【线性代数】矩阵的秩

1、2.5 2.5 矩阵矩阵的的秩秩矩阵秩的概念利用初等变换求矩阵的秩线性方程组的解一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩10101011000001200000 例：矩阵的秩矩阵的秩=3=3特点： (1)1)元素全为零的行位于矩元素全为零的行位于矩阵的最下面；阵的最下面； (2)(2)每行的第一个非零元素每行的第一个非零元素（首非零元）下面的元素都（首非零元）下面的元素都为为0.0. (3) (3)阶梯形矩阵的秩等于其阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数非零行的个数. . 任何矩阵总经过有限次初等行（列）变换将任何矩阵总经过有限次初等行（列）变换将它变为最简行（列）梯形阵，梯形矩阵中非零行

2、它变为最简行（列）梯形阵，梯形矩阵中非零行的行数是确定的。的行数是确定的。2mnAkkkm,knkAkAk 定定义义1 1 在在矩矩阵阵中中任任取取行行列列（），位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的个个元元素素, ,不不改改变变它它们们在在中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得的的 阶阶行行列列式式，称称为为矩矩阵阵的的阶阶子子式式. .123123235 ,235471471123-5,2371A 例：其中分别为矩阵A的一个2阶子式是矩阵A的一个3阶子式思考：矩阵A的一阶子式有 个，二阶子式有 个， 三阶子式的个数是941A0kDr10DArAR(A) 定定义义2 2设设在在矩矩阵阵中

3、中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话 ）全全等等于于 ，那那末末称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数 称称为为矩矩阵阵的的秩秩，记记作作. .并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于零零. .)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有问题：下列矩阵问题：下列矩阵A A的秩为多少？求矩阵的秩为多少？求矩阵的秩的方法有哪些？的秩的方法有哪些？123235471A答：方法有两种:一是通过定义定义 二是通过初等变换例例1 1.174

4、532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2 2的秩的秩求矩阵求矩阵121232211B解解因为因为B B的唯一的最高三阶子式的唯一的最高三阶子式01121232211 B所以所以 R(B)=3.R(B)=3.例例2 2解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B,0400230312 而而. 3)( BR.00000340005213023012的的秩秩求求矩矩阵阵 B., 梯梯形形等等行行变变换换把把他他变变为为

5、行行阶阶总总可可经经过过有有限限次次初初因因为为对对于于任任何何矩矩阵阵nmA 二、用初等变换求矩阵的秩二、用初等变换求矩阵的秩经过有限次初等行变换矩阵的秩仍不变经过有限次初等行变换矩阵的秩仍不变定义：定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：1)交换两行(记为r i r j);2)以数k 0乘某一行所有元素（记rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作r i +kr j ）初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换变成为行阶梯形矩，行变成为行阶梯形矩，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是

6、矩阵的秩. .例例4 4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 1641404311 0004800048

7、1641404311 -0004800000 332rr 442rr ( )3, R A 例例5 5 4321,6063324208421221bA设设的秩的秩 . .及矩阵及矩阵求矩阵求矩阵A AB=(A b)B=(A b) 10000500000120011221 00000100000120011221. 3)(, 2)( BRAR2322rrr 243rr 53 r34rr 1221 124802=(A : b)242333606 4B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 解：解： 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 mnmnmmnnnnbxa

8、xaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111可以写成 Ax xb b 其中A(aij) x x(x1 x2 xn)T b b矩阵B(A， b b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容 上页下页铃结束返回补充例题首页三、线性方程组的解12n .xxx上页下页铃结束返回首页 补充例题v定理2 线性方程组Ax xb b有解的充分必要条件是R(A)R(A b b) v定理3 n元齐次线性方程组Ax x0 0有非零解的充分必要条件是R(A)n v定理1 n元线性方程组Ax xb b (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A

9、b b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b b)n 上页下页铃结束返回首页 补充例题32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx 例2 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 322122351311321B104501045011321 121332rrrr200001045011321 23rr 可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解 322122351311321B104501045011321 121332rrrr322122351311321B104501045011321 121332rrrr 200001045011321 23rr 1212xxxx 求解线性方程组