数学教学论笔记

1、数学教学论终极笔记1、中学数学教学大纲（现在叫课程标准）：是中学数学教学的纲领性文件。它是根据国家科技、经济和教育事业发展的需要对中学数学提出的要求,根据数学本身的特点及发展的需要，根据学生在不同阶段的认识水平和心理特征，在总结、吸收国内外数学教育的经验和教训的基础上，反复研究和论证而制定出的。我国的数学教学大纲由国家颁发，全国统一施行。2、中学数学教学目的：是指通过中学数学教育，学生在数学的基础知识、基本技能、数学能力、个性发展、思想情操等方面所应达到的目标。3、原始概念：不能引用别的概念来定义，且又用来定义其它概念的概念,就叫做原始概念。4、确定中学数学教学目的的依据(1)中学数学教学目的

2、要依据党的教育总目标及普通中学的性质和任务来确定。确定学科教学的目的，必须服从于国家办教育的总方计,即把青少年培养成为什么样的人，才能适应社会的需要。普通中学的教育是属于基础教育的性质,是帮助受教育者打下文化知识基础和做好生活准备的教育。普通中学的性质和任务决定了中学数学教学传授给学生的是数学基础知识、基本的技能技巧和思想品德教育及美育。(2)中学数学教学目的要依据数学的的特点来确定。数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结沦的明确性。虽然数学概念与结论都表现为高度的抽象形式，但它们的形成与发现以及对结论的证明都要运用到一系列逻辑思维的形式和方法，所以，数学自身就具有向学生进

3、行思维训练、发展学生逻辑思维能力的功能。在从具体事物中抽象出数量关系和空间形式的科学抽象过程中，可以培养学生的抽象能力。同时数学也是发展学生观察力、注意力、记忆力和想象力的理性材料。数学研究的内容必然涉及对事物形状、大小、位置关系的想象，因此，数学可以培养学生空间想象能力。（3）中学数学的教学目的要依据中学生地学习基础年龄特征和认识水平来确定。学生在中学阶段的学习以小学阶段的学习为基础，同时也要为进入高一级学校学习打好基础，所以确定中学数学教学目的时，应注意数学知识、能力及学习方法与习惯等方面的衔接。中学生年龄特征是指青少年各年龄阶段身心发展的不同特点。中学教育对象是青少年,他们正处在成长发育

4、时期,认知能力与知识水平均没有达到成熟阶段,在理解能力上有局限性。数学教育与认识过程有非常密切的关系，而思维是认识过程的核心部分。从思维发展的特征来看,初中学生处在以形象思维为主的逐步向经验型的抽象思维过渡阶段，高中学生处在以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段,高二是思维的初步成熟期。因此,在确定教学目的时，必须从这些特点出发，抽象化程度太高的内容与要求对中学生是不适合的。5、世界各国数学教育目的共同特点（1）注重数学应用 （2）重视问题解决 （3）注重数学思想方法（4）注重数学交流 （5）注重培养能力 （6）重视数学美育（7）注重培养自信心 （8）重视计算器和计算机的使用6、选择中

5、学数学教学内容的原则（1）社会作用的原则。随着社会的发展,社会各领域都需要用到数学，这就要求数学课程选取的内容是现代社会人们的生活、生产和科学技术普遍需要的数学知识。（2）与科学技术的发展相适应的原则。科学技术越发展，应用数学的程度就越高。高科技本质上是一种数学技术，人们通过数学才能更好地掌握科学技术。科技对人才的数学素质的需要必然要反映到数学教育中，特别地，反映到数学教学内容的取舍上，必定要删去那些不能适应科技发展需要的一些传统内容，增加近代或现代的知识，为学生提供应用的工具、阅读科技书籍的基础以及进一步学习的需要。（3）基础性原则。现代数学已有了相当迅速的发展，知识量急剧增加,但其基本的内

6、容是相对稳定的，只有掌握了基本原理和基本概念,才能在此基础上学习更高深的知识。同时中学的教育是基础教育,从这一性质来看，学习数学是为了提高社会公民的文化素质,使学生具备进一步学习和参加生产劳动的数学素养。(4)教育性原则。选取的教学内容应对培养学生的数学思维、数学能力以及形成辩证唯物主义世界观和良好的个性品质有重要作用。(5)可接受性与发展性相结合的原则。所选择的教学内容应与学生的认知水平和接受能力相适应,同时又要有利于最大限度地促进学生的发展。(6)统一性与灵活性结合的原则。作为一个国家、一个地区,对中学数学教学内容应按教学目的的要求具有统一性,规定所有中学生都必须达到同一的基本要求，否则，

7、提高全民族的文化素质和培养合格的建设人才等设想就会落空。同时，也要考虑到各地区之间的差异,各地生产、经济发展和文化教育发展的不平衡。(7)后继作用与灵活性相结合的原则。指内容的选择要考虑学生进一步深造和参加实际工作的需要，搞好中学与小学、大学、职业教育的衔接,注意数学学科自身内容的衔接以及与其它课程教学内容的衔接，以适应不同阶段、不同性质、不同学科的需要,使它们在内容上协调统一。(8)可行性原则。指选择的内容在中学教学计划规定的时间和进度的范围内，经过绝大多数的学校、教师教学实践的证明是可行的。选择的内容要与学生的认识水平、接受能力,教师的知识水平、教学能力相适应。7、教学内容安排要符合的原则

