现代控制理论

1、第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。举例自动测温，控温系统图加热气体图解：1,当炉温h变化时，测温电阻R变化R,电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为e(t)；2,检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。当凸轮转动使指针与电位器相接触(凸轮每转的时间为T0),接触时间为秒；3 .当炉温h连续变化时，电位器的输出是一串宽度为的脉冲信号e*(t);4 .e*(t)放大器电动机调速器控制阀门角度加热气体h为常值。二、相关定义说明(通过上例来说明)1.信号采样偏差

2、e(t)是连续信号，电位器的输出的e*(t)是脉冲信号。连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。实现采样的装置成为采样器。1To米样周期，fs=本样频率，Ws=2fs米样角频率To2 .信号复现因接触时间很小，To,故可把采样器的输出信号e*(t)近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号e*(t)恢复到原信号e(t)。实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。作用：是把e*(t)脉冲信号变成阶梯信号eh(t)3 .采样系统结构图r(t),e(t),c(t),y(t)为连续信号，e*(t)为离散信号Gh(s),Gp(s

3、),H(s)分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。4 .采样系统工作过程5 .采样控制方式常数采样周期To常数相位不同步采样6 .采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z变换方法,状态空间法。第二节信号的采样和复现第一节是定性认识与分析，本节是定量研究。采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号e*(t)是一串理想的脉冲信号，k瞬时e*(t)的脉冲强度等于此时e(T)的幅值e(kT0),即e(0T0),e(T0),e(2T0).e(nT0).采样过程可以看成为一个幅值调制过程，采样器如同一个幅值调制器。e(t)一t调制信号理想的脉冲0

4、序列二载波信号T(t)的数学表达式为:T(t)(tnT0)调制过程e(t)=e(t)T(t)=e(t)(tnT0)式中T(t)是一个周期函数，可以展开富氏级数，写成级数的复指数形式T(t)=Cnejnwst,Ws=2-采样角频率(基频率)To富氏级数的系数T12CnT(t)ejnwst出TT201TJyT1一T(t)1dt201(t)dt亍的函数性质(定义)0(t(t00)且dt1jx(t)fOO宽度为零，长为°°的面积(强度)，有物理意义»t0dtO把Cn结果带入到T(t)中，得：T(t)Tejnst再代入到e*(t)中，得：e*(t)e(t)ejnwst1ee

5、jnwstTT进行富氏变换：*E(jw)E(jwjnws)Fe(t)=E(jw),Fe(t)ejnWst=E(jw+jnws)上式说明，一个连续信号e(t)经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴，从10开始，每隔一个米样频率s重复出现一次，另乘一个常数之，即频谱产生周期延拓。设连续信号e(t)的频谱E(jw)是一个单一的连续频谱，其最高频率为如下图:延拓后的E(jw)如下图所示3s3s二、采样定理(香农采样定理shamnorj)从上图可知，只有当n=0的频谱才是e(t)的频谱，其余的均是高次谐波。若要从采样信号e*中完全复现出采样前的连续信号e(t),必须满足香农采样定理(乃氏定理)，即“采样频

6、率s大于或等于两倍的连续信号e(t)频谱中的最高频率"。s>2max三、信号恢复如果按香农定理来采样，即s>2max,又如何去除高次谐波频谱，又能保留基频呢？为此，设置一个低通滤波器，其理想的频率特性F(jw)必须等于一处实现截止，称为“理想的窗式滤波器”。理想是不存在的，实际应用中,2常用三种保持器，即低通滤波器常值-零阶保持器线性-按比例增加或减小1阶二次函数-按两次方关系变化2阶零件保持器1.作用能使米样信号e(t)每一个瞬时的米样值e(0),e(T)，e(nT)一直保持到下一个米样瞬时，从而使米样信号e由脉冲序列变为阶梯信号为何称零阶保持器：牛在每个采样区间内的值

7、均为常数e(nt),其导数为零，故称为零阶保持器。如果吧1(t)的中点联起来，则可以得到与e(t)形状一直，在时间上滞后t0/2的时间响应曲线e(t五)。22、零阶保持器的传递函数和频率特性设某瞬间时13零阶保持器g（t）T-1(t-T0)输出应该是幅值为1的，持续时间为T。的脉冲过渡函数，必须增加一个1（tT°）信号，才能完成上述的假定。即gh(t)1(t)1(tTo)传递函数：Gh(S)=L-gt)L(t)SieT0s1频率特性：Gh(jw)=1jwjwToGh(jw)Gh(jw)(ejwT0CoswT0jSinwT0;ejwT°wT0CoswT0jSinwT0;Sin

