灰色系统预测GM1,1模型及其Matlab实现

1、灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab实现预备知识(i)灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。(2)灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。目前使用最广泛

2、的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。1灰色系统的模型GM(1,1)1.1GM(1,1)的一般形式设有变量X(0)=X(0)(i),i=1,2,.,n为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1AGO,AcumulatedGeneratingOperator)生成一

3、次累加序列：X=X(1)(k),k=1,2,，n其中X(k)=£X(0)(i)i1=X(1)(k-1)+X(k)XX可建立下述白化形式的微分方程：1 1)(2)d+aX(1)=udt即GM(1,1)模型。上述白化微分方程的解为(离散响应)：X、(k+1)=(X(0)(1)-)ekaX(k)=(X(0)(1)ujeWkf+u(4)aa式中：k为时间序列，可取年、季或月。1.2辩识算法记参数序列为a,a=a,uT,a'可用下式求解：a=(BTB)-1BTYn式中：b数据阵；Yn一数据列_L(X(1)(1)十X(2)1(6)2 B=1- 2(X(2)+X(3)1.- -1(X(1)

4、(n-1)+X(n)1.2(7)- n=(X(0)(2),X(0)(3),X(0)(1.3预测值的还原由于GM模型得到的是一次累加量，kWn+1,n+2,时刻的预测值，必须将GM模型所得数据X(1)(k+1)(或X(k)经过逆生成，即累减生成(IAGO还原为X(0)(k+1)(或X(0)(k)才能用。X(1)(k)=ZX(0)(i)1 =1k1=EX(0)(i)+X(0)(k)i1X(k)=X(1)(k)9X(0)(i)i1因为X(k-1)=£X(i),所以X(k)=X(k)X、(k-1)。i=12 应用举例取某高校1998年2003年的某专业招生数据建模，见表1。表1某高校专业招生

5、数据表年招生人数20001322001922002118200313020041872005207以表1中的数据构造原始数据列x(0),即X=X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4),X(0)(5),X(6)=132,92,118,130,187,207对X(o)进行一次累加(1AGO),生成数列：kx(1)(k)=XX(0)(i)即x(1)=X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3),X(1)(4),X(1)(5),X(6)=132,224,342,472,659,866和数据阵日数据列Y|一1781,Yn=(92,118,130,187,207)D_2831B=1

6、-4071-565.51'-762.51由式得Ta=a,u0.205一IGM(1,1)为56.7878184ua(k二)ea由式(4)得灰色预测模型X(k)=(x(0)(1)=(132+277.0137483)e0.205(kJ)277.0137483=409.0137483e0.205(k-1)_277.0137483预测值及预测精度见表2。表2某高校专业招生预测值及预测精度表年GM(1,1)模型计算值1AGO还原值实际值误差拟合相对误差()2000132132132132002001225.06087962249392112002339.295441834211411843.382

7、003479.52123472140130107.692004651.65196591721871582005862.9466129866211207一41.9320061122.316167259252一72.78由表2知预测精度较高。2006年某专业招生人数预测值为259人。由于人数为整数,所以结果取整数部分。GM(1,1)是一种长期预测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，该预测值应是可信的。如前所述，影响招生人数的因素很多且难以预测。因此，在采用灰色系统理论进行定量预测时，如果存在对预测对象影响较大的因素，就要在定性分析的基础上，寻找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对预测值

8、进行必要的修正，使预测值更接近实际情况，提高预测值的可信度，为科学决策提供可靠的数据。另外，若作长期预测，要考虑对上限值的约束条件。应用灰色预测模型GM(1,1),对某专业招生人数进行了预测，具有较高的预测精度。应用灰色模型进行预测较之其它常规的时间序列预测法有以下显著的特点。(1) 灰色模型是一种长期预测模型，将预测系统中的随机元素作为灰色数据进行处理，而找出数据的内在规律。进行预测所需原始数据量小，预测精度较高，无须像其它预测法要么需要数据量大且规律性强，要么需要凭经验给出系数。(2) 理论性强，计算方便，籍助计算机及其程序设计语言，使得数据处理简便、快速、准确性好。(3) 用有限的表征系

9、统行为特征的外部元素，分析系统的内在规律。灰色系统理论采用对系统的行为特征数据进行生成的方法，对杂乱无章的系统的行为特征数据进行处理，从杂乱无章的现像中发现系统的内在规律，这是该方法的独特之处。(4) 适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。2灰色系统模型的检验定义1.设原始序列X(0)(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)相应的模型模拟序列为,(0)=3(1),?(2),外0)(n)：'残差序列；(0)=；(1),；(2),；(n”x(0)(1)->?(0)(1),x(0

10、)(2)一/)(2),x(0)(n)-姆)相对误差序列、x(0)(1)x(0)(2)'；(n)x(n)1.对于kvn,称Ak；(k)x(0)(k)为k点模拟相对误差，称An=，一1n，一，*，*称=1£Ak为平均模拟相对误差;k2.3.；(n)x(0)(n)为滤波相对误差,nkd称1-为平均相对精度，1-An为滤波精度；给定口，当2<“,且An<ot成立时，称模型为残差合格模型。定义2设X(0)为原始序列，义(0)为相应的模拟误差序列，注为X(0)与父(0)的绝对关联度,若对于给定的zo>Q,z>0o,则称模型为关联合格模型。定义3设X(0)为原始序列