8、（1）要符合学生的心理发展规律。遵照学生思维发展规律，在编排知识体系时，既不可割断学生连续渐进的思维方式，也不能颠倒思维发展阶段的顺序。对内容的编排还要注意符合认识规律，由浅入深，由易到难，由表及里，循序渐进,贯穿迁移的训练。要发挥非智力的心理因素的作用。（2）要符合数学知识的科学性和系统性应以科学数学知识结构及其内涵的数学规律及思想方法为前提，以基本概念、基本原理为主线，展现数学感性材料、应用材料与基础知识的有机组成。（3）必须遵循理论联系实际的原则理论结合实际，要求理论的建立依赖于实际，又要求已有的理论来解决实际问题，使原有的知识在学习中得以应用和深化，使新的知识在原有知识的应用中引伸。(

9、4)必须遵循联系性和衔接性原则数学各分支之间具有广泛的联系，特别是数学思想方法的相互渗透。为使学生更好地理解所学的数学基础知识,更全面灵活地掌握数学的基本思想和方法，教材体系必须揭示出知识间的相互联系。内容的安排还要注意数学与其他学科、小学与初中、初中与高中、高中与大学学科知识的衔接。8、中学数学教学的基本内容主要包括以下四个方面：（1）数学基础知识：指符合中学培养目标的数学科学中最本质的、已定型的、科学的、系统的初步知识。数学思想和方法数学思想：指数学研究活动中解决问题的基本观点和根本想法,它是对数学规律的理性认识。数学方法：指研究数学的手段和方式,它包括理论研究方法和数学理论应用于实际的方

10、法。中学数学方法大体分为发现方法、逻辑方法和解题方法三类。发现方法是指发现数学性质、规律时常用的方法，如归纳方法、类比方法、猜想方法、联想方法等等，但所得的结果还需进行严格论证。逻辑方法是指通过概念、判断、推理等逻辑程序进行严格推理的证明方法，包括形式逻辑方法、数理逻辑方法和辩证逻辑方法。中学里主要学习形式逻辑方法,如比较法、分析法、综合法、分析综合法、归纳法、演绎法、反证法、同一法等。解题方法可分为通法与技巧性较强的巧法，如配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、解析法、数形结合法、抽屉原则等等通法；如放缩法、错位相消法、分裂项法、割补法等等巧法。数学语言和逻辑。数学中对概念的表述、定理

11、的逻辑推理和证明，对量、量的关系进行比较和运算等一系列的活动,都是在某种有规则的符号系统中进行的，采用的是一套形式化的数学语言。这种数学语言的形式简明扼要，表达内容深刻、精确。技能、技巧。包括知识技能（如恒等变换、论证技能等）操作技能（如作图、测量、使用计算工具等)和解题技能。9、教材体系：就是教学内容安排所展现的知识的序列及各知识之间的相互联系，是数学科学知识体系经教学法加工而得到的学科知识体系。10、螺旋排列式：是针对学生的接受能力，按照繁简、深浅、难易的不同程度，使一科教材的基本概念和基本原理分层次地重复出现、逐步扩展螺旋上升的排列方式。11、直线排列式：是一科教材内容采取环环相扣直线推

12、进不予重复的排列方式。这种方式的优点是能避免不必要的前后重复，节省时间，提高效率。12：过渡排列式是为跨入新学段和升入高年级的学生学好新知识、掌握新方法而适当提前安排有关奠基内容的排列方式。13、教学原则是指导教学活动的基本原理，是客观教学规律的主观反映，是所有教学规则的统一整体。14、教学原则与教学规律的联系在于：科学的教学原则是教学规律的反映。我们的教学原则是根据不依人们的意志为转移的客观教学规律制定出来的。15、教学原则与教学规律的区别在于：教学规律是不依人们意志为转移的客观存在，是教学活动中内在的本质的必然的联系。例如，复习教材就可以巩固知识，这是一条教学规律，不管我们是否愿意遵循,它

13、都是客观存在的。我们对教学规律只能发现、掌握和利用，决不能臆造和违背。然而，教学原则是由人们自己制定的，可能部分或者完全符合教学规律,也可能根本不符合教学规律。16、教学原则与教学规则的联系在于：教学原则总是借助于一定的教学规则来实现的，没有一定的教学规则，教学原则也就变成了a空洞的东西。17、教学原则与教学规则的区别在于：教学规则是教学原则的组成部分和具体细节，它的任务是阐明某一个教学原则的某一方面的指导原理。每一方面的每个教学原则都包括一系列具体的教学规则。18、数学学科的严谨性与数学教学的可行性相结合的原则（一）严谨性，是数学学科理论的基本特点之一。它要求数学概念必须严格地加以定义，即使

