线性代数同济第5版复习要点

1、线性代数（同济第5版）复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章行列式基本结论1 .行列式的性质（1）互换行列式的两行，行列式变号.（2）行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3）把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变2 .行列式按行（按列）展开定理3行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即DanAi1ai2Ai2ainAn(i1,2,n)3 .克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零,那末，线性方程组有唯一的解Xi即ana21a22a2naman2ann1V,D2VD0nDDnD1.2.例1.（例7）计

2、算行列式D35211105131324132.（例8）计算行列式D3111131111311113弟早矩阵及其运算主要计算计算行列式:数字行列式化为上三角形；计算有规律的n阶行列式.基本概念注意：1.矩阵可乘条件、乘法规则2.矩阵乘法不满足交换律ABBA3.矩阵乘法有零因子出现：AO,BO,但却有ABO4.消去律不成立：ABAC,推不出BC基本结论1.转置(i) (At)tA(ii) (AB)tAtBt(iii) (kA)TkAT(iv) (AB)tBtAt2 .方阵的行列式(i) |At|A|(行列式性质1);(ii) |A|n|A|;(iii) |AB|A|B|3 .A的伴随矩阵aaaa|

3、A|e4 .逆矩阵A可逆|A|0R(A)nA-EAE1E2EsEi是初等矩阵推论若abE(或baE),则ba1方阵的逆阵满足下述运算规律：若A可逆，则a1亦可逆，且(A1)1A.1.(ii)若A可逆，数0,则A可逆，且(A)1-A1(iii)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)1B1A1(iv)若A可逆，则At亦可逆，且(At)1(A1)T基本计算用上面基本结论进行简单计算主要计算1求a1：公式法a1a|A|基本证明用上面基本结论进行简单证明1231.（例11）求矩阵的逆矩阵A221343第三章矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1.n元非齐次线性方程组AXb

4、AXb有解R(A)R(B).有解时，(记R(A)R(B)r)(1) rn时，AXb有唯一解(2) rn时，AXb有无穷多解2.齐次线性方程组AX0(AX0是AXb的特殊情形)由于AX0永远满足R(A)R(B),故AX0总有解(至少有零解)从而(1) rn时，AX0有唯一零解(2) rn时，AX0有(无穷多)非零解基本计算1 .会求矩阵的秩2 .会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解3.会用初等变换求矩阵的逆行初等变换(A|E)(E|A1)主要计算1. 设非齐次线性方程组AX2. 会用初等变换求矩阵的逆例320一、3231.(例5)设A201164行;(包括求矩阵方程AXB,用(A

5、|B)(E|A1B);b,试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解?50615314求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式1 232 .用初等变换求矩阵A221的逆矩阵3 433.(例13)设有线性方程组(1)X1X2X30,X1(1)X2X33,X1X2(1)X3问取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.第四章向量组的线性相关性基本概念1 .向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关向量组的等价2 .向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩3 .向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法向量组

6、1,2,m所生成的向量空间为L(1,2,m)ki1k22%m|ki*2,kmR)4 .线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构基本结论1 .线性表出定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A(1,2,m)的秩等于矩阵B(1,2,m,b)的秩.定理2向量组B：1,2,l能由向量组A：1,2,m线性表示的充分必要条件是矩阵A(1,2,m)的秩等于矩阵(A,B)(1,m,1,l)的秩.即R(A)R(A,B).推论向量组B：1,2,l与向量组A：1,2,m等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A,B)定理3设向量组B：1,2,l能由向量组A：1,2,m线性表示，

7、则R(1,2,l)R(1,2,m).2 .向量组的线性相关性定理4向量组1,2,m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(1,2,m)秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m定理5(1)若向量组A：1,2,m线性相关，则向量组B：1,m,m1也线性相关.(2) m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.(3)设向量组A：1,2,m线性无关，而向量组B：1,2,m,线性相关，则向量必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的.3 .向量组的秩定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.推论(最大无关组的等价定义)设向量组B是向量组A的部分组，

