泛函分析复习题

1、泛函分析期末复习题(2005-2006年度)(1)所有nxn矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？-1-L-(2)什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？2,设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的k,y£L,以及变数入和p均有Ax+uy£L,则L称为线性空间E的一个子空间.子空间心室包含零元素，因为当人和口均为0时，Ax+py=U£L,则L必定含零元素口(3)什么是线性流形？3、设L是线性空间E的子空间，xoGEXL,则集合Xo+L=xo+1.DEL称为E中一个线性流形°(4)什么是线性空间中的凸集？4、

2、设M是线性空间E中一个集合，如果对任何x,yWM,以及A-p=bA>0,p>0的人和|J,都有入x+pyeM,则称M为E中的凸集(5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在n维欧几里德空间上常用的距离定义5、设x.y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件,11)非负性：d(K,y)>Ot且d(x,y)=0<>x=y(2) 对称性：d(x>y尸d(y,x)(3) 三角不等式:y)Wd(*Tz)-Fd(y,z)foreretyy,z£En维欧几里德空间常用距离定义：设入

3、=仅沟，鼻1，y=yiyi-.ynT»n山区严Mk,y)=?|xt-yt|n&(K，y)=(yIA；-yt1产ik(K,y)=max|JC.|(6)距离空间(X,d)上的收敛是如何定义的？6、距离空间(x,d)中的点列4收敛到刈是指<1(又2No)90(n68),这时记作血甘】=八,JT或简单地记作/分刈(7)线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？7、设|冈|是线性空间E中的任何一个元素x的范数，其须满足以下条件,(1)网>0,且阿=0iffx=0(2)|Ax|=A|x|,A为常数|x+y|x|+|ylNfbrevCTyx,yGE(8)什么是巴拿赫空间？赋范空间中

4、的基本列一定收敛吗？8、设E为线性赋范空间，xj2=1是其中的一个无穷列，如果对于任何E>0,总存在自然数N,使得当m>N时，均有1Km,则称序列是E中的基本列口若E的基本列的收敛元仍属于E,则称E为完备的线性赋范空间，即为Banwch空间线性赋范空间中的基本列不一定收敛。(9)有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banadi空间.10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert空间;(10) 什么是希尔伯特空间？(11) L2(a,b)空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？11

5、. L26.b)为定义在b)上平方可积函数空间，即设血3b),Jj/G/lt/r当£?b)中内积的定义为(1；g)=£7而出(其中你)，g三I?6)时其为Hilbert空间*(12) 什么是算子？为什么要求算子T的定义域D(T)是一个子空间?12.算子表示一种作用，一种映射.设X和Y是给定的两个线性喊范空间，集合DuX,若对D中的每一个x,均有Y中的一个确定的变量y与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T,记为y=T(x>y为X的像，K为y的原像口(13) 算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。13、算子的范数：设T为有界线性算子，则对一切x&

6、#163;D(T),使不等式|T刈yWMIMx的正数M的下确界称为T的范数，|T|fup|Tx|/|M|,|刈工0,直观的理解就是|x|的最大放大率口(14) 线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？14、根据线性算子零空间的定义；对线性算子T：E9E必有TOR,则称集合x£E|Tx=O为T的零空间，它是E的线性子空间.并不一定是值域E的子空间匚(15) 什么是有界算子？举一个无界算子的例子。15、如果存在一正常数M,使得对每一个x£D(T),都有|Tx|yWM|x限，则称T为有界算子,无界算子£设算子八C10,1定义为：(Tx)(t)(t),则T是线性算子，

7、若视C10,1为C0-1的子空间，则是无界的§(16) 算子的强收敛是如何定义的？16、设m=L(X，Y),TEL(X,Y),如果对任何今x£X,均有|Jx.Tx|今昭今8),则几弱收敛于T,(17) 设X为一个线性赋范空间，而Y为一个Banach空间。那么从X到y的线性算子所构成的空间l(x,y)是否构成一个Banach空间？一X.(18) 什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？*18.压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X为BANACH空间，F为XTX的算子，且D(F)nR(F)士中，如果满足称x”为F的不动点，设集合QU5F),如果存在常

8、数昨，1)使得对任何X,xGQ,有|F(k)-F(疥|Wq|x-x|，称F为Q上的压缩算子，q为压缩系.压缩映像原理：设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子，压缩系为q,则算子F在Q内存在唯一的不动点x，若取为Q内的任意点，作序列口=0,L2贝IJ0)£Q.而且有估计|凡十*|这冢1-埔巴/河(3|简单地说即喷范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到口(19) 什么是泛函？什么是泛函的范数？19、设X是实数域上的线性赋范空间，D是X的线性子空间，fD9R.如果f满足;对任何口,0GR.k,y£