14、是那些最基本、最常用，而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念,除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定。它要求数学结论必须准确地表述，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。可以说，整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。我们这里提出的“数学学科的严谨性要求”，是指在数学教学中，教师安排教学内容、讲授数学知识时,应该根据数学学科理论的基本特点，使学生在理解、掌握、运用这些知识时能满足严谨性的要求。数学学科的严谨性和数学教学的可行性这对矛盾的双方都是具有相对性的。其实，它们总是在“对立一统一”的不同层次的循环运动中发展的。显然，严谨性是矛盾的主要方面，因为它是数学教学的

15、教学目的之一。因此，严谨性可以主导矛盾运动的发展方向，只要抓住矛盾的主要方面,对严谨性要求加以适当调整,做到保证数学教学内容的科学性,有利于发展学生逻辑思维能力，适应学生现有知识和能力的水平，是可以形成严谨性要求与可行性相统一的良性循环的。即严谨性不断提高，可行性也不断增强。这样才能发挥教师的主导作用和学生学习的自觉性和积极性。（二）数学学科严谨性与数学教学可行性相结合原则的贯彻（1）明确要求，谨慎处理。现行教学大纲和教材对中学各部分数学内容在严谨性方面的具体要求，都有一定的反映。教师必须深入钻研大纲、教材，明确各部分内容对严谨性的要求程度,在教学中参照施行。不宜随意提髙要求，也不宜降低要求。

16、尤其是对于那些鉴于中学生认识发展的特征而降低了严谨性的内容，或者说只有阶段性的相对严谨性的内容,教学处理必须谨慎,一定要设法向学生讲清这些内容还有欠缺，还有发展的必要，只是当前尚未深入。比如，锐角三角函数的教学，开始是利用直角三角形的边长之间的各种比给出，但是必须指出：锐角三角函数是随角的改变而变化的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，决不能使学生误认为锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比。（2）从开始抓起，持之以恒。从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提出明确的要求。首先要规范数学用语。数学概念也好，数学定理也好，不仅要懂得其内涵，了解其外延，还要用规范的数

17、学术语或数学表达式表示出来。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使用数学语言。这种严谨性要求，随着中学数学教学的发展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深,抽象程度也越高,相应地严谨性要求也越高。教师应该采取适当的措施，使学生尽快地适应这种发展，以形成习惯。为此，教师应该持之以恒，并以身作则。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。（3）要求学生周密思考、言必有据。周密思考,就是要全面地思考,不要遗漏，从而体现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型

18、例题，强调“言必有据”。譬如，在几何证明题中,要求学生在练习时,每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。（4）改革中学数学教学内容。数学教育工作者们普遍认为，要想很好地解决严谨性与可行性的矛盾，促成这对矛盾形成良性循环，必须从早抓起。但是，历来的中学数学教材在低年级阶段,对严谨性要求太低,，而到高年级阶段又从严要求，学生一时难以适应,教师也不易把握分寸。尤其是代数、几何两门课在低年级对严谨性的要求有很大的差异。如何改革中学数学教学内容，如何提出适度的严谨性要求的标准，如何处理那些不具备严谨性要求而又必须引用的数学知识，以维持教学可行性的问题等，是我们在贯彻数学学科的严谨性与数学

19、教学可行性相结合原则时必须研究的课题。对此，必须加强探索和改革的力度。19、数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合的原则（一）数学的抽象性，是数学学科理论的基本特点之一。本来现实世界的客观对象是非常具体的。但是，数学是将客观对象的所有其它特性抛开，而只提取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究。因此，数学具有比其它学科更显著的抽象性。然而任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。抽象程度越高的数学概念，概括性越强，越是能代表更广泛的具体对象共有的属性。数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下

20、子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相对性。（二）数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合的理论基础由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定。数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相对性。另一方面，中学生尤其是低年级中学生对具体对象的直观性有很强的依赖性，或者说中学生抽象思维有一定的局限性。事实上，引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；教学要从具体

21、对象入手，适时地上升为抽象理论,然后又及时地把它概括到更丰富、更广泛的具体对象上去,学生就会逐渐突破其抽象思维不强的局限性,从而适应数学概念的抽象性，并逐步提髙抽象思维的能力。由教学过程与认识过程的共性和特殊规律所决定。教学过程就是学生认识与掌握知识的过程，教学过程与认识过程基本上是一致的，教学过程不过是前人对知识认识过程的快速的、科学的重演。因此，教学过程必须以科学的认识论为基础。另一方面,教学过程也有与认识过程相区别的特殊性。教学过程最主要的特点在于，它是传授间接知识或书本知识的有效途径。教学过程与认识过程之间存在着间接知识与直接经验的矛盾。为了解决这对矛盾,必须坚持抽象与具体相结合的原则

