以前的一篇论文仅供娱乐毕业论文浅谈高等数学中常用数学方法

1、 广西师范学院师园学院广西师范学院师园学院学 生 毕 业 论 文（2010 届）广西师范学院教务处制题目（中文）题目（中文） 浅谈高等数学中常用数学方法浅谈高等数学中常用数学方法 （英文）（英文） Introduction to the Mathematical Method is Commongly Used in Higher Mathematics 系别系别： 数学与统计学系数学与统计学系 专业：专业： 数学与应用数学数学与应用数学 班级班级： 数本数本 06010601 姓名：姓名： 马超马超 学号学号: : SY0611121SY0611121 指导教师指导教师： 诚诚 信信 声声

2、明明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘摘 要要:本文浅谈高等数学中常用的数学方法，方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，掌握数学方法不仅对我们学习数学有很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是相当重要的方法。本文阐述数学方法的意义及重要性和几种常用的数学方法，通过具体的例子讲述几种常用数学方法的解题步骤和证明过程，这对于学好大学数学具有一定的意义。关关键键词词 :高等数学 ；数

3、学方法；证明；解题步骤Abstract: This article introducts to common mathematical method in higher mathematics.Dealing with mathematical method is the guiding ideology and basic slightly. Mastering the mathematical method not only has a greatly help for us to study mathematics,but also in higher mathematics learn

4、 and research is very important.This paper expounds the meaning and signficance of mathematical methods and several commom mathematical methods,and through the concrete example about several common mathematical methods of problem solving steps and that certificate process,it has certain significance

5、 to learn the university mathematics.Keywords: Higher mathematics;Mathematical methods;certificate;The problem solving steps目录1. 关于高等数学及数学方法 （1）1.1 简述高等数学 （1）1.2 掌握数学方法的重要性 （1）1.3 掌握数学方法的意义 （1）2. 高等数学中常用数学方法 （1）2.1 概念法 （1）2.2 数学美的启迪对称性方法 （2）2.3 归纳类比法 （3）2.3.1 类比法 （3）2.3.2 归纳法 （4）2.4 反证法 （5）2.5 换元法 （

6、6）2.6 逆推法 （7）2.7 构造函数法 （8）2.8 待定系数法 （9）2.9 猜想、验证法（9）2.9.1 由不完全归纳法产生猜想（10）2.9.2 由类比产生猜想（10）2.9.3 由直观产生猜想（11）参考文献 （12）致谢 （13）- 1 -浅谈高等数学中常用数学方法浅谈高等数学中常用数学方法1 1 关于高等数学及数学方法关于高等数学及数学方法1.11.1 简述高等数学简述高等数学我们知道高等数学是无处不在的，无论哪一个学科都涉及到高等数学，高等数学对培养学生的科学素质和掌握现代教学工具起着至关重要的作用。一向都受到各个院校的领导及学生的重视。但是由于高等数学是抽象的基础学科，难

7、度是相当大的，它可以说包含着各学科的知识点，其中包括数学分析、常微分方程以及解析几何等各个学科，因此它具有严密的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性。所以我们要学好高等数学必须掌握一定的数学方法以及了解它的发展史，这样才能对高等数学做到无所畏惧。1.21.2 掌握数学方法的重要性掌握数学方法的重要性素质教育要求：“不仅要求学生掌握一定的知识技能，而且还要达到能领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学的素养目的，而方法又隐藏在教材之中，这就要求我们在学习知识之时，就要学会领悟知识所用的数学方法，数学方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。因此掌握数学方法不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可

8、以达到一题而通一类的效果，灵活运用数学方法，不仅可以提高做题速度还能锻炼我们的逻辑思维，因此我们掌握数学方法对我们解决问题是相关重要的。1.31.3 掌握数学方法的意义掌握数学方法的意义（1）有助于我们在校学习工欲善其事，必先利其器，如果我们想做好一件事，很重要的一点就是精锐的工具、具备适当的手段。在学习活动中同样如此。对于学生而言，适宜的数学方法就是“利器” ，它可以帮助我们更顺利、更有效地完成学习任务。（2）有助于我们在社会学习在学校我们如果能在学习过程中，总结一些数学方法，也就能提高我们的逻辑思维，这对于我们以后出去社会还是有益的，在当今的知识社会里，学习已经不仅仅是在校学生的事情，一个

