用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器

1、数字信号处理课程设计报告用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器学院:姓名:班级:学号:目录一、设计目的及设计内容2二、概念设计4三、详细设计1错误！未定义书签。四、实验总结22五、参考文献23一、设计目的及设计内容当今，数字信号处理(DSP:DigtalSignalProcessing放术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广

2、播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号，等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)，这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字

3、序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号经行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分离；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等等。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支2-3。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。1.1设计目的：(1)熟悉用双线性变换法设计I

4、IR数字滤波器的原理与方法；(2)学会调用MATLAB信号处理工具箱中滤波器设计函数(或滤波器设计分析工具fdatool)设计各种IIR数字滤波器，学会根据滤波需求确定滤波器指标参数。(3)掌握IIR数字滤波器的MATLAB实现方法。(4)通过观察滤波器输入输出信号的时域波形及其频谱，建立数字滤波的概念。1.2设计内容：本次课程设计的内容为用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz,阻带边界频率分别为400Hz,通带最大衰减1dB,阻带最小衰减40dB,抽样频率为2000Hz,用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；信号x=

5、x1(t)+x2(t)=si2nf1t)+si2nf2t)经过该滤波器，其中fi=300Hz,f2=600Hz,滤波器的输出y(t)是什么？用Matlab验证你的结论并给出x1(t),x2(t),x(t),y(t)的图形。二、概要设计2.1 数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置，其输入、输出均为数字信号，实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换，改变输入序列的频谱或信号波形，让有用频率的信号分量通过，抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念，根据其频率响应特性可分为低通

6、、高通、带通、带阻等类型，与模拟滤波器相比，数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外，还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。时域离散系统的频域特性：¥(/")=X(/&)H("),其中"/)、尤(屋中)分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱特性)，日,嗔是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱)经过滤波后X(VH(e)，因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。2.2

7、 IIR数字滤波器的设计方法IIR滤波器的性能特点(1)封闭函数IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。(2)IIR数字滤波器采用递归型结构IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。(3)借助成熟的模拟滤波器的成果IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计

8、一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。(4)需加相位校准网络IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。IIR数字滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为:H(z)=MbkZ”kWN1akz"Y(z)X(z)(2-1)kd由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为:(2-2)NMy(n)="aky(n-k)-二bkx(n-k)k-0k-0可见数字滤波器的功能就是把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列y(n)0不同的运算处理

9、方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h(n)是无限长的，其差分方程如(2-2)式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2-1)式的形式，因此在z平面的有限区间(0<|z|<“)有极点存在。前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。IIR滤波器

10、实现的基本结构有：(1)IIR滤波器的直接型结构；优点：延迟线减少一半，变为N个，可节省寄存器或存储单元；缺点：其它缺点同直接I型。通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。(2)IIR滤波器的级联型结构；特点：系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成； 极点位置可单独调整； 运算速度快(可并行进行)； 各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。(3)IIR滤波器的并联型结构。优点： 简化实现，用一个二

11、阶节，通过变换系数就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整，调整曲、如只单独调整了第i对零点，调整命、面则单独调整了第i对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差； 可流水线操作。缺点： 二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。ba、直接型、并联型X(11)Ac、串联型y(n)2.3巴特沃兹滤波器(Butterworth滤波器)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f/,幅频特性单调'其幅度平方函数：A(J2)=Ha(jc)2二JnN为滤波器阶数，如图1通带：使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围Qc:

12、截止频率。理想滤波器过渡带为零阻带|H(jQ)|=0通带内幅度|H(j9|=cons.H(j9的相位是线性的图3-1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母Q/Q«1,(Q/Q()2N<1,A(QO一1。过渡带和阻带,OQ»1,(Q/Q02N>1,©曾加，A(Q2)快速减小。Q=QqA(J2)一2A/.2.-(!£)=1，幅度衰减，相当于3db衰减点A(0)2振幅平方函数的极点c11Ha(-S)*Ha(S)=1(S月j1c可见，Butterworth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Qc的圆周上

13、。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3,SP4,SP组成的，它们分别为:,2_.2_j匕Sp3=,ce,Sp4=-。'c,Sp5=1-'ce系统函数为M(S)=iI3c(S-Sp3)(S-Sp4)(S-Sp5)令=1,得归一化的三阶BF：Ha(s)=13S32S22S1如果要还原的话，则有Ha(s)132(s/'c)2(s/llc)2(s/,c)12.4双线性变法法目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率

14、压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-兀/T兀/T之间，再用z=esT转换至IZ平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S平面的-冗/T兀/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2图2双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j。压缩到S1平面jQ1轴上的-九/T到冗/T段上,可以通过以下的正切变换实现式中，T仍是采样间隔。当Q1由-冗/T经过0变化到冗/T时，Q由-8经过0变化到+oo,也即映射了整个jQ轴。将式写成2ej，；1T/2-e

15、j，-1T/2j，TJ"Ts2s_2_T.T21-s-s9T.下丁/2ee将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jQ=s,jQ1=s1,则得2es1T/2-e-T/22,T21-e41Ts=sT/2.T/2=tanh=4TTeefT2T1e1T再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：_21-zT1z“首先，把z=ej可得21-es=-Tie=jtan=jC即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆其次，将S=（y+j。代入式，得2.一C-j'Jz=!因此一'-j'T2|Z|二T2,T.2由此看出，当（7<

16、;0时，|Z|<1;当（7>0时，|2|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j。轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式所示，重写如下：上式表明，S平面上。与Z平面的成非线性的正切关系由图3看出，在零频率附近，模拟角频率。与数字频率之间的变换