22、，才可能使抽象的理论具体化，间接知识直接化,理论知识实际化。由人的两种信号系统协同活动的规律所决定。所谓第一信号系统,是以外界具体的对象、现象为客观刺激物，直接作用于各种感觉器官，引起反射的系统，这是人与一般动物所共有的；所谓第二信号系统，是以语言作为剌激信号，引起神经反射的系统，这是只有人类才有的。人的第一和第二信号系统永远是协同活动和相互作用的：第二信号系统是在第一信号系统的基础上形成起来的，第一信号系统又经常受第二信号系统支配和调节。另一方面，第二信号系统的言语又有直观性要求的生理机制。言语直观是通过教师有意识组织的言语来恢复学生大脑皮层中已建立的暂时联系或唤起学生同时性、相似性和对比性

23、的联想,并借此促使学生迅速地形成新的暂时联系或开辟新的神经通路。这便是抽象性与直观性相结合的真谛之所在。第一、第二信号系统在不同年龄阶段，还具有不同的发展特征和规律，这是我们正确地坚持抽象与具体相结合原则的重要根据。（三）数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合贯彻（1）直观教学注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。这些感性知识越完善、越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利、越牢固。直观教学必须注意以下几点：实物直观、模型直观、图形直观教学，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；

24、直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务，为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为基础，使其再现并重新组合，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力,但切忌“八股调”和矫揉造作的手势，以及各种语病。（2）数形结合可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法

25、。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化,有利于分析、发现和理解它们。（3）注重观察对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。（4）重视教学手段改革运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学手段现代化,也是贯彻抽象性与直观性相结合教学原则的重要途径。20、数学理论与实际问题相结合的原则（一）紧密联系实际，讲授概念、公式、原理、法则，加强理论基础的教学。为了让学生能真正理解、掌握基本理论知识，又必须联系实际，从具体事物和现象入手。例如,引入有理数概念，尤其是正

26、、负数概念，可以结合“表示零上5度和零下5度的气温”、“表示东行10千米和西行10千米”等实际问题。将抽象的数学概念、定理与实际问题相结合地引入讲授，一方面可以逐步培养学生抽象思维的能力，既体现了理论源于实践，又符合认识论的规律；另一方面可以向学生讲明抽象的理论对实际问题的指导意义和应用价值,激发学生学习基础理论的积极性，克服盲目死记硬背的弊端。紧密联系实际，指导学生参加教学实践和社会实践，切实搞好基础理论教学和基本技能训练。我们知道，数学学科知识是人们的主观对客观世界的反映，只有通过实践这条联系主观与客观的纽带，才能使理论知识转化为实际技能。在课堂上，教师在讲授了必要的数学基础知识之后，可以

27、让学生进行观察、实验、制作等实践活动，或者解答具有实际意义的问题。例如,讲过平行线、异面直线等概念，可以让学生在日常生活和周围环境中寻找属于这些概念的相应的实际对象；讲授了直角尺求圆直径的方法后，可以让学生自己动手自制一个直角尺，并实测几个圆的直径。解答具有实际意义的问题，能广泛地用来引导学生将数学论与实际问题相结合。这类问题可以学校或社会各个方面。可以是真实的、具体的，也可以是模拟的，形式也是多样的。不断地改进现有教学内容和教科书，加强中学数学与实际的联系。为了适应社会进步和科学发展，数学教学内容必然要不断地更新。例如，微积分初步、概率统计初步等纳入中学数学教学内容，是应该坚持、发扬的重要举

28、措；又如，中学数学教学应注意与其它学科的教学紧密配合。现代数学内容、数学思想和数学方法也要结合实际问题，编入中学数学教科书。现行中学数学教科书中确实充实了不少现代数学内容，其目的之一就是提高中学数学的实用性。所以讲授这些内容时，还必须注意加强这些内容与实际问题的联系，才能达到目的。例如，引入集合概念之后，就应当引用文氏图来示意，并随即用于解决一定数量的涉及集合之间关系的实际问题。（二）在贯彻数学理论与实际问题相结合的原则时，必须注意以下几个问题。（1）数学理论与实际问题相结合要从学生的实际出发，不要为了结合实际问题而结合实际问题。比如，有些数学理论学生早已熟练地掌握,教师就没有必要一定让学生到

29、实际中去观察;而有些内容是学生根本无法接触到又难于理解的实际问题，教师也没有必要硬讲给学生听。（2）数学理论与实际问题相结合要从数学学科的实际出发。数学理论有很强的逻辑性，构成了独立的系统，并不是每一章每一节每一个概念都可以联系实际问题。比如，对数理论在计算上有实用性，但其概念本身却不易结合实际问题。所以，教学内容暂时不便结合实际问题时,不必勉强。（3）数学理论与实际问题相结合，是为了提高教学质量，强调与实际问题相结合，并不等于忽视或削弱理论知识的讲授。如果为了结合实际问题占用了大量的教学时间，而少讲或不讲系统的理论，那就不妥当了。（4）贯彻数学理论与实际问题相结合的原则，要求教师对数学知识及