11、，X?(0)为相应的模拟误差序列，0)为残差序列。1n(H)一(H)x=_£x(0)(k)为X(0"q均值，nk4ns2=l工(x(k)_x)2为x的方差，nk4_1八、(=-1lw(k)为残差均值，n21J-2,一、*S2=一£(s(k)-s)为残差万差，nk4.一s2._.1.称c=&为均方差比值；对于给定的C0>0,当CCC0时，称模型为均方差比合格模Si型。2.称p=pq*(k)司C0.6745S1)为小误差概率，对于给定的P0>0,当pAP0时，称模型为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表一-指际临界性精度等级相对误差关联度均方差比

12、值小误差概率一级10.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级：0.200.600.800.60般情况下，最常用的是相对误差检验指标。应用举例2、设原始序列X(0)1x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)=2.874,3.278,3.337,3.390,3.679建立GM(1,1)模型，并进行检验。解：1)对X(0)作1-AGQ得D为X(0)的一次累加生成算子，记为1-AGOX(1)_1(1)(1)x(2)x(3)x(1)(4)x(1)(5).JX-x(%x(2),x(3),x(4),x(5

13、)=2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)对X(1)作紧邻均值生成，令Z(k)=0.5x(1)(k)0.5x(1)(k-1)Z(1)='z(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4),z(5)=：2874,4.513,7.820,11.84,14.718于是，一-z(2)_z-z-z(4)1111I-4.5131I-7.8201-11.841'-14.7181"x(0)(2)"x(0)x(0)(4).x(0)(5)J3.27813.3373.3903.679rTr-4.513BB=|1-7.820-11.184-1

14、4.718111-4.5131-7.8201-11.841-14.7181-423.221-38.2351=1-38.2354(BB)J-423.2211-38.235-38.235=0.0173184-|0.16655420.1655421.832371=1一438.2351423.221x4-38.2352|I38-235423.221_1_438.2351=230.969138.235423.221J3.278-14.71813.3371*3.390-3.679i?=(BB),BY0.0173180.16554214.513-7.820-11.184|0.16655421.8323711

15、110.0873860.030115Jl.0852800.5378333.278-0.028143-0.089344|3.337-0.01905110.604076*13.390-3.679_一0.0371561一I3.065318_3)确定模型dx-0.037156x()=3.065318dt及时间响应式姆(k1)=(x(0)(1)-)ek-baa=85.3728e0.037156k-82.49864)求X的模拟值潭二京必共曲必)=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出X(0)的模拟值，由婷(k1)=，(k1)-，)(k)得*(0)=歹0)(1

16、),00)(2),。0)(3),?(0)(4),。0)(5)=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128)6)误差检验序号实际数据模拟数据残差相对误差x(0)(k)x(0)(k)«k)=x(0)(k)-?(0)(k)k=巩k)(0)/ix(k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%残差平方和H2)1武3）名（4）45）】斐）；K)?(5)-0.0462=0.0462-0.0171-0.09110.0662】1

17、-0.0171=0.0151085平均相对误差15二'4k4=1.0625%-0.09110.06621(1.41%0.51%2.69%1.80%)4计算X与必的灰色关联度二1S=£(x(k)-x(1)+-(x(5)-x(1)kz221小一八一、=(3.278-2.874)+(3.337-2.874)+(3.390-2.874)十一(3.6792.874)2=0.4040.4630.5160.4025=1.7855二八八1八八£(x(k)x(1)+(x(5)欠(1)y21=(3.2318-2.874)+(3.3541-2.874)+(3.4811-2.874)+-(

18、3.6128-2.874)=0.35780.48010.60710.3694=1.8144。一r一一11r一一nS=£(x(k)-x(1)-(?(k)-洌1)】+1(x(5)-x(1)-(?(5)-41)1=(0.3578-0.404)+(0.4801-0.463)+(0.60710.516)+(0.36940.4025)2=-0.0462+0.0171+0.091-0.01655=0.04535右_1+S+§_1+1.7855+1.8144_4.59991+|S|+同+§_S1+1.7855+1.8144+0.045354.64525=0.9902>0.9

19、0精度为一级，可以用针(k1)=85.3728却37156k-82.4986欠(k+1)=*(k+1)-?(k)预测。functiony,p,e=gm_1_1(X,k)%graymodel:GM(1,1)%Exampley,p=gm_1_1(200250300350,2)ifnargout>3,error('Toomanyoutputargument.');endifnargin=1,k=1;x_orig=X;elseifnargin=0|nargin>2error('Wrongnumberofinputarguments.');endx_orig=

20、X;predict=k;%AGOprocessx=cumsum(x_orig);%computethecoefficient(aandu)n=length(x_orig);%firstgeneratethematrixBfori=1:(n-1);B(i)=-(x(i)+x(i+1)/2;endB=B'ones(n-1,1);%thengeneratethematrixYfori=1:(n-1);y(i)=x_orig(i+1);endY=y'%getthecoefficient.a=au(1)u=au(2)au=(inv(B'*B)*(B'*Y);%changethegreymodeltosymbolicexpressioncoef1=au(2)/au(1);coef2=x_orig(1)-coef1;coef3=0-au(1);costr1=num2str(coef1);costr2=num2str(abs(coef2);costr3=num2str(coef3);eq=strcat