8、2f1CoswT0、/；)幅频特性:一1一一1G(jw)=1CoswT0jSinwT0=2(1CoswT0)=T0jww,wT0Sin2wT02相频特性:G(jw)=arctg1CoswT0SinwT0号（弧度）GG不、/,0-A33s23s33s43s设置保持器(低统滤波器)并不理想。从上式知，当0时，2一，一.，、Gh(j)To,s时，Gh(j)0,不像理想滤波器只有一个截止频率，达To里有几个截止频率(2s，3s)。在基频之外尚有高频部分通过，恢复后的e(t)中含有误差信号。只有让T。，即s,才能使误差。3、零阶保持器的实现把传递函数Gh(s)1(1eT°s)中的eT0s展成泰

9、勒级数(eT0s1T0s.)，s2取前两项得Gh(s)-(1eT0s)-(1-T)-(1-)0ssses1T0s1T0s近似为一阶惯性环节的传递函数。可近似用一个无源四端网络来实现。等效于RC低通网络的传递函数：G(s)匕9)1Ui(t)Ui(s)RCs14CU(t)若对eT0s取前三项，即eT0s1T°s22T0s1TosGh(s)To是一个振荡环节加一阶导前环节，等效于R-L-C无Tos1 Tos02I1Ui(t)源电路。,RIi/TI2/Cuo(t)fL3 Uo(s)R3Ls5 S)22Ui(s)(RR2)L(RR2RR3R；)s(RCLR2C)s2Ui(s)R/(s)Uab(

10、s)Uab(s)R3li(s)LsIi(s)Uab(s)Rzs)Uo(s)1Uo(s)I2(s)CsI(s)Ii(s)I2(s)第三节Z变换与Z反变换连续系统x(t)木样开关离散系统x(t)x(nTo)x(t)x(t)(t)x(t)(tnTo)(to,x(t)o)则x(o)(t)x(To)(tTo)x(2To)(t2To)x(nT°)(tnT。)x(nTo)(tnTo)进行拉氏变换，得Lx(t)Z(s)x(nT0)enToS其中x(nTo)为常数，L(t)1,对L(tnTo)应用位移定理，得L(tnT°)enT°s。上式中enT0s为s的超越函数，不易求反变换，引

11、入Z变换定义，令zeT0s或sInz(z为变换算子)T0Z(s)|1Z(z)x(nT°)znsInztn010称Z(z)为x(t)的Z变换，记作Zx(t)Zx(t)Z(z)Z(S)Z变换仅是一种zeT0s的变量置换，通过它可将S的超越函数转变为Z的幕级数，是拉氏变换的变异。求离散函数Z变换的几种方法1、级数求和法(是最基本方法，优点是直观，缺点是难以写成闭式)此方法是按定义求变换，要写出各采样点的值。*x(t)x(nT°)(tnT。)x(0)(t)x(T0)(tT。)x(2T°)(t2T0)x(nT°)(tnT°)拉氏变换：Z(s)x(0)x(

12、T0)eT0sx(2T0)e2Tosx(nT°)enT0s用zeT0s代入，上式为(即为Z变换)Z变换：Z(z)x(0)x(To)z1x(2To)z2x(nT°)zn写成闭式：Z(z)x(nTo)znn0例1:求x(t)1(t)的Z变换。x(0)x(T0)x(nT°)112nZ1(t)1zzz1,几何级数收敛。求闭式(和式)，Z1(t)1(z)-11,即Re(S)0)例2、求xeat(ao)的Z变换解：依图看x(nTo)值_at.aTo1Ze1eze2aTonaToaT01eozaToaTo2、部分分式法若x(t)变换得z(s)M(s)N(s)S2由L1变换，得x

13、(t)L1z(s)nL1i1s由例2x(t)eataToAnssnAest成为指数函数形式。z则Z(z)Ai近i1ze例3求x(t)sint的Z变换。Lx(t)Lsin1Lz(s)x(t)t-2-s1jt一e2j2z(s)12j12jZ(z)Zx(t)Zsint12jzsinTo2z(2cosTo)z13、留数计算法已知z(s)Lx(t)的全部极点si,则有zsT0zessin1dr1rZi1诉h(Ss)Z(s)式中r是ssi极点的阶数，To-采样周期例4已知某函数的拉氏变换z(s)S-，求Z(z)。(S1)(S2)解：这里sSi1,S22是两个极点(单)，11/21,n21Z(z)(11)!

