06第三章复变函数的积分71494

1、第三章复变函数的积分word§ 1.复积分的概念一.复积分的定义与计算设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑） 曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向（或正向）,那么我们就把 C理解为带 有方向的曲线，称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向，那么B到 A就是曲线C的负向，记为C,定义:设C为z平面上一条以A为起点，以终点的简单光滑曲线，复变函数 f（z）= u（x,y" iv（x, y）在C上有定义.在曲线C上任Zo,Zi,Zn将C分为n个小弧段(Zk=Xk+ iyk,&Zk=Zk-Zk_i=&Xk+ 2yQ 在每个小弧段上任取一点Jk + i

2、"k,作和式nSn - f kZk ,k =1设人=maxZk ,若当九t 0时，该式的极限存在，且 与小弧段的分法及屋的取法无关，则称此极限值为复变函数f（z）= u（x,y）+ iv（x,y）在C上从A到复积分，记作1f（z）dz ;若曲线方向改为由到A,则积分记作1fdz；当C为简单闭曲线时，则此 c积分记作Qf（z）dz.（规定逆时针方向为 C的正向）定理1设f（z）= Ux, y）+ iVx, y）在光滑曲线C上连续，则积分1f（z）dz存在，且为 cf z dz = u x, y dx v x, y dy cci v x, y dx u x, y dy. c（注：上式在形

3、式上可看做函数f（z）= U+ iv与微分dz= x+ iy相乘后得到的，这样便于记忆） 特别地，若C的参数方程为：z（t）= x（t）+ iy(z a = A, z b =）,则有f z dz = u x, y dx - v x, y dy i v x, y dx u x, y dy cccb=u x t , y t dx t v x t , y t dy t abi v x t , y t dx t u x t , y t dy t a='u x t , y t iv x t , y t 11 x t i y t dt ab i=f z t z t dt.a例1(1)从点1到点i的

4、直线段Ci ；(2)从点1到点0的直线段c2,再从点0到点的直线段i的直线段c3所连接成的折线段c = c2 + C3 .dz例2计算9 (一严，其中n为任何整数，C为以 c z zoz。为中心，r为半径的圆周.例3计算:zdz其中C为从原点到点3+4i的直线段.二复积分的基本性质1 f z g z dz =3zg胧吟(2) ( kf( z dz = k ( f dz ;(3) c f z dz = 飞 f z dz；'cf'z）dz= 'ci f'z）dz+'c2 "z）dz,其中 C=q+Q；|cfdzkds ML.（积分估值）例4设C为从

5、原点到点3+4i的直线段，试求积dz分zri模的一个上界。c ,3z例5 试证：lim zr 1772dz 0.rT 0 11 z§ 2.柯西积分定理定理2 （柯西定理）设函数f（z）在单连通域 D 内解析，则f（z）在D内任一简单闭曲线 C上的积分一定为零，即° f z dz = 0 c.注：当积分曲线C为一般闭曲线时结论依然成立定理3设函数f（z）在单连通域D内解析，zo万zi为D内任意两点，C。与Ci为连接z。5zi的且完全含于D内的两条简单曲线，则 f z dz = f z dz c 0Ci.例6计算积分/sinzdzM中C是圆周z 1p 1 c的上半圆周从0到2.

6、，一一 一1例7 计算积分© 2dz. iz（z2+1） zi 2定理4（闭路变形原理）设Ci与C2是两条简单闭曲线，C2含于Ci的内部.f在Ci与C2 所围成的二连通域内解析，且在闭域D D Ci C2上连续，则 f z dz = f z dz C1C2.其中Ci,C2均按逆时针方向取向.推论（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一 条简单闭曲线，Ci,C2, Cn是在C内部的简 单闭曲线，它们互不包含也互不相交，且以C，Ci，C2,Cn为边界的区域全部含于D.如果f（z）在D内解析，则有n f z dz 八 口 f z dzCCk-）k=1 k其中C,Ci,C2, Cn均按左手法则

7、取正向.2z 1计算z 7产其中C为包含0与1的简 c z z定义：若函数f（z）在单连通域D内解析，z0为D内任意定点，z为D内任意动点，C为以zo为起点，以z为终点，且全部含于D z内的简单曲线，由积分1% f（z）dz所确定的复变函数F（z）称为f（z）在单连通域 D内 以zo为起点的变上限积分（或不定积分）， 即zF z f d定理5若函数f（z）在单连通域D内解析，那么,变上限积分所确定的函数zf dZ0也在D内解析，且F'（z）= f（z）.定义：设在单连通域 D内，若函数F（z）恒满 足F'（z）= f（z）,则称F是f（z）的一个 不定积分或原函数.定理6 （复

8、积分的牛顿一一莱布尼兹公式 ） 设函数f（z）在单连通域D内解析，G（z） 是f（z）的一个原函数，则zif z dz= G z1G 4）zo，其中zo,z1为D内的点.计算积分bzndz,n = 0,1,2, a;a，b均为有限复例9计算Hn（z）dz其中C是从-i到i的直线段.§ 3.柯西积分公式问题：设B为一单连通域，z0为B中一点.如果f （z）在B内解析，那末fz）在z0不解析.z Z0所以Mdz一般不为零，C z - Z0根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.定理7 （柯西积分公式）设函数f（z）在简单闭曲线C所围成的区域内解析，在D = D+C

9、上连 续，z为D内任意一点，则关于柯西积分公式的说明：（1）把函数在 C内部任一点的值用它在边界 上的值表示.（这是解析函数的又一特征）（2）公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法，而且给出了解析函数的 一个积分表达式.（这是研究解析函数的有力 工具）1 f ,（3）在复积分中，称 赤 rrzd为柯西积分.推论1 （平均值公式）设函数f（z）在圆域z zo " R内解析，在圆周 z- z0 R上连 续，则1 2门f z0f zo Re d"2 二 0.即f（z）在圆心的值等于它在圆周上的算术平均 值.推论2设函数f（z）在简单闭曲线Ci,C2所围成的二连域D内

10、解析，并在Ci,C2上连续，C2在 Ci的内部，z为D内任意一点，则1f.i f . dd2 i Ciz 2 i C2z其中Ci,C2均取逆时针方向.例10求下列积分的值：sinz c z .dz 0 2dzz=2 z (2)- 9一 z)(z+ i)1 ez例ii计算积分27 11:z 其中c为不经过 c。及1点的简单闭曲线.z例12求积分d2dz,并证明e ecos cos（sin ）d9 =兀 比i z定理8 （最大模原理）设函数f（z）在区域D内解析，又f（z）在区域D内不为常数，则在D内f（z）l没有最大值.推论1在区域D内解析的函数，若其模在 D的内点达到最大值，则此函数必为常数.

11、推论2若函数f（z）在区域D内解析，在D上连续， 则I f（z）l必在D的边界上达到最大值.最大模原理说明了解析函数在区域边界上的 最大模可以限制区域内的最大模.这也是解析函数所特有的性质.例13设函数f（z）在全平面解析，又对任意 r>0,令 M rmzaxl f z I.求证：M （r）是r的单调上升函数.§ 4 解析函数的高阶导数定理9设函数f（z）在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D = D+C上连续,则f（z）的各阶导函数均在D内解析, 且对为D内任意一点z,有f n z = -n-2 i C - z n 1说明：定理9的作用通常不在于通过积分来求导 而在于通过求导来计算某种类型的积分例14求下列积分的值：ze12 dzz=4Z2(ZT)2cosz .(1)0 3 dzzt =1，z - i)，(2)z例15求积分。*dz. （n为整数） z=1 z定理10 （柯西不等式）设函数f（z）