30、其应用都比较熟练，做到有目的、有计划，胸中有数；教师所举的实际问题应该具有典型性、思想性、科学性、鲜明性和适当性。否则，举例不当，讲解不清，反而冲淡了理论的价值，降低了教学质量。21、巩固知识与发展能力相结合的原则（一）巩固知识与发展能为相结合的意义。能力的发展,应用是核心，应用的熟练程度，标志着能力的高低。显然，这里的熟练程度又取决于知识的巩固程度。所以，要想发展能力，必须先巩固知识。应用又是一个由认识到行动的过程。在行动过程中，知识可以获得确认或检验,这不仅能巩固已学的知识,甚至还能获取新的知识。可见，应用过程本身也是知识保持的过程。所以，要想获取巩固的知识，必须将知识付诸于应用。巩固知识

31、与发展能力之间具有这种相辅相成的依赖关系，在数学教学中，我们倡导贯彻巩固知识与发展能力相结合的原则（二）巩固知识与发展能力相结合原则的贯彻遵循记忆的规律，巩固所学的知识。通过加深理解，增强识记和保持。理解就是掌握数学对象的本质特征及其相互关系。加深理解，掌握了各种相关知识之间的联系，又更容易使记忆保持。例如，四类象限角的各种三角函数值的符号，除了从定义出发进行理解之外，还可以借助单位圆直观地帮助学生加深理解。通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。经过归纳整理过的信息，加以类比，引起联想,这个提取的过程也就很容易实现了。例如，学习不等式时，可以将不等式与等式的相应概念和性质，进行归纳、类比，使已

32、学知识系统化;学习相似三角形时,可以将相似三角形与全等三角形的定义、判定、性质，进行归纳、类比。掌握遗忘的规律，复习所学知识。要想提高记忆效率，巩固所学知识，就必须克服遗忘。组织科学的复习，是克服遗忘的有效手段,也是巩固记忆的基本途径。复习的周期和时机对遗忘先快后慢、先多后少的规律，我们应该将复习的周期控制成先短后长，复习的力度控制成先强后弱，或者说复习的次数先多后少。复习的时机，应该选择在所学知识即将遗忘、印象模糊、再认和再现有一定困难时，及时复习。复习的方式要多样化，要使复习旧知识而有新鲜感，形成强烈的刺激、反应。也就是说在复习时不是简单的重复，而是每复习一次，提出一次新的要求，上升一个新

33、的知识层次。巩固知识着眼于发展能力。巩固知识的关键在于组织学生复习，巩固知识必须着眼于发展学生分析问题、解决问题的能力。能力的发展，是需要训练的。那么就要求我们在复习、训练两方面下功夫，使复习与训练有效地配合起来。这样不仅达到了发展能力,同时又有利于巩固知识。基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练，用以促使学生知识整体结构向系统化方向发展,提高他们掌握、应用所学知识的能力。例如，将复数的基础知识系统化,概括成框图。这样，可以将复数与复平面、平面向量、平面直角坐标系与极坐标系、三角函数概念、参数方程、平面点集等知识都沟通了。综合知识的复习,要有计划、有步骤地进行题组训练。这样的复习

34、题组,要具备代表性、综合性、渐进性,还要有一定梯度,题组间要求具有配合协调性。22、数学学习：是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介，自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理，形成数学活动的经验，发展数学技能与能力的过程。23、机械学习：是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。24、有意义学习：指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表的数学知识，并能融会贯通。25、接受学习：是指要学习的全部数学内容是以定论的形式呈现给学习者的，这种学习不涉及学习者任何独立的发现，只需要他将所学的新知识与旧的知识有机结合起来，即内化，以便以后的再现和运用。2

35、6、发现学习：是指一般只提出问题或提供背景材料，主要内容要有学生自己独立发现。因此，发现学习的主要特点是：不把学习的主要内容提供给学生，而是由学自己独立发现，然后内化。27、数学认知结构：的形成依赖于外在的数学知识结构和学习者内在的心理结构，它是学习者通过教师所激发起来的心理结构作用于外界的数学知识结构而形成的一种内在的知识结构。数学认知结构大体上由以下要素构成：内化了的数学理论；内化了的数学技能；数学活动的经验。28、同化：学生在学习数学时，总是以原有的数学认知结构为依据对新知识进行加工。当新知识能与原有的数学认知结构中适当的知识相联系，那么通过新旧知识的相互作用，新知识被纳入原有的数学认知

36、结构之中,从而扩大了它的内容，这一方式称为同化。29、顺应：若新知识在原有的数学认知结构中没有适当的知识与它相联系，则就要对原有的数学认知结构进行改组，进而形成新的数学。30、有意义学习的实质：从认知结构的观点来看，有意义学习的实质，就是符号所代表的新观念（指概念、原理等)与学习者认知结构中已有的适当观念之间建立起实质性的和非人为的联系。（一）有意义接受学习的条件是：数学理论具有潜在意义。即数学理论本身具有逻辑意义，并且学习者认知结构中又具有适当的知识基础。学生具备有意义学习的心向。即学生有积极主动地把新材料与认知结构中原有的适当内容加以联系的倾向性。内化过程是有意义的。即对呈现的数学理论不仅