9、已经迈入社会的成年人，同样面临着学习是问题，所以对我们而言，学习不仅仅是要掌握知识，更重要的是要学会如何学习。正如美国著名教育心理学家布鲁纳认为， “学习的目的不仅是将我们带到某处，而且应该让我们在前进时更为容易” 。所谓我们所学的知识可能被遗忘，但是所学的数学方法却会使我们终生受益。2 2高等数学中常用数学方法高等数学中常用数学方法2.2.1 1 概念法概念法高等数学中的概念法指从大量的实际问题中根据其共同的本质而抽象出来的，它是高等数学大厦的支柱，只有概念清楚，才能理解各种解题方法，并能根据概念自行- 2 -设计出各种新的解题方法。在利用概念解题时，要注重用类比的方法将题设与概念进行对比，

10、通俗地说，就是套概念。例 1 证明：偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导数是偶函数.证明：设为偶函数，即关于原点对称，且( )yf x( )D f. (偶函数的概念)()( )fxf x那么 （导函数的概念）0fx kfxlimkk（+ ）-f (x)（） （偶函数的概念）0f-x-k-limkk（）-f ( x) （代数恒等变换） 0flimkk （-x-n）-f (-x) （导函数的概念）()fx 即，且显然关于原点对称，故为奇函数.( )()fxfx ()D f ( )fx当为奇函数时，同理可证是偶函数。( )f x( )fx因此我们必须数学概念的本质属性却不可以断章取义，不然只会耽误做题

11、的效率。2.2.2 2 数学美的启迪数学美的启迪对称性方法对称性方法数学美是一种人类本质力量通过宜人的数学思维的呈现, 是数学真理的一种表现。数学中的许多重大发现或突破得益于数学中的美学方法。例如: 对数的发现、解析几何的创立等, 人类对数学美的追求, 推动了数学的发展。数学美的表现常具有统一、简洁、对称及奇异等重要特征, 这些特征渗透在数学的理论数学的语言、数学的定理公式、数学方法技巧及数学的实际应用之中。对称性是数学美的重要特征。不仅如此, 在艺术的各种要素中, 对称性是一个非常重要的要素。解题是一门艺术, 因此探讨对称性在解题中的作用非常必要。对称性是指组成某一事物成对象的两个部分的对等

12、性。数学中, 有关数与形的对称现象极为常见, 这种对称有的是形象的, 有的则是抽象的观念和方法上的对称。对称的形和式从形式上看十分优美, 数学解题方法中时常渗透对称的思想。许多问题初看起来似乎不易解决, 难以下手, 但一旦恰当地利用了某种对称性, 就会易如反掌。高等数学中的若干实例 ,证实了 :如果在解题的过程中注意到对称性 ,并且恰当地利用对称性 ,则可以减少一些繁琐的计算 ,化难为易 ,提高解题效率 ,达到事半功倍的效。利用函数的对称性求偏导数例2 222222zzz=ln,xyyx求，解：先对x求一阶偏导数，有2222z1=ln x +yx2 xxxy（）=再对x求二阶偏导数，有- 3

13、-222222222z=xx()xyxxyxy()=由于在中将x，y互换，函数不变，所以是一个对称函22z=lnyx22z=lnyx数，对于对称函数而言，它对任一变量求导所得的结果都可经变量的对换直接转移到其它变量。在中，只要将x换成y，y换成x即可。222222222z=xx()xyxxyxy()222222222zyxy=xx()xyxy()=利用函数奇偶性与区域对称性计算各种积分例3 计算，22=e+x dxdyxDI（y）其中D是由曲线与所围成区域。sin ()yxx0y 解：区域对称于原点，令 21f xx（, y）=ye22fxx（, y）=因为 211fxf xx （- , -y

