2020年高考江苏版高考数学附加题部分专题十六曲线与方程

1、O核心考点IIU将片的母段方程：之点上下直才的对的i士鹏与物物蛇的佗置鼻鼠思路分析L他胞税的标族方程口有,个奉依，教R雷了果据口靓点山熊点嗓标营间求出心物域的时殖工疗C做打？V芦睢了 TPJV舜与中点O方法总结联触标用用3.可L访山掰世他胤I.W坐慑法耐向锥曲同即旦调©命嚣特点,到迹匕锻件附加膻的两午史映明中栗理 制鼠的可陆性不大.臣哂关注M林的求 他方法即可一2,亶嶷，H物线的位置关系主要渺他相交 号鼻亶花.以中白II及三前华的闿帜等一几何的核心，同防也需要茬网所蒯耳 ttff,泣形靠合衙克.幺求舞教的取他也里iff要堂，门都一小； 来求第金值.也可以根据不等关系建 小等式求晚附加

2、题部分专题十六曲线与方程挖命题【真题典例】1加伸江苑 a 1。分)如叫并平面宜角堂麻曲如礼已知直线也十 2=0,阳朔£>=知户0).(»石直战/过抛物线幽魂点.求效物线函方程1(2 I已知抛物线C上存在美于国U对称的相异阚点加1口4求证，蹬醛现，的中点依标为(1-P.-P 2求P的取侑范囿【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题不例考向关联考点曲线与方程轨迹方程抛物线1.抛物线的标准 方程及几何性质 2.直线与抛物线 的位置关系2016 江苏,221 .抛物线的标准方程2 .直线与抛物线的位置关系点关于直线的对称分析解读由于江苏卷附加题的题型固定，分值固定，两个必

3、做题中圆锥曲线与方程出现的频次较低，分别在2009年和2016年出现在解答题的第 22题，属于中档题.本节主要考查的内容是求轨迹方程、抛物线标准方程的求解、抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系以及用坐标法研究圆锥曲线的性质等破考点考点一曲线与方程1 .已知圆Ci：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3) 2+y2=9,动圆M同时与圆 Ci及圆C2相外切，求动圆圆心 M的轨迹方 程.解析 如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于点 A和点B,根据两圆外切的充要条件彳导|MCi|-|AC i|=|MA|,|MC 2|-|BC2|=|MB|.因为 |MA|=|MB|,所以 |MC2|-|M

4、C i|=|BC 2|-|AC i |=3-i=2.这表明动点M到两定点C2、Ci的距离的差是常数2.x2=i(x «i).根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离远，到Ci的距离近，且a=i,c=3,则b2=8, 设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为2 .已知x轴上一定点 A(i,0),Q 为椭圆一+y2=i上一动点，求AQ中点M的轨迹方程解析设 Q(x0,y0),M(x,y),M是AQ的中点，：?-,Q为椭圆一+y2=1上的点,.一+=1,+(2y)2=1,即- +4y 2=1,:点M的轨迹方程为-+4y2=1.3 .(2019届江苏海门中学调研)已知三

5、点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点 M(x,y)满足I +1=(+)+2.(1)求曲线C的方程；点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求4QAB与APDE的面积之比.解析(1)=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),+=(0,2),I +|=(+)+2,-=2y+2, .x=4y.;曲线C的方程为x2=4y.设 Q 一，则 S&ab=2-,y=-, ; y'=x, ：i=-x0,:切线l的方程为y-1=x0(x-x0),设

6、l与y轴的交点为 N,易知N - ,|PN|=1-.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,-由得xd=,得xE=SZPDE=-|XD-XE| |PN| = 1,/QAB与APDE的面积之比为 2： 1.考点二抛物线1.(2019届江苏常州滦阳中学调研)已知动圆P过点F -且与直线y=-相切.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹 C于A,B两点，轨迹C在A,B两点处的切线相交于点N,M为线段AB的中点.求证:MN ±x轴.解析(1)根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2=y.证明：设A(xi, ),B(x2,)，因为y=x2，所以y

7、'=2x,所以AN,BN的斜率分别为2xi,2x2，故AN的方程为y- =2x i(x-x 1)，即 y=2x ix- ,BN 的方程为 y- =2x 2(x-x2)，即 y=2x 2x-,-联立两式相减，得xn=，又xm=,-所以M,N的横坐标相等，所以MN±x轴.2.(2018江苏江阴南菁中学调研)如图，已知直线l:y=2x-4与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,T(t,0)(t>0且tR)为x轴上任意一点，连接AT,BT并延长与抛物线 C分别相交于点 A1,B1.设A1B1斜率为k,求证:kt为定值；(2)设直线 AB,A1B1 与 x 轴分别交于点 M,N,