37、在认知结构中进行“登记”，而且考虑它的逻辑依据,使新知识与旧知识发生联系，最后还要寻求获得这一理论的思维过程,即新理论要转化为个人参照系，使之与本人的数学认知结构趋于和谐。另外,在数学理论获得的同时,形成一定的数学技能。（二）有意义发现学习的条件是：问题具有潜在意义。即数学认知结构中的理论知识对解决面临的问题是充分的。学生具有有意义学习的心向。解决问题的过程是有意义的。即：解决问题的手段是通过一个积极主动的探索过程获得的，而不是依靠强化训练所形成的机械操作模式获得的。内化过程是有意义的。即：对发现学习中所涉及的所有知识、技能、活动经验加以内化；对发现学习中得到的新的数学理论、技能和数学活动经验

38、加以内化。31、概念同化：一种以定义的形式给出，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义,从而获得新概念。这种获得概念的方式叫做概念同化。概念同化心理过程要把新概念的本质属性与原有的认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的限制，并能从原有概念中分离出来；要把新概念与原认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中，以便于记忆和应用。例如，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形”，这时学生要主动积极地与自己认知结构中原有的概念(平行、四边形等)联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中特殊的一类，从而明确它的内涵和外延；接着与原有的概

39、念(如平行四边形等）区别开来，并相互贯通组成一个整体,纳入原有的概念体系(四边形)之中；最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。32、概念形成：一种通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念形成。概念形成心理过程是：辨别同类事物不同的例子，抽象出各例子的共同属性；提出它们共同本质属性的各种假设并加以检验;把本质属性与认知结构中的适当知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来;把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延;扩大或改组原有的数学认知结构,从而发展数学

40、认知结构。例如，初中学生学习变量和函数这两个概念，是处于初次接触变量数学的内容,所以这两个概念都可以用概念形成的方式让学生获得。如函数概念的学习，一般可采用如下步骤：第一步，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式：以每小时40千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间；用表格所给出的某水库的存水量与水深；由-某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间；任何整数的平方运算中,底数与它的二次幂。第二步，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。学生经过多次分析比较后可知：一个变量每取一个确定的值,相应地另一个变量也唯一地确定一个值，这是函数的本质属性；同时，前一个变量取值范围的限制，也

41、是它们共同的本质属性。第三步，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正反面的例子。如在任意正数开平方运算中，被开方数与平方根y(写成这里x与y这两个变量就不是函数关系。第四步，在以上几步的基础上，抽象、归纳、概括出函数定义。第五步,通过练习、习题等的解答,加深对函数概念的理解,建立起新的数学认知结构，以利于进一步的学习。33、影响掌握概念的因素（1）经验与抽象概括能力。概念的获得依赖于学生有关的感性材料、经验和抽象概括能力。如果学生缺乏这方面的经验，教学时就要采用实物、模型或举例等方式弥补。值得注意的是，举例时要区分日常用语中有一些词的含义与数学概念不一致的地方，以免发生混淆。例如

42、，几何中的垂线与日常用语中的“垂线”（实指铅垂线)是不相同的，但有的学生却误用他的经验认为两者相同，只承认自上而下方向的直线是垂线。如果学生抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性，不能明确概念的内涵和外延。例如会出现如下错误：|a|=a；直角三角形的直角边上没有高等。这就要求有计划地发展学生的抽象概括能力。（2）本质属性与非本质属性。我们知道，概念的本质属性越明显，学习时就容易掌握；反之，非本质属性多而又明显，则就难于学习。因此,采用适当的方法，突出本质属性，是有利于概念学习的。如教学时,常常用加重语气等方式，突出概念的本质属性，让学生易于掌握;有时直接指出哪些与定义无关的非本质属性，例如三

43、角形的垂心,有的学生往往认为只有三角形三边上的高的交点在其形内时才称为垂心，把非本质属性(交点的位置)误认为本质属性。因此及时指出非本质属性，有利于突出本质属性和概念的正确掌握。（3）变式。要理解一类事物的共同本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的事物(概念的肯定例证)或不具有该本质属性的事物(概念的否定例证)的分析来获得。例如，曲线的切线这一概念,有的学生往往认为切线是与曲线只有一个公共点的直线，这时可举出否定例证:“抛物线的对称轴与这个抛物线只有一个交点，但它不是切线”，说明“只有一个公共点”不是曲线切线的本质属性，学生就容易理解。理解概念常常利用肯定例证，这时“变式”具有重要意义。所

44、谓变式就是指概念的肯定例证在非本质属性方面的变化。如函数概念，学生往往误认为只有“变量y随x的变化而变化y才是x的函数”，把非本质属性y随y的变化而变化”作为本质属性，扩大了概念的内涵，这时可以举出肯定例证(x0)。从两者可知，“对定义域中的每一个x的值,y都有唯一确定的值与它对应”,这才是函数概念的本质属性。因此利用变式有利于纠正学生错误的认识。34、数学定理公式的学习（1）探究发现式：探究发现式是学生通过探索，提出并论证假设，从而获得定理公式及其意义的一种学习模式。其心理过程一般是这样的：学生利用认知结构中已有的经验，对信息进行分解与组合，从而提出基本假设。运用数学语言正确表述假设，并探索