14、）=-ye（, y）222fxfx（- , -y）=x（, y）以sin222200002x dxdy=22sin28xDIdxx dyxxdx对称性在三重积分、曲线积分和曲面积分的计算中也有类似的应用。以上所举例题只是利用对称性简化计算的一部分，还有很多问题都可以借助对称性解决，在解题中要善于发现并利用问题中涉及的数学对象具有的对称性，当然发现对称性有时是不容易的，而要合理巧妙利用就更难，重要的是多实践，不受定向思维的约束，大胆创新，开拓思路。2.32.3 归纳类比法归纳类比法归纳和类比方法是数学方法论中最基本的方法之一，用好了可以获得新发现，取得新成果，对于归纳类比方法徐利治先生用如下的图

15、表进行了概括：实验-归纳-推广 形成普遍命题 证明类比-联想-预见利用归纳类比法解决问题有有助于我们了解问题的结构，让我们更进一步了解问题的实质。2.3.12.3.1 类比法类比法类比法是把某一类对象的特征推广到另一类与它相似的对象中去的一种思想方法，谈到类比，我们一定会想起高中时的一些相关题目，如一个长方形和一个长方体具有类似性等相关题目，然而在高等数学中，许多问题看起来很难求解，但经过类比，我从具体问题、具体素材出发- 4 -们却能发现解法是多种多样的，能把复杂的问题简单化，提高我们做题的速度。例 4 证明1111p+1122nlnln,1,1pppnnnnnpp（p+1）证：跟踪类比已知

16、结论中相当于拉格朗日定理中的的f（b）f（a） ；从而111ppnn可以联想得到需找这样形式的函数，进而可定出 b=p，a=p+1，显然，1xfx =n（）在上满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点，使得1xfx =n（）pp+1，pp+1，111121f( )(1)=f ( )(1)()( 1)lnpppf pnnppnn所以 而111121=ln ,1.ppnnnn pp111p+1222n1lnlnln,1,1,(1ln0)pnnnnnpnp （p+1）所以1111p+1122nlnln,1,1pppnnnnnpp（p+1）上面的例题从形式上套用了拉格朗日定理，所以需要我们对定理，以及一

17、些推论有一定的掌握程度，这样才能把类比法运用自如，从而提高做题的速度。当然了，并不是所有的类比都是套用形式类比，也有可能题目并没有让做题者一目了然，而要通过一些转化技巧，也就是经过变形才能套用一些已知知识，这就需要我们平常在学习中积累一定的经验。2.3.22.3.2 归纳法归纳法提到归纳法，我相信大家都是非常熟悉的，我们知道归纳法的应用是非常广泛的，它渗透到各个学科的知识，特别是在数学这学科中，应用方面非常多，我们知道归纳法是在高等数学中多处定理和习题的证明都要用到数学归纳法,用数学归纳法证明这些定理和习题,显得思路清晰,又能找出相应的递推关系,非常凑效,而且有时非要用这种方法证明不可，由此可

18、知道数学归纳法的重要性。例 5 求证234n210122222cos xsin(),21234nnnnxdxnN 证明：利用数学归纳法（a）当 n=1 时，220011cos sinsin sinsin2220 xnxdxxnxdxx左式=右式（b）假设 n=k 时等式成立，即有- 5 -234210122222cos xsin()21234kkkkkxdx 记1210cosxsin(1),kKIkxdx当 n=k+1 时有，12101cosxdcos(1)1kKIkxk k 101coscos(1)coscos(1) sin210kxkxxkxxdxk 201coscos(1) sin1kx

19、kxxdxk上面两式同时加上，而得到递推公式：1KI 22100112cos xsin(1) coscos xcos(1) sin11kkKkIkxxdxkxxdxIkk 因此，2341111122222.()2(1)2 21234kkknIk 234+111222222=(+)21234kk+1kkn 由此可知，对于一切自然数 n，等式成立。从上面我们知道，归纳法的解题步骤是有规律可循的，第一步是当 n=1 时是否成立,若成立则执行第二步，第二步：假设当n=k 时成立，然后找出当 n=k+1 时成立，就能证明该等式了。可见，归纳法使用的步骤简单，适用很多种定理及证明的的方法。但是它体现了严格