8、令 Szatm=Si,SZ6tm=S 2, =S3, =S4,若 S1,S2,S3,S4 构成等比数列，求t的值.解析(1)由可得 A(4,4),B(1,-2).设 A1 ,Bi 因为 kAT=,所以一=,- -所以 m2-4t=4m-tm,所以 m(m-4)=t(4-m),所以 m=-t,所以Ai.同理,B1(t2,2t),所以 k=-,所以kt=4,为定值. -_AiBi：y-2t=-(x-t2).令 y=0,得 N ，易知 M(2,0),= 一 =2,所以 S2=Si,-= 一 -=一，所以- -_S4=Si,= - =,ffi以 S3=S i.-因为Si,S2,S3,S4构成等比数列，

9、所以t2=i,又t>0,所以t=i.炼技法【方法集训】方法一抛物线中定值问题的求解方法1 .在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-，过点M(0,-2)作抛物线的切线 MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于B,C两点，与直线OA交于点N.(i)求抛物线的方程；(2)+的值是不是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.解析(i)由题设，知一=-,即p=-,所以抛物线的方程为y2=x.设A(x0,y0),因为函数y=- 的导函数为y'= -所以直线 MA的方程为y-y 0=(x-x。)，因为点M(0,-2)在直线MA上，所以-2

10、-y 0=- (0-x 0).由-解彳导A(16,-4).所以直线OA的方程为y=- -x.直线BC的斜率显然存在.设直线BC的方程为y=kx-2,B(x B,yB),C(x c,yc),N(x N,yN),由得 k2x2-(4k+1)x+4=0,-易知k3，所以 xB+xC =,xBxC=. 由得xN=.- 所以1=2,故+为定值2.2 .如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(2,1),A(x 1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)若/APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值.解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为x2=2py(p>

11、;0),因为点P(2,1)在抛物线上所以22=2px 1,解得p=2,故所求抛物线的方程是x2=4y.(2)证明:由题知kAP+kBP=0,所以+=0, -即+=0, -所以+=0,所以 Xl+X2=-4,所以 kAB=-1.-所以直线AB的斜率为定值.方法二 抛物线中取值范围(或最值)问题的求解方法1 .如图，在直角坐标系xOy中，点P-到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为-.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.(1)求抛物线C的方程及t的值；(2)记d=，求d的最大值.解析(1)抛物线y2=2px(p>0)的准

12、线为x=-. .-.4 - =-,p=-,：抛物线C的方程为y2=x.又点M(t,1)在C上，：t=1.(2)由(1)知,点 M(1,1),从而 m=n,即点 Q(m,m).依题意知直线 AB的斜率存在，且不为0.设直线AB的斜率为k(k 0),A(x 1,y1),B(x2,y2).由得(y 1-y2)(y1+y2)=x1-x2，故 k - 2m=1,： k=,;直线AB的方程为y-m=(x-m).由消去x,整理得y2-2my+2m 2-m=0,:y +y2=2m,y 1 y2=2m 2-m,从而 |AB|= |yi-y2|=2-.:d= =2-，+(1-m)=1,当且仅当 m=1-m,即 m

13、=-时，等号成立.又m= -满足 =4m4m2>0, ：d的最大值为1.2 .已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的相异两点，且满足x1+x2=2.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求"MB的面积的最大值及此时直线AB的方程.解析(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意.当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y=kx+b,将其代入方程y2=4x,得k2x2+(2kb-4)x+b 2=0,：%+x2=2,得 b=-k,;直线AB的方程为y=k(x-1)+ -.AB中点的横坐标为1, ：A冲点的坐

14、标为-，：AB的中垂线方程为 y=-(x-1)+ -=-x+-. AB的中垂线经过点 P(0,2), t=2,得k=-.;直线AB的方程为y=-x-.由(1)知AB的中垂线方程为y=-x+-,:点M的坐标为(3,0), ,直线 AB 的方程为 k2x-ky+2-k 2=0,到直线 AB的距离d= -=,由得一y2-ky+2-k 2=0,贝U y1+y2=-y1y2 =. |AB|= |yi-y21=. Szmab=_|AB| d=4一 -,设-=t,贝U 0<t<1,故 SAMAB=4t(2-t 2)=-4t3+8t,则 S' ZMAB=-12t2+8,由 S' Z

15、MAB=0,得 t=,即当 k= +时,(S /MAB)max=,此时直线AB的方程为3x+ -y-1=0.过专题【五年高考】自主命题江苏卷题组(2016江苏,22,10分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为-，由点一在直线l:x-y-2=0上，得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2