45、证明假设的途径，认识命题的逻辑意义。把证明为真的假设(定理公式)纳入原认知结构中,扩大或改组认知结构，以获得心理意义。通过定理公式的应用、对定理公式的探索及证明的思想方法的总结以及定理公式的各种变形来进一步优化认知结构。（2）同化式：同化式是学生把呈现的定理公式及其推导证明直接同自己的认知结构相联系,从而掌握数学定理公式的学习模式。其心理过程为:他要对定理公式的条件、结论进行分析，以明确它的逻辑意义和数学解释。理解并总结定理公式证明的思维过程、逻辑推理形式及表达格式。要把新定理公式与原认知结构中的有关内容融合在一起，纳入认知结构之中。35、数学技能的学习（1）技能：是指顺利完成某种任务的自动化

46、的外部操作活动方式或心智活动方式。（2）动作技能：即外部实际操作活动的方式。例如用圆规、直尺等工具画图、查表、使用计算工具等都是动作技能。分为三个阶段，一是掌握局部动作阶段；二是初步掌握完整动作阶段。三是动作协调和完善阶段。（3）心智技能：即按一定的合理的、完善的方式进行的心理活动方式。例如,运算、推理论证技能等都是心智技能。分为如下几个阶段：一是掌握心智活动各环节的活动方式。二是心智活动的各环节逐渐联成一个整体,且内部语言趋于概括化和简约化，运算或推理逐渐简缩。三是心智活动熟练化、自动化。数学技能的形成是学生练习的直接结果，其途径有两条：（1）是伴随着数学理论的获得而形成数学技能;（2）是在

47、综合应用数学理论过程中形成数学技能。36、数学思维：就是以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。37、形象思维：是指凭借事物的形象或表象进行联想或想象的一种思维形式。所以，形象思维的物质基础是事物的形象或表象,而它的运动形式则主要是联想与想象。形象思维不但对数学研究而且对数学学习都有十分重要的意义：（1）形象思维与抽象思维一样，同是整个思维结构中的一个层次。数学虽以其抽象性而著称，数学思维也突出地表现为抽象思维,但数学毕竟离不开形象思维，它是人们赖以建立和理解数学概念的基础,是数学思维上升为抽象思维所必不可少的环节。因为在数学科学的演绎体系中，从

48、原始概念到命题、结论，无一不是从具体事物中抽象出来的理想事物。显然，对理想事物的感知,纯逻辑、纯抽象不能解决全部问题，但形象思维在其中起着应有的作用。以图表为例，在数学中，图不仅是研究的对象,而且也成为重要的数学语言，是对数学进行思维表达的一种工具。用图形表现数学内容能化抽象为具体，化深奥为浅显,用图作为思维材料,易懂易用。（2）形象思维对数学知识的识记、保持和运用也十分有意义。学生能理解数学理论抽象意义当然重要，但若还能把抽象的知识，通过形象思维，转移到自己熟悉的、浅显的直观事物中去，那么，不但使知识的保持更加容易和稳定，而且被保持的抽象知识因具有丰富的直观背景而变得更容易提取和运用。（3）

49、形象思维中的联想和想象是创造性思维的重要成分。联想在性态上是发散的、多层次的、多方闻的，它除了具有创造性思维的发散性、能动性、创造性等一般特性外,还具有触发性。联想常常使我们能借助于明显的形象或表象产生“触景生情”、“觖类旁通”的效果。想象则更为重要，想象具有补充思维链条的功能，因为仅仅依靠材料提供的事实，难以抅成对事物的整体认识，而想象则可驰骋于这些事实和材料之间,发挥其特有的作用。因此，形象思维应引起我们足够的重视。38、抽象概括：就是在研究乱标的指导下，揭示出某类部分对象的本质属性，并把这些对象的共同本质属性联合起来，然后合理地推广到同类对象的全体，形成关于该类对象的一般性认识的一种思维

50、形式。39、函数思维的特点在于对数学对象与其性质之间的一般和个别的相互关系的动态认识，这种认识鲜明地体现在函数思想之中。函数思维这种思维形式应包括变量思维与对应思维。变量思维的特点是：从运动变化的观点去把握数学对象;运动变化地看待因果关系，从运动变化中去把握数学对象的不同侧面。对应思维有两个层次：把握某一数学过程中变化着的各量之间的对应关系，如把所研究的对象间的联系，用数学关系（公式、表格、图象等）表示出来；把握不同集合之间的对应关系，这是对应思维的高级形式。40、逻辑思维：是指脱离具体形象，按照逻辑的规律,运用概念、判断、推理等思维形式所进行的思维。41、直觉思维：是指未经过一步步的逻辑分析

