点.2 /余弦定理的应用1基础知识填充1 .余弦定理及推论(1)余弦定理：a2= b2+c22bccos A, b2 = a2+c2 2accos B,

6、 c2= a2+ b22abcos C.玲、人b2 + c2-a2a2 + c2-b2° a2+b2-c2(2)推论：cos A=一2bc一，cos B=2ac 二,cos C= 2ab =.特别关注：转化化归思想的应用(即边化角及角化边).2 .三角形的面积公式-1 八 11S= 2absin C=2acsin B=2bcsin A.学考真题对练(2018 1月广东学考)设4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a = /3, b=2, c=V13,贝U C=(5冗 冗 2冗 冗A. 6B.6 C. 3 D.3A 由余弦定理，得cos C= 2ab2X 3X2a2

7、+b2c2 (73)2+22-(V132花5 九一、.，。©回了，故选A.正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的,其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值 的有界性和大边对大角定理进行判断最新模拟快练1. (2019韶关市学考模拟)ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若2=巾，b= 3, c= 2,贝UA=(

8、)A. 300 B. 45° C. 60° D. 90° . a = q7, b=3, c= 2,由余弦定理得，cos A=b2 + c2a2 9 + 4 72bc=2X3X2又由 AC (0 °, 180°),得 A=60°.2. (2018广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟 )在ABC中，a、b、 c分别是A、B、C的对边，且b2 + c2+43bc= a2,则A等于()A. 600 B. 300 C. 120° D. 150°2 22 b2 + c2a2J33RD 由 b+c+43bc= a 得=七，即

9、 cos A=一看，又 AC(0,2bc22兀,)故 A=150°.3. (2019 中山市学考模拟)在ABC 中，若 AB=/i3, BC = 3, /C=120°, 则AC=()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A 在AABC 中，若 AB = V13, BC=3, /C = 120°, AB2=BC2 + AC2 2AC BCcos C,可得：13= 9+ AC2 + 3AC,解得 AC=1 或 AC= 4(舍去).4. (2019 珠海市学考模拟)在ABC 中，(a+c)(a c) = b(b+c),则 A =?(a+c)(a-c) = b(b+c),

10、 . a2c2=b2+bc,即 a2=b2+c2+bc,又在AABC中,由余弦定理得a2= b2 + c2 2bccos A,.一1 一 一，_、. 2 兀由得：cos A= 5,又 AC (0, tt ) . A=. 235. （2018广州市高中二年级学生学业水平模拟测试 ）已知4ABC中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且 a = 2,B=135°,Saabc = 4,则b =.1122、/13 由题知，4=SABc=acsin B=2X2cX孑，解得 c=442, b-= 62 2X5 6=20. a=2 退2. （2017 1月广东学考） ABC的内角A, B, C的

11、对边分别为a, b, c,已=a2+c22accos B = 22+(4&)22X 2X 4g x *= 52,所以 b= 2 13.6. (2019东莞高一月考)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 a = 3, b=4, c= 6,贝U bccos A+ accos B + abcos C 的值是.61b2+c2a2 a2+c2 b2 a2+b2c2 bccos A+ accos B + abcos C =2+2+2=a2+b2 + 42+62) = 61.正余弦定理和三角函数的综合应用学考真题对练1. （2019 1月广东学考） ABC的内角A, B,

12、C的对边分别为a, b, c,已3 ,知 cos A=工,bc= 5.5(1)求AABC的面积；(2)若b+c=6,则a的值.解(1)cos A=3, sin A= 4, SaABc = 1bcsin A=1X5X4 = 2. 55225(2)= a2 = b2+ c2 2bccos A= b2+ c2 2x 5X3= b2+ c2 6= (b+ c)2-2bc-6 53cos Abcos B(1)证明： ABC为等腰三角形；(2)若 a = 2, c=3,求 sin C 的值.a bsin A sin B 匚解证明：:豆/:百，由正弦止理行，G=CosB，即tan A=tanB,又:A, B

13、 (0,兀)A=B,. ABC为等腰三角形.(2)由(1)知 A=B, ；a=b = 2,根据余弦定理,得 c2. (2019惠州市学考模拟)在zABC中,若ccos B=bcos C,且cos Af 求sin B的值. 解由c cos B=bcos C,结合正弦定理得，= a2+b2 2abcos C,即 32 = 22+22-2X 2X 2cos C? cos C=-1.8又.七(0, tt )sin C = V1 cos2C =1 82 =8.最新模拟快练1. (2018广东省普通高中数学学业水平考试模拟题 )在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知a= 2, c=