16、)设 P(xi,yi),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点 M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.由消去 x 得 y2+2py-2Pb=0.(*)-因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以yi列2,从而 =(2pf-4X-2pb)>0,化简得 p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±，从而y0=-p.因为M(x0,y0)在直线l上，所以x0=2-p.因此，线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上，所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-

17、2p.由知 p+2b>0,于是 p+2(2-2p)>0,所以 p<-.因此,p的取值范围是-.评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力及推理论证能力.B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一曲线与方程(2017课标全国口理,20,12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:-+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足 =.(1)求点P的轨迹方程；设点Q在直线x=-3上，且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题设 P(x,y),M(x 0,y。),则 N(x0,0),=(x-x

18、0,y),=(0,y 0).由 = 一 得 x0=x,y0=y.因为M(x0,y。)在C上，所以一+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t),=(-1-m,-n), =3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由 =1 得-3m-m 2+tn-n 2=1,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 ± .又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思路分析(1)设出P、M的坐标，利用 =一 得到P、M坐标间的关系，由点M在C上求解.(

19、2)利用向量的坐标运算得 =0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、 交轨法和参数法.考点二抛物线1.(2018浙江,21,15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点 A,B满 足PA,PB的中点均在 C上.设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴； 若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求APAB面积的取值范围解析本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.设 P（xo,yo）,A - ,

20、B -.因为PA,PB的中点在抛物线上，所以yi,y2为方程 =4 即y2-2yoy+8xo- =0的两个不同的实根.所以yi+y2=2y 0,因此,PM垂直于y轴.由（1）可知 -所以 |PM|=-（ + ）-x0=-3x0,|y1-y2|=2-因止匕，zPAB 的面积 S/pab=-|PM| |yi-y2|=（-4x0 ".因为+=1（x 0<0）,所以 -4x0=-4-4x0+4 4,5.因此,zPAB面积的取值范围是-.疑难突破解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中，求某个量（直线斜率，直线在x、y轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等）的取值范围或最值问题的

21、关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量（通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等）的函数，并求出 这个变量的取值范围（即函数的定义域）,将问题转化为求函数的值域或最值2.(2017北京理，18,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,1).过点 -作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质，直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 P(1,1)，得 p=-所以抛物线C的方程

22、为y2=x.抛物线C的焦点坐标为-，准线方程为x=-.(2)由题意，设直线l的方程为y=kx+-(k#0),l与抛物线C的交点为M(x 1,y1),N(x2,y2).由一得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.贝U X1+X2=,x1x2= .因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(xi,xi).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为 .-因为 y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据 根与系数关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示 在设直

23、线方程时，若要设成y=kx+m的形式，注意先讨论斜率是否存在；若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是 0.C组教师专用题组1 .（2018课标全国I理改编,8,5分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为-的直线与C交于M,N两点，则- =.答案 82 .（2017课标全国I理改编,10,5分）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线11,12，直线11与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .答案 163 .（2016课标全国口改编,5,5分）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=-（k>0）

24、与C交于点P,PF卜轴，则k=答案 24 .（2014辽宁改编,10,5分）已知点A（-2,3）在抛物线C:y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 .答案-5 .（2014四川改编，10,5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于 x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则 ABO与MFO面积之和的最小值是 .答案 36 .（2014课标全国口改编，10,5分）设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点，则为AB的面积为 .答案 -7 .（2018北京，19,1

25、4分）已知抛物线C:y2=2px经过点P（1,2）.过点Q（0,1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；设。为原点，=入=g，求证:一+-为定值.解析(1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x,由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k3).由得 k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意 =(2k-4)2-4x k2x 1>0,解得k<0 或 0<k<1.又PA,PB与y轴相交，故直线l不过点(1,-2).从而k

26、六3.所以直线l斜率的取彳！范围是(-8-3)43,0) L(0,1).设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知 x1+x2=-,x1x2= .直线PA的方程为y-2=(x-1). -令x=0，得点M的纵坐标为yM=+2=+2.-同理得点N的纵坐标为yN=+2.-由 =入，=p, 得 入=-yM, R =-1yN.所以-+-=+=+- - =2.-所以-+-为定值.方法总结圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式有关的等式，化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形求得(

27、3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.8.(2018课标全国I文20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；证明：ZABM= ZABN.解析(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=-x+1或y=-x-1.当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线，所以/ABM= ZABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y=k(x-2)(k 项,M(x 1,y1),N(

28、x2,y2),则 xi>0,x2>0.由得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=-,y 1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM +k BN =+ =.将xi = +2,x 2=+2及y1+y2,yy2的表达式代入式分子，可得 -x2y 1+x 1y2+2(y 1+y 2)=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补，所以/ABM=ZABN.综上，ZABM= ZABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略：(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(