8、若向量组B线性无关,向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组.4 .解的结构(1)齐次线性方程组性质1若1,2为Ax0的解，则12也是Ax0的解.性质2若为Ax0的解，k为实数，则k也是Ax0的解.Ax0的基础解系：1,，通解是Xki1knrnr定理7设mn矩P$A的秩R(A)r,则n元齐次线性方程组AXO的解集S的秩RSn(2)非齐次线性方程组性质3设1及2都是Axb的解，则12为导出组Ax0的解.性质4设是方程Axb的解，是方程Ax0的解，则仍是方程Axb的解.Axb的通解是：Xk11knrnr5 .向量空间向量组1,2,m所生成的向量空间为L(1,2,m)k11

9、k22基本计算1.一般地，要判别一个向量线性表出？设按分量形式写出来就是kmm|k1,k2,kmRb1b2是否可由向量组bn现1a12a1sa211a22,2,a2ssan1an2ansk11k22kssa11k1a12k2a1sksb1,a21k1a22k2a2sksb2,an1k1an2k2ansksbn(*定理可由向量组1,2,$线性表出（*）有解2.一般地，要判别一个向量组1是否线性相关？设按分量写出来就是现1a12a21,2a22,sa2san1an2ansx11x22xss0ai1k1ai2k2aisks0a21k1a22k2a2sks0*an1k1an2k2ansks0定理向量组

10、1,2,5线性相关齐次线性方程组（*）有非零解3 .L（1,2,m）基和维数的求法4 .线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系1,nr（2）非齐次线性方程组解的结构的求法Xk11knrnr主要计算1 .设矩阵A,求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.2 .设非齐次线性方程组AXb,试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章内容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章内容）基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明向量空间的基、维数的证明基础解系、

11、解的结构的证明主要证明1 .线性无关的证明2 .AB0B的列是AX0的解例1 .（例11）设矩阵2 111211214A46224求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.x1x2x3x402 .(例16)设非齐次线性方程组x2x33x41,试问xx22x33x42(1)此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？(2)若有无穷多解，求其通解(要求通过它的导出组的基础解系给出的通解)3 .(例6)已知向量组1,2,3线性无关，112,223,331,试证向量组1,2,3线性无关.(第五章国定理1、运定理2)4 .(例13)设AB0,证明：R(A)R(B)n.

12、第五章相似矩阵及二次型基本概念1 .内积内积的定义：X,Yxy1X2Y2xnYn向量的长度：|X|矶X,Xqx；x；x；、当|X|1时，称X为单位向量.向量的夹角：arccos丫IMIIIYII向量的正交：X,Y0时，称向量X与Y正交正交向量组、正交基、规范正交基正交矩阵A:ATAE(即A1AT)2 .矩阵的特征值、特征向量特征值、特征向量3 .相似矩阵，对称阵的对角化4 .二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵基本结论一.内积X,YY,X；(ii) X,YX,Y(iii) XY,ZX,ZY,Z1 .非负性：对任意X都有|X|0;当且仅当XO时，凶02 .齐次性：IIx|I|X|；3 .三角不

13、等式：|XY|X|Y|定理1若n维向量1,2,，是一组两两正交的非零向量，则1,2,，线性无关.2 .特征值、特征向量定理2设1,2,m是方阵A的m个特征值，Pi,P2,Pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,m各不相同，则P1,P2,Pm线性无关-3 .相似矩阵，对称阵的对角化4 .二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵基本计算1.向量的长度：XX,XJx；x；x22 .向量的夹角的求法:3 .正交化方法：X,Yarc00'XY设1,2,，线性无关1 12,12 211,13,13,2r,r1r1r1,r11r3 31,112,22r,1r,2rr121,12,2114 .单位化：e1n1,e2u5 .特征值的求法、特征向量的求法