14、 5, cos B=±求b的值；(2)求sin C的值.解(1)b2=a2 + c22accos B = 4 + 25 2X2X5X3= 17, . . b=折. 5(2),.' cos B = 3,sin B=4,由正弦定理一% = .cc，得中7: sin Ccos B = sin Bcos C,.sin C55sin B sin C 4 sin C54.17 =17 .故 sin(BC) = 0, v 0< B< 乃 0V C< %. 一底 BC<%B C = 0, B = C, M：b = c.cos A=2, 由余弦定理得 3a2 = 2b2

15、, 3再由余弦定理得cos B=噜,又0°<B<180°,30故 sin B = g-.3. (2019揭阳市学考模拟)设ABC的内角A, B, C所对的边长分别为a,b, c,且 acos B=3, bsin A=4.(1)求边长a；(2)若AABC的面积S= 10,求zABC的周长.解由已知：acos B = 3, bsin A= 4, . acosf = 3,即端A管=4.由正弦定理知第力磊代入式得：品誓=3，B=3cosB.由 acos B = 3>0 知：B 为锐角.根据 sin2B +cos2B= 1,得?cos B ) + cos B= 1,

16、.cosB = 5,B=5, a =0=cos B5.(2)&AABC底边BC上的高为h,则h = csin B, 1 -1. .ABC面积：S= 2 BC h = 2 a csin B,.1 一一 2X10 一. Qacsin B=10, . c=1 = 5.5x5根据余弓玄定理 b2 = a2 + c2 2accos B = 52+52 2X5X5>| = 20, . b=2 加，.ABC 的周长 l = a+b+c=10+2/5.学业O达标集训XUEYEDABIAOJIXUN :n=箕=二五"三"二"五二二,一二二二二五二一、选择题1 .在 A

17、BC中，AB = c, AC=b, BC=a,下列等式中总能成立的是（）A. asin A= bsin BB. bsin C = csin AC. absin C = bcsin BD. asin C = csin Aa b cD 由正弦止理snK=而后=而石，行asin C = csin A- 2.在 ABC 中，已知 a = 2,则 bcos C + ccos B 等于（）A. 1B.V2C. 2D. 4a2+b2 c2c2 + a2b2 2a2C bcos C+ ccos B b . 2ab + c , 2ca = 2a = a= 2.3.在 ABC中，A>B,则下列不等式中不一定

18、正确的是（）A. sin A>sin BB. cos A< cos BC. sin 2A> sin 2BD. cos 2A< cos 2BC A>B? a>b? sin A>sin B, A正确.由于（0,兀上，y= cos x单调递减，cos A< cos B, B 正确.sin A>sin B>0,sin2A>sin2B,1 2sin2A<1 2sin2B,cos 2A<cos 2B, D 正确.4.设AABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若bcos C + ccos B = asin A,

19、则AABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定A : bcos C + ccos B= asin A, .sin Bcos C + sin Ccos B = sin（B + C） = sin A= sin2A. sin Aw0, ；sin A=1, A=2,故AABC 为直角二角形，故选 A.5 .在 ABC中，已知b2=ac且c= 2a,则cos B等于（）A 1c 3A.4B.4cos B = . b2=ac, c= 2a,b2 = 2a2, a2 + c2b2 a2 + 4a2 2a2 3 2ac= 2a 2a= 4.6 .在 ABC 中，sin A : si

20、n B ： sin C = 3 ： 2 ： 3,贝U cos C 的值为（）B.A.13D.A .在AABC 中，sin A ： sin B ： sin C = 3 ： 2 ： 3,. a ： b ： c= 3 ： 2 ： 3,设 a=3k, b = 2k, c= 3k,a2+b2c2贝U cos C=7TT =2ab9k2 + 4k2 9k2 112k2=317.已知 AABC 的面积 S= a2-（b2 + c2）,则 cos A 等于（）A. -4BB. 17C也 C.一17c 17D- - 17b2+c2 a2D cos A=-2b，1 一 一 2 一 221.面积 S= 2bcsin

21、 A= a （b + c ）, 2bcsin A=一2bccos A, .sin A= 4cos A,又 sin2A+cos2A= 1,联立解得 cos A=噂78.已知甲、乙两地距内地的距离均为 100 km,且甲地在内地的北偏东20°处，乙地在内地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为（）A. 100 kmB. 200 kmC. 100V2 kmD. 10073kmD 由题意，如图所示，OA=OB=100 km, /AOB=120°,.FT南甲乙两地的距离为AB= <1002+1002-2X 100X 100X cos 120 = 100V3km,故选 D