20、的推理论证过程，这能锻炼学生养成严谨的推理逻辑，培养学生的耐心能力。2.42.4 反证法反证法反证法又称归谬法、背理法，是一种常用的论证方法，它的基本思想是假设原题的结论不成立，从而推理出明显的矛盾结果，这样就能证明原假设不正确，从而论证原结论是正确的。我们知道我们思考题目时，一般都是从原条件下得出我们所需要的结论，但反证法可以帮助我们从反面思考，因此当我们从正面无法得出结论时，我们可以利用反证法求证。当然了反证法并不是使用所有的命题，它适用的命题有唯一性命题、否定性命题和含有“至多” ， “至少”型的命题。它的证明有三个步骤：（1） 假设命题结论不成立。（2） 从这个命题出发，经过推理证明得

21、出矛盾。（3） 由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。- 6 -例 6 设函数在上连续，在内可导，且，又，fx（）0,10,1fx（）1fx0,1（）则在上至少存在的一个不动点，使.若点且0,1fx（）f=（）0,1，则点是唯一的.f=（）证：若，则为的不动点。f=0（0）=0fx（） 若，则为的不动点。f=1（1）=1fx（） 若，因，所以f0（0）f1（1）fx0,1（），.0(0)1f0(1)1f 于是，令，则在上连续，在内可导，且( )( )g xf xx( )g x0,10,1，.(0)=f(0)0g(1)=f(1)0g由连续函数的中值定理可知，至少存在一点，使0,1，即为的

22、不动点.111( )( )0gf10,1fx（）下面证这种情况下是唯一的.1反证法. 设，使，则20,12122f()( )( )g xf xx在以和为端点的闭区间上满足罗尔定理的条件.12故在与之间至少存在一点使12，于是这与已知矛盾，g=f（）（）-1=0f（）=1f1（x）故是的唯一不动点.1xfx（）从上面可知我们在利用反证法证明命题时，一定得特别注意哪些命题可以采用反证法，反正法有利于我们先讨论从而得出结论。2.52.5 换元法换元法说到换元法，大家一定很熟悉，所谓的换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得问题简单化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。这样做

23、的目的是变换研究对象，将问题转化为新对象的知识背景中研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理，所以大家得熟悉换元法在高等数学中的应用，我们知道我们可以用换元法求解函数的解析式，在求积分包括定积分或不定积分、极限，求导等各个方面的应用是相当重要的。当然，换元又分为局部换元、三角换元、均值换元等，所以我们还要根据不同的题目采取不同的换元法，这样有利于我们快速解决各种问题。从而提高做题速度。换元虽然有利于我们运算，但是换元后要注意新变量的取值范围，不能任意缩小或者扩大。下面我们通过定积分的换元积分法的具体的例子展示换元法的方便之处。例 7 求下列定积分22xRRRdx- 7 -解

24、：因为是偶函数，所以22( )f xRx22220 x2xRRRRdxRdx 令，则，当时，；当时，；则sinxRtcosdxRtdt0 x 0t xRt=222220 x2xRRRRdxRdx 22222001 cos2=2cos22tRtdtRdt 22211(sin2 )022R ttR例 8 已知，且，求a，bR1ab2225(2)(2)2ab证明：因为且所以设 a，bR1ab11,22at bt()tR 则222211(2)(2) =+t+2+-t+222ab（）（） 2255=+t+-t22（）（） 22525222t 即2225(2)(2)2ab因此，我们在使用换元法时，要先观察

25、式子，然后联系所学的知识，简化题目对我们解题来说是相当重要的，在换元时新的变量的取值范围可以根据原变量的取值范围进行等量的替换。2.62.6 逆推法逆推法这种方法运用逻辑推理思想，从所要得到的未知结论入手，应用有关的数学知识，逐步找到解题需要的已知条件的思想方法，这种方法也叫执果索因法或者综合法。在高等数学中用数列极限的定义来证明存在时，用的也是逆推法，其根据任意给定的正数，从而能够指出定义中所说的正整数 N 确实存在，使得问题得证，求导和积分也一样使用逆推法进行逆运算，特别是一些比较复杂的函数不定积分，还有我们熟悉的微分方程求解，也是通过求导对结果进行验证，当然在证明一些等式或者不等式逆推法