14、2zz(S1)z(S)zeST01(s(11)!z2)zSzesT0T02T。zezeZ变换的基本定理Z2(z),a,b是常数,1、线性定理x(t)Z(z),x(t)Z1(z),x2(t)则Zaxi(t)bx2(t)aZi(z)bZ2(z)2、滞后定理若t0,x(t)0,Zx(t)Z(z),则有：Zx(tKT0)zKZ(z)相应的Z变换乘以说明原函数Mt)在时间上产生K个采样周期的滞后时,3、初值定理若t0,x(t)0,Zx(t)Z(z)Z(z)4、终值定理若t0,x(t)0,Zx(t)Z(z)则有：limx(t)limtz1(z1)Z(z)Z反变换将Z(z)变成离散时间函数x，称为Z反变换。

15、Z(z)的反变换记为_1_ZZ(z)x(t)1、长除法1Z(z；2)。解：Z(z)零,将皿2小变换成z1幕级数排列，再把Zz写成Z-1的升幕形式，目的是利用正变换的Z(tnT0)zn,及变换Z1zn(tnT。)Z(z)10z110zz23z213z12z210z130z270z3150z4Z-1Z(z)=X*(t)=106(t-To)+306(t-2To)+706(t-3To)+1506(t-4To)+10(zn1)(tnT0)n02 .部分分式法目的：是利用Z变换一的形式，通过查表解X*(t)特点：因Z(z)中分子多含有乙在计算时，先把一四代为分项分式，然后两边同乘Z因子。例2.求Z(z)=

16、"4的X*(t)。(Z1)(Z0.5)解:Z(z)Z0.5(Z1)(Z0.5)Z1Z0.5，即Z(z)-Z-ZZ1Z0.5查表知:Z1-Z-1,Z1Z0.5nZ1Z0.5故X*(1-0.5n)(tnTo)n=03 .留数计算法已知Z变换函数为Z(z),在1=口丁0时刻采样值X(nTo)为1 mnn1X(nT°)Z(z)zn1dzResZ(z)zn1,zk2 Jck11 nc.?Z(z)Zn,dzResZ(z)Zn,Zk2 jCkiX(nTo)为求包围Zz)Zn-1全部极点的封闭曲线的积分，即求Zz)Zn1在Zr所有点的留数。这样，求封闭曲线C的积分就变成求被积函数在C中的各

17、奇点处的留数。证明略例1.Z(z)(1eT°)zT-T-，求X(t)。(z1)(zeT0)解：Z(z)zn(1eT0)zn(z1)(zeTo),有两个极点，即41,z2eT°。xGTd)lim(zT0)znT一lim(ze0)zeT0T(1e"»"1e(z1)(zeT0)nT0则离散函数xx(nT°)n0(tnT0)(1en0nT°)(tnT。)。脉冲传递函数的概念第4节脉冲传递函数对离散系统，输入由K个脉冲组成的时间序列，即Ke*(t)e(nT°)(tnT°),在kTo时刻输出X(t)幅值为:n0kX(

18、kTo)e(nQg(kT)n=0knT。)e(nT。)gT°(kn)n0输出的时间序列为X*(t):X*(t)x(kTo)(tnTo)n0g(kn)Toe(nTo)(tnT°)n0进行Z变换*Z(z)zx(t)x(kT°)zke(nT°)g(kn)T0zk令m=k-n,贝Uk=m+n,代入得脉冲总是从0开始m=-n=0.g(mTo)zmm0e(nTo)znnoZ(z)=G(z).E(z)=E(z).G(z)类似连续系统G出迎3E(z)Ze*(t)或者X*(t)=z输入脉冲序列的Z变换(z1)(zeaTo)Z(z)或者x(t)zZ(z)输出脉冲序列的Z变换