22、.9.在 ABC 中，B = 30°, AB = 243, AC=2,那么 ABC 的面积是（）A. 25B.V3C. 2V3或 473D.5或 26D 由 c=AB = 2a b= AC=2, B=30°,b c根据正弓定理磊=碇，得 sin C =_ 1 csin B 213X2 b =2= 2 .一/ C为三角形的内角， ./C=60°或 120° , .A= 90°或 30°.在 AABC 中，由 c= 23, b = 2, /A=90° 或 30°,1则AABC面积S= 2bcsin A=273或返.故选

23、D.10.在 ABC 中，cosB=ac,则ABC是（）2 2cA.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2B a+ccos B+1 a+caa2+c2 b2 aB . cos2 = _2c-' ；2="2c'' ；cos B=c' ；2ac= c，.a2+c2 b2=2a2,即 a2+b2 = c2,. ABC 为直角三角形.11. 一角槽的横断面如图所示，四边形 ADEB是矩形，且a= 50°, B= 70°,AC = 90 mm, BC=150 mm,则 DE 的长等于（）A. 210 mmB. 2

24、00 mmC. 198 mmD. 171 mmA /ACB=70° + 50°=120°,AB2 = AC2+ BC2 2 AC BC cos/ ACB= 902+1502-2X90X 150X cos120=4 410 0,AB= 210,即 DE=210 mm.12.在 ABC中，B=。BC边上的高等于1BC,贝U sin A=()43a3 B)C d"A.10 b. 10 C. 5 D. 10D 利用勾股定理及三角形的面积公式求解如图，AD为4ABC中BC边上的高.设BC=a,由题意知AD = 1BC=1a, 33B=j,易知 BD = AD =

25、3a, DC = 2a.在RtAABD中，由勾股定理得，AB=同理，在RtAACD中，AC=Sa abc= 2ABAC sin/BACa.J I1-3 .1x*ax *a sin/ BAC = 1a 2332,333 10.sin/BAC=T= io .13 .已知在 ABC 中，sin A+sin B = sin C(cos A+ cos B),则 ABC 的形状 是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形b2 + c2-a2 a2 + c2-b2?D 由正弦定理和余弦定理得 a+b = c=一十二一，即2a2b + 2bc2ac2ab2 = ab2+ ac2 a3+ a

26、2b+ bc2 b3,a2b+ab2+ a3+ b3=ac2+ bc2, . (a+ b)(a2+ b2) = (a+b)c2, .a2+b2 = c2,.ABC 为直角三角形，故选 D.14 .在 ABC中，A： B=1 ： 2, /ACB的平分线CD把 ABC的面积分成 3 : 2两部分，则cos A等于()OD93- 4C.1- 2B.1一3AC CD为/ ACB的平分线,D至ij AC与D至ij BC的距离相等，.ACD中AC边上的高与 ABCD中BC边上的高相等.S BCD = 3 ： 2,AC 3. _ . BC 2sin B 3由正弦定理徐=3,又.B = 2A,A. 2禽+ 1

27、B. 2V31ca/3-iD.g+ 1C 在AABC 中,ABsin/BACBC= sinZACB100sin 15 0 厂 厂= sin(45-15。； 5。® 回BCsin/ CBD 在 BCD 中，sin/BDC =CD50(46，2 户in 4550又 ; cos 卜 sin/ BDC，.二 cos 4 3 1.二、填空题16.在 ABC 中，A=穹 a=3c,则?=3Ca c_ .sin A sin C'.2 兀L .在4ABC中，A=W，a=J3c,由正弦定理可得:3-3 = -77，sin C=1,由于 c<a,且 C C (。，九)故 C=J,则 B=九

28、一制一 i 2 - sin C2636= 6.三角形是等腰三角形，B = C, 则b = c,则b=1.6 6C2 .一、217.在 ABC中，内角A, B, C所对应的边分别是a, b, c,若c=(ab)+ 6, C=-,则 ABC的面积是. 33322_,i2222由 c = (ab) +6,可得 c = a +b -2ab+ 6,由余弦定理：c =a2+ b2 -2abcos C = a2+ b2 ab,2.22.211所以：a +b 2ab + 6=a +b ab,所以 ab=6;所以 S"BC=2absin C=X6X立鸣22 .18. AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知C = 60°, b=&,c=3,则 A=.-3bsin C M6X 2 小75由正弦定理，得sin B=bsin-C=Z=臂，结合b<c可得B = 45°,c 32则 A= 180 -B-C= 750.19 .设 ABC的内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c且acos Bbcos A3c，则tanA勺值为3 4 由acos B bcos A= 5c及正弦止理可得sin Aco