26、也是扮演者相当重要角色。不过逆推法这一逻辑论证是相当复杂的，不过它却能给人提供一种新的思路，可以从两边推出同样的条件，从而达到统一。下面用不等式来诠释逆推法的步骤：例 9 设证明：f ( )0,(0)0.xf有 （2） 成立. 12,(0,)x x1212()()()f xxf xf x分析:为了叙述方便，不妨设若（2）式成立，则应用有210.xx- 8 - （3）1221()()()f xxf xf x 由于存在，将（3）式左边在上应用拉格朗日公式，f ( )x212,x xx （4）122112211()()( )()( )f xxf xfxxxfx2112x（ 0即可（而这正是已知的条件

27、）.( )0fx证明：任取，由于处处二阶可导，故在上应用拉格朗日公210 xx(x)f212,x xx式得（5）式， （4）式减去（5）式得. 1221112()()()( )()f xxf xf xxff(7)又由于，故单调下降，由，知，又所以( )0fx( )fx12x12( )()ff10 x 从而.112( )()0 xff1212()()()f xxf xf x由上述可以看出逆推法在高等数学应用方面还是十分有效的，若此题不采用逆推法是很难找到正确的解题思路的，只不过过程可能会复杂点。2.72.7 构造函数法构造函数法构造函数思想是高等数学中解题中重要的思想，在高等数学中具有广泛的应用

28、，比如微分中值定理的证明、拉格朗日定理的证明、证明不等式、构造辅助函数用零点定理证明方程的根、证明恒等式等等，因此构造函数法对学高等数学来说是重中之重的。然而想要构造一个函数也要根据题目而确定构造所要的函数，不然只会功亏一篑，因此需要考察我们的观察力，所以我们平时做题要积累一点经验，才能运用自如。下面我们举一个我们非常熟悉的例子。例 10 证明22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn分析：将22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn改写成221arctanarctan1,(0)11mnnmmmnn观察知，中间的式子符合拉格朗日中值公式的形式，构造辅助函数(

29、)arctanF Xx证明 令，则在上连续，在内可导，(x)arctanFx(x)Fn,m, n m- 9 -满足拉格朗日定理条件，且(x)F21(x)1Fx 拉格朗日中值定理，得2arctanarctan1,()1mnnmmn 由222222111111111nmnmmn 所以，又，所以221arctanarctan111mnmmnnnm 22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn2.82.8 待定系数法待定系数法待定系数法，一种求未知数的方法，大家一定很熟悉，因为在我们初中时就学过用待定系数法解一元二次方程，在高等数学中，我们经常用它来求解函数的解析式、不定积分和微分方程

30、、级数等相关问题。不过常见的有理分式不定积分的求解、特定类型的常系数非齐次线性微分方程特解。可以说待定系数法是解决问题的重要方法之一。下面通过求待定系数法在不定积分中的应用的例子让大家熟悉待定系数法。例 11 求解2x+3dx5 +6xx解 利用待定系数法将分解为2x+3x+3=5 +6x23xxx 其中 A,B 是待定常数.通过化简可得 x+3x23x23ABxx3AB和323AB 通过联立方程可解得 A=-5，B=6 则有,2x+3-56dx=5ln26ln35 +623dxdxxxCxxxx （C 为常数）从上面的例子我们可以看出，所谓的待定系数法是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的

31、新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，然后通过解方程或方程组便可求出待定系数，或找出某些系数所满足的关系式。待定系数法作为一种常见数学方法，它的应用是非常广泛的，上面的例子只是一个简单的举例，希望大家在学习高等数学中可以自己总结出待定系数法在各个知识方面的应用。 2.92.9 猜想、验证法猜想、验证法我们知道一拿到题目肯定是对题目进行观察，然后分析，并且利用所学知识进行解题，当所学知识没办法解决时，也就是一些结构比较复杂的数学题时，我们一时找- 10 -不到解决的办法，我们可能就要进行试验猜想，俗话说的好，最好的念头会因不加鉴别的接受而受损，却会因严