9、D,f(ax-py)=af(x)-pRy),则f是D上的一个线性泛函，或者说由X-R的算子为泛函，泛函f的范数定义如下：呼|班咖国|=1户supflfi&MDC网4OEp|fWKI|x|Wi),并且有IfW压倒x(20)什么是线性赋泛空间X的共轲空间？线性赋泛空间X的共轲空间是否总是完备的？20、定义在整个线性赋范空间X上的所有有界线拄泛函的全体构成的空间L(X,R)称为空间X的共辗空间，又叫对偶空间，其是完备的#(21) 什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？21、弱收敛；X为线性赋范空间，xjuX,xoEX,如果对任何一个均有lim/壬fg,)则称弱收敛于弱收敛不一定强收敛，

10、强收敛一定弱收敛.n>»(22) 什么是的Gateaux微分？22、泛函的GATEAUR微分之设X为线性赋范空间，右三X,f(x)的与及其领域内有定义，如果对任竟h£X,极限:lim/(/+""一/)存在,则称fiW在刈处对方向h存在r>0fGATEAUR导致，记为o又称为泛函式乂)在两处对于方向b的一阶变分口(23) 什么是泛函的(一阶)变分？它是如何定义的？23、5/(/称为泛函f(x)在均处对于方向h的一阶变分二令矶)=/值十#工则/(0)=lim帜、二'(?=8/(天8/1)»(24) 形如J(x(t)=fg(t,x

11、(t),x'(t)dt的泛函，其对应的Euler-Lagrange.d,八24、gx-g=0dt*方程是什么？(25) 什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试11f25、应变能密度；用(£：)二j仃,依出)4ehD系如下图所示：CT图说明。应变余能密度；Wc=J其关026.有限元方法的分片插值函数:的本.质是；有限元=瑞兹法十具有局部耍支集(26) 有限元方法的本质是什么？瑞兹+具有局部紧支集的分片插值函数(27) 什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导弁证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移

12、场。27、巾(刈二j严(%)”一工仙郎1尸必杰，金二J,其中疝心)为系统的总势能，为应变能，后两项为外力势能,£为体积力分量，八为给定Sb边界卜的疆力最势曲原理：在所有湎足立界条4版】，门和必要的迷咦性条件的位移场中，系统的总势能最小，即时所有可能的位移，真实位移使得系统势能乃5)最小。其基本的未知函数是位移场屿，其应该满足，(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，J+%J,必须满足本质边界条件，边界位移连续条件，即:ui=凡onSi(o推导与证明过程如下：把口取一阶变分：6rl=/用(%)M加w旬%耳,"S.dV-f.Su.dV-£RSiis

13、-Ssydv=5痒必，耳%（1/2演6+1/2%皿其中SjJi''=1用产到+1/24/0嗅J/5"二Jj3例）L,(%加/犷=£(q&的必=J句号M"+(由于在s上以二巩为己知，则Jcy.n.Su.ds=0所以6n=j5：门;到郎-0/"的SjpQuds由bn=0得=0。口。on即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移，下面证明此极小值是n的最小值,设正确解是叫其它满足位移边界条件的容许位移是则u/f,M即则Eij=£ij+5E中由此得到:n=n+3n3：口其中&n=o,。:n=j严(限)”2o,所以口>

14、;n,则极小值即是最小值口证明完毕口(28) 什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导弁证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。28.系统的总余能叱依必-(1与巧丛，其中第一项为系统的应变余能.第二项与给定位移有关;最小余能原理即对满足%.+/=0inn和/on反的应力场(满足适当的光滑性.)，真实的位移场使系统的总余能最小.其基本未知函数是应力场cr$,对其要求为%.+£=0MQ%二A工证明如下工对口<(7)取一阶变分;汨匕(cr)=不'伍'SodV-J%(5仃。%ds,其中IFF呵.啊W=Jj

15、/2(4j+肛咨严="忆双双，由高斯定理可知工£.(%设7“3/二J'&T%去在边界面S#上.54亍P是已知的,所以5%二5耳=0，则.(/的。j"=1见顼勺丛同理，由于/.+/=0,其中/1是给定的，所以在。内，8%=00由以上推导可得:贰K（7）=（；（-w,）3crn：ds由极值条件小工（tr）=0.得珥二以，在工上廿这就说明了n/b）取得极值时的%既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是真实的位移场，下面证明该位移场对应的极小值是最小值；=L的式%+山/犷_14（,+电）勺心设外力已知边界条件下的应力分量为<

16、;7：.S：=51+&Tnjcr）=口;（。）二口（6+阻（。）+5凡。），其中川n<b）=j町（6%）4*皂。.所以rub）wn；（t7）,所以这个极小值是最小值,证明完毕，（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导弁证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。29、HuUingcLReissnur混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小：证明:构造余能泛函：J产珥/.<*+（g（/4+，）#+上尔/%-R）屐变分得;再=6（鸟/一%）应/+工（1+工）散步+,（耳+*轲啰+£杂（%一月赭q（/-珥）函内心依(T,-的对称性，得06cr=1/2(7.+fZ.Jjcr.o则Vy3J”V（%/-%，