19、e(t)、Ie*To'E(z)4x(t)GG(z)e(t)G(s)G(z)若输出x(t)是连续信号，可虚设一个理想采样开关，与输入的T。相同且同步。当To”时，就可以用x(t)来近似描述x(t)。求G(z)的步骤：1 .求出系统的传递函数G(s);2 .求出脉冲响应函数g(t)=L-1G(s);3 .计算G(z)g(nTo)Zn,若系统是稳定的，G(z)收敛。n0二.离散系统的开环脉冲传递函数1. H(s)与G(s)之间没有采样开关e(s)ToIE*G(s)IZsMH(s)-Is)-y*(s)TO/、y(z)反馈信号的Z变换/、G。”输入信号的z变换GH(z)y(s)E*(s)G(s)

20、H(s)由虚构情节知，y*s)E*(s)G(s)H(s)*E*(s)G(s)H(s)*y(z)E(z)G(s)H(s)*E(z)ZG(s)H(s)或EGZ_,或y(z)E(s)GH(z)G(s)与H(s)无采样开关，G(S)与H(s)先乘积后Z变换。2. H(s)与G(s)之间有采样开关E(s).E*(s)/VIToG产-T。Z*(s)H(s)y(s)Z(S尸E*(s)G(s)Z*(s)=E*(s)G*(s)*_*y(s)Z(s)H(s)E(s)G(s)H(s)一>*则：Z(z)Z(s)E(z)G(z)*_y(z)y(s)Z(z)H(z)E(z)G(z)H(z)y(z)Go(z)G(z)

21、H(z)E(z)举列：对上图，若G(s)-a-,Hss)11,海辟幽递!懒皴。sass解：对上图.Go(z)GH(z)zG(s)H(s)=Zs(s+)z(1eaTo)对上图.Go(z)G(z)H(z)Z-Z1：Z=%saS(z1)(zeO)两者的Go(z)不同，不同之处零点不同，极点是相同的。三.离散系统的闭环脉冲传递函数R*(s)R(s)E(s)EE*(s)To-Z*(s)tOG(s)Z(s)1.2.3.求输入Z(z)(z)R(z);H(s)作用在连续系统上的偏差信号是离散的脉冲序列E*(s),由图知E(s)R(s)y(s)R(s)H(s)Z(s)R(s)G(s)H(s)E*(s)Z变换：Z

22、E(s)=E(z尸E(s)R(z)GH(z)Ez)冏魁驰渊修函次)z；z)硬(盘祟n:凄空RQ"RHGH(z)品4，z)E(zGH1z)GH(z)离散反馈系统偏差传递函数GeE(z)1心R(zE(z1gh(z)离散反馈系统偏差传递函数：Ge(z)且-R(z)1GH(z)四.离散系统的过度过程分析(Z平面的时间响应)相当于经典控制论中的时间域分析步骤：计算闭环系统脉冲传递函数(s)Z3;R(z)t5.z.A、，、.)tr、.*r、按输入信号r(t)或r(t),求R(z)Zr(t);4.一一一、一，一T.*求Z(z)的Z反变换，得Z(nTo)或者x(t)0主要指标：10超调量Mp(%);

23、2 0过渡过程时间tskT0;3 0稳态误差。例：已知采样时间T0=1s,k=1,r(t)=1(t),分析系统动态和静态过程。解：10.求开环离散系统传递函数(连续部分)G0(s)1eT0sks(12s)s(1s)s1e7-2s1s即前向通道函数2°.求g(t)g(t)=L-1G0(s)=t.1(t)-11(t)+e-t-1(t)-(t-1)=(t-1+e-t)1(t)-(t-1)-1+e-(t-1)1(t-1)=1+e-t1(t-1)+1(t-1)-ec-(t-1)-e-(t-1).1(t-1)应用位移衰减定理:因T。1,由tnT0n,1+en-e-(n-1)n=1,2,3,g(t