17、关系接近于线性关系；但当。进一步增加时，增长得越来越慢，最后当。一时，终止在折叠频率3=冗处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图3双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变

18、换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图4所示。图4双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预防来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。2.5设计步骤根据以上FIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLA成计一个FIR高通滤波器，其中通带边界频率为500Hz,阻带边界频率分别为400Hz,通带最大衰减1dB,阻带最小衰减40dB,抽样频率为2000Hz(1)确定性能指

19、标在设计高通滤波器之前，首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标：(2)频率预畸变用Q=2/T*tan(w/2)对高通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到高通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp1阻带截止频率Ws1的转换。(3)模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标WP=1%归一化处理WS=WP*Wp1/Ws1(4)模拟低通滤波器的构造借助巴特沃兹滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数。(5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。(6)模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器利用双线性变换法将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高

20、通滤波器H(z)o输入信号检验滤波器性能输入不同频率的正弦波，观察输出波形，检验滤波器性能。2.6 程序流程图开始读入数字滤波器技术指标将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟高通滤波器H(s)用双线性变换法将H(s)转换成数字高通滤波器H(z)输入信号后显示相关结果结束2.7 问题分析(1)在设计高通滤波器时，首先要将数据进行归一化这样可以提高设计的准确性。(2)在设计信号的输入时，课程中的数据f2如果是600Hz时，则复合信号通过滤波器时无法输出正常的信号X2,这说明频率太低，而被全被滤除，在将频率改至3000HZ后则能输出符合设计要求的信号。(3)信号通

21、过滤波器后输出的信号与x2的信号开始部分有点失真，这时因为信号并不是非常理想的通过滤波器的，在通过滤波器时受到滤波器的影响是从不稳定逐渐趋向稳定的。三、详细设计3.1 运行环境Windowsxp3.2 开发工具和编程语言Matlab6.53.3 设计程序clc;clearallRp=1;%通带衰减/dBRs=40;%阻带衰减/dBOmegaP1_1=500;%通带边界频率OmegaS1_1=400;%阻带边界频率Fp=2000;%抽样频率Wp1=2*pi*OmegaP1_1/Fp;%通带频率模数转换Ws1=2*pi*OmegaS1_1/Fp;%阻带频率模数转换OmegaP1=tan(Wp1/2

22、);%通带频率非线性变换OmegaS1=tan(Ws1/2);%阻带频率非线性变换Eta_P=OmegaP1/OmegaP1;崛一化Eta_S=OmegaS1/OmegaP1;崛一化Lemta_P_EquivalentLowPass=1/Eta_P;Lemta_S_EquivalentLowPass=1/Eta_S;%估计滤波器阶数N,Wn=buttord(Lemta_P_EquivalentLowPass,Lemta_S_EquivalentLowPass,Rp,Rs,'s');%设计滤波器num1,den1=butter(N,Wn,'s');num2,den

23、2=lp2hp(num1,den1,OmegaP1);num,den=bilinear(num2,den2,0.5);z,p,k=tf2zp(num,den)%显示传输函数disp('分子系数是');disp(num);disp('分母系数是');disp(den);%计算增益响应w=0:pi/255:pi;h=freqz(num,den,w);g=20*log10(abs(h);%绘制增益响应figure;plot(w/pi,g);grid%绘制巴特沃兹高通滤波器幅频特性axis(01-605);xlabel('omega八pi');ylabe

24、l('增益/dB');title('巴特沃兹高通滤波器');figure;zplane(z,p);%制传输函数零极点title('传输函数的零极点');f1=300,f2=3000;n=0:600;t=n/10000;x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)%制x1的波形plot(x1);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('x1的波形

25、')；subplot(2,2,2)%制x1的波形plot(x2);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x2(t)');title('x2的波形');subplot(2,2,3)%绘制卒&入x的波形plot(x);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('输入信号x的波形')y=filter(num,den,x);%数字滤波器输出subplot(2,2,

26、4);%绘制输出y的波形plot(y);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('y');title('滤波器输出y的波形')3.4 调试分析z=1.3186+0.0728i1.3186-0.0728i1.2471+0.1915i1.2471-0.1915i1.1460+0.2529i1.1460-0.2529i1.0478+0.2773i1.0478-0.2773i0.9460+0.2698i0.9460-0.2698i0.8580+0.2250i0.8580-0.2250i0.7968+0.1

27、570i0.7968-0.1570i0.7632+0.0792i0.7632-0.0792i0.7531P=0.0444+0.9106i0.0444-0.9106i0.0381+0.7545i0.0381-0.7545i0.0336+0.6187i0.0336-0.6187i0.0303+0.4976i0.0303-0.4976i0.0279+0.3871i0.0279-0.3871i0.0262+0.2843i0.0262-0.2843i0.0251+0.1868i0.0251-0.1868i0.0245+0.0926i0.0245-0.0926i0.0243k=7.3789e-005分子系

28、数是Columns1through60.0001-0.00130.0100-0.05020.1756Columns7through120.9132-1.43501.7938-1.79381.4350Columns13through180.4566-0.17560.0502-0.01000.0013分母系数是Columns1through61.0000-0.52472.4322-1.05562.2461Columns7through121.0097-0.28580.2357-0.05170.0283Columns13through180.0016-0.00020.0000-0.00000.0000f1=-0.4566-0.9132-0.0001-0.7954-0.0046-0.00003003.5测试结果JFigureNo