32、格的检验而拙壮，因此猜想不一定是正确，所以我们需要对我们所猜想的内容进行验证，当然了，猜想也是要根据所学的知识进行猜想的，并不是凭空想象的。基本猜想的方法有由不完全归纳产生猜想、由直观产生猜想、又理论产生猜想、由类比产生猜想、特殊化和一般化猜想法、探索性猜想法、模拟性猜想法及审美猜想法等，但在高等数学中我们主要介绍不完全归纳产生的猜想、由类比产生的猜想法及由直观产生的猜想。2.9.12.9.1 由不完全归纳产生猜想由不完全归纳产生猜想不完全归纳产生的猜想是根据事物部分对象进行类似的猜想，但结论则是对全部对象所作的断定，也就是不完全归纳产生的猜想的结论有可能超出了前提断定的范围，不完全归纳法只是

33、根据某些特殊的现象或者规律进行大胆的猜想， ，所以说不完全归纳推出的结论未必为真，因此我们需要对不完全归纳所产生猜想进行验证，以防止所猜想的结论过于荒谬，详细我们看例 11。例 12 求1xlimax（x0）解：若，则而当时，随增大而逐渐减小，且0.5x 1113620.7,0.8,0.9.xxx1x 1xax向 1 靠近.于是猜想 （1）1xlima =1x证明猜想：因为当且仅当，且，所以只需证明.由1xlima =1x1xa =1+lim=0 xlim=0 x,可知.1xa =1+xa= 1+（）当时，且,即（当时） ，所以,即a10an0 xax lim0 x1xlima =1x当时,

34、，由知,故.a1a1x1lim1xa1x111limalim111xxxa当时，结论显然成立a1故此猜想正确，即1xlima =1 ax（0）2.9.22.9.2 由类比产生猜想由类比产生猜想类比猜想法是指运用类比方法而产生的猜想，伟大数学家欧拉的猜想就是类比猜想。前面我们也已经讲过类比法了，所以在这里就不多说了，我们通过具体例子展现类比猜想法的解题步骤：例 13 已知是 n 次多项式，试证()P X- 11 -n+1()dx(x-a)P X( )( )10( )( )=()ln!()!knnk nkPaPaxaxaCk nkn 分析类比：等式右边是和式，且有出现，这与函数的泰勒公式极类似.此

35、( )( )!kPak问题是否与泰勒公式有关呢？这就是我们的猜想. 验证：考虑用泰勒公式.由于是 n 次多项式，其在处的泰勒公式的形式()P Xxa应该为于是( )0( )()() .!knkkPaP Xxakn+1()dx(x-a)P X ( )10( )()dx!knk nkPaxak ( )10( )()dx!knk nkPaxak ( )(n)-110( )( )1()dx+!n!knk nkPaPaxadxkxa ( )(n)-10( )( )()+ln!n!knk nkPaPaxaxaCk经验证，猜想正确2.9.32.9.3 由直观产生猜想由直观产生猜想说到直观所产生的猜想，也许大

36、家就会联想到几何直观猜想法，但是这里所说直观产生的猜想是指人们看到某种特殊现象而引起的猜想。也就是有一些题目，我们从形式上看就能猜到某种结果，但是证明过程还是相当有难度的，这种方法也比较适用一些复杂的问题，当然了，如果碰到选择题，我们可以利用直观猜想法对选项进行预测，从而减少做题时间。如例 13：例 14 求n1 3 5nlimlim2 4 6(2 )nnxn （2 -1）解 从题目中我们能直观看出1 3 5n2 4 6(2 )nxn （2 -1）我们把看成各个项都是真分数的乘积，因此我们1 3 5n2 4 6(2 )n （2 -1）1 3 52n-12 4 62n可以直接猜想.nlim=0nx下面我们来验证猜想：由于故22k,1,N kk 211,1k