24、)=g(nT0)=g(n)=n=0(零状态)30.求开环脉冲传递函数G0(z)Go(z)Z(z)E(z)G(z)g(nTo)Znn(n1)n1eez(ze)n0(1e)enzn(ze)n0(ze)e1Z12e1Z2(1e1)Ze40.求闭环脉冲传递函数(s)Z(z)Ge1z(12e1)(s)21R(z)1G0(z)z2z(1e1)以e=2.718代入，得,、0.368z0.264(s)z2z0.63250.求R(z)因r(t)=1(t)R(z)=60.求Z(z)=(z)R(z)=0.368z0.24620.368z20.264z2z2z0.6323_2z32z21.632z0.63270.求X

25、(t)X(nT。)是最终目的：即求Z(z)的Z反变换，用长除法_12345Z(z)0.368zz1.4z1.4z1.147zX(t)0.368(tt°)(t2T0)1.4(t3T0)1.4(t4T0)1.147(t5T0)若系统是稳定的，经过若干项后，其脉冲序列的系数近似为1.0响应曲线如下：最大超调量40%=;ts>12T0=12秒，误差小于5%tr=2秒80.求稳态误差利用Z变换的终值定理,lime(t)iizrp(z1)e(z)对于单位反馈系统，误差喻差旦之R(z)R(z)Z(z)1R(z)(z)E(z)=1-(z)R(z)lime(t)lim(z1)E(z)tz1,z2

26、1.368z0.368zlizm?(z"z2z0.632z1稳态误差为零，说明该系统为I型系统，定为无差度为1。”能够准确地复现阶跃函数型控制信号”。若r(t)=t，ljme(t)1有常数型误差若r(t)=t2时，ljme(t)不能跟踪加速度信号状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间的一阶微分方程组。第二章状态方程第一节基本概念可以研究多输入、多输出、时变、非线性、随机、采样系统等方面的问题。基本方法：把高阶的微分方程化为一阶运动状态。概念与术语：状态：指系统状态的过去、现在、将来的运动状态。状态变量：确定系统状态的最小一组变量，状态变量可不同，但个数是相同的个数，取决于微分方程的

27、阶数。状态向量：(t)X1(t).X2(t)Xn(t)T,相当于坐标系。状态空间：状态向量的所有可能值的集合称为状态空间，以1(t)、2(t)n(t)为坐标轴所构成的n维空间。例题：针对二阶系统的振动模型，建立状态方程。X(t)?mxf(t)kx(t)方程：?k1x-x(t)f(t)人mm是二阶系统，选两个状态变量，速度V、位移S?k1即sx，vxxvmsmfsv?kvsm1f(t)m01f(t)m第二节化高阶微分方程为状态方程步骤：1.按实际系统写出运动微分方程。2.选择适当的状态变量。针对单输入、单输出系统(n)(n1)yay(m)(man1yanyb0Ub1u1)bm1UbmU(t)左为

28、输出，右为输入。稳定系统，则n>m.输入函数不含有导数的情况(n(n1)y)ay)an1yany(t)u(t)由于是n阶微分方程,必须选n个状态变量XiX1y?x2X2y?X2y?X3X3设X3X4XnXny(ny(n2)Xn(n1)yXn1)Xn(n)yXn(n)y(nay1)an1yanyu(t)anX1an1X1a1Xn目的是转换为以X为变量的微分方程组，最后的Xny(n)必须从原方程中求反解。写成矢量式（矩阵式）X1010x200100x1000x20uXnanan1an2an3aiX3X3yX3yX2X38y14y7y3ux8y14y7y3u8X114x27x33u简写为阵.主

29、对角线上方为1,最后一行元素可取任意值，其余为零阵.称为酉阵nn,为系数矩阵，表示系统内部状态的联系阵.称为控制矩阵，表示输入对状态的作用，又称输入矩阵n1.称为状态变量列阵X1y.输出方程.ycT?X11,00.Xn例题：把y7y14y8y3u化成状态变量。X1yX1y解：只能设三个状点变量X2yX2yx1010x1u状态方程x2001x2x38147x31.能控标准形是对输出的定义，于1960年由卡尔曼提出：“系统在输入信号ut作用下时间内，将某一状态复到任意状态，这种状态称为能控的。”u状态方程称为系统的yCTCT1,00输出矩阵动态方程在动态方程中，A阵为酉阵，B=的形式，即为能控标准形，对CT没有要求。012.能观测标准形在输入ut0时，在有限时间区间内，测量到的输出yt,能够唯一的确定系统在to时刻的初始状态的能力（中间状态无法测量），称为能观测标准形对