51、或无清晰的逻辑步骤,而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维。42、收敛思维：又叫求同思维或集中思维。它是指由所提供的条件或事实聚合起来，朝着一个方向思考,得出确定的答案，即它的思考方向是趋于同一。43、发散思维：又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发,从各个方面思考,产生出多种答案,即它的思考方向是向外发散的。44、正向思维与逆向思维：是指在思考数学问题时,可以按通常思维的方向进行，也可以采用与它相反的方向探索。45、再现性思维：也就是一般性思维，它是运用所获得的知识经验，按现成的方法或程序去解决问题的思维，它的创造成分少。46、创造性思维：是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出

52、新答案、发现新关系或创造新方法的思维。47、思维的特点（1）思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题,善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法,或扩大解题中得到的结果的适用范围，或将其推广到类似的问题中去。因此,思维的广阔性也称为思维的概括性。例如，学生在求解“过抛物线的焦点F作一条直线,交抛物线于A、B两点。设P为拋物线的焦点参数,且AF=m,BF=n,则1/m+1/n=2/p”时，能用多种方法来证明，包括从抛物线的定义出发，利用平面几何知识来证等，并能推广到椭圆、双曲线情形，且作出相应的证明。这表明学生思路宽广,

53、思维不停留在解析几何中常用的各种方法上，还引用平面几何知识证明；思维也没有在证明了该题后止步，还思考着应用同一思想方法试着对椭圆、双曲线会有什么结论。（2）思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题,善于从复杂的事物中把握住它的本质,而不被一些表面现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的”，特别要在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。例如在概念学习中，要分清一些容易混淆的概念,如正数和非负数、方根与算术根、充分条件与必要条件等；在公式、定理、法则的学习中,要完整地掌握它们(包括条件、结论和适用范围)，领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解。（3）思维的灵活性表现在能

54、对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时地调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。（4）思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否;喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。因此，在教学中要待别注重培养学生乐意进行各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考；找出问题所在的良好习惯（5）思维的独创性表现在能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法。我们在日常教学中，要培养学生独立思考的自觉性和习惯，

55、教育他们要勇于创新、敢于突破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和解法,使他们逐步具有思维独创性的良好品质。48、数学思维发展的年龄特征（1）直观行动思维 （2）具体形象思维（3）经验型抽象思维 （4）理论型抽象思维49、中学生数学思维发展的特点（1）数学思维发展的趋向。由具体形象思维占优势逐步发展到理论型抽象思维占优势。抽象性成分越多，那么思维就越具有预见性，思维活动中的自我意识和自我控制与调节能力就越强，这样，学生思维活动的主动性也相对加强,思路更清晰,判断更准确，并由此发展直觉思维。(2)数学思维的最近发展区。由思维发展的趋向可知，任何一个层次的思维必有最适合于它发展的阶段，这一阶

56、段即称为这一思维的“最近发展区”。最近发展区是数学思维发展的关键,也是我们设计教材结构和教学过程的重要依据之一。(3)数学思维发展的关键期。思维发展并不是直线上升的，而有一个从量变到质变的过程。与最近发展区相联系，那么，任何一个层次的思维必有一个质变过程，这一时期就是其发展的关键期。一般说来，中学生数学思维发展有两个主要的关键期：其一是在初中二年级,表现为从经验型思维向理论型思维的转化。在此期间，思维的方式、方法和品质都处于一个新的转折点；抽象、概括、逻辑推理等都处于迅速发展之中，前后有着明显的差异，因此初中二年级往往是产生学习分化的一个焦点。这时平面几何的教学，特别是其人门教学，具有全局性的

57、意义。二是在高一到高二年级,学生的思维逐步成熟，思维的方式、法和品质等趋于稳定，可塑性变小。而在此之前，其变动性与可塑性较大。故在此之前是思维优化发展的关键期。因此，在数学教学中必须抓紧成熟期前的函数、三角和立体几何的教学，及时促进思维的优化发展。50、发展数学思维的教学途径（1）注重非智力因素的培养。非智力因素对数学思维的发展有着强烈的影响、从培养人才来看,只有智力因素与非智力因素的协同发展,才会产生高的创造效应。数学学习是一项艰苦的脑力劳动，它受意识的支配。在学习中要有直接推动学生学习的一种动力，即学习动机。学习动机有内部动机和外部动机。在学习数学过程中，还会遇到各种困难，因而还需要学生在

58、学习中坚定信心，认真对待困难,战胜困难，以获得知识、技能和能力。还要注意培养学生的自信心和勤奋的态度。（2）注重恰当引导。引导学生全面熟悉问题情境，使外部问题情境与学生内在经验发生恰当冲突。这种冲突表现为既使学生领会了整个问题情境，又使学生就处于“愤悱”状态，自觉地产生一种主动探索的意向。在学生处于“愤悱”状态之后，教师就应当推迟判断，而让学生进行积极思维。在学生的积极思维过程中，教师应对学生的思维进行恰当的调节，这种调节主要是通过教师对学生思维过程中发出的信息的恰当反馈来进行的。通过教师的反馈来引导学生不断地进行评价，不断地调整着思维的方向。教师的反馈恰当与否，主要在于教师的反馈信息是起到激发和引导学生的思维的作用，还是直接地代替学生的思维。因此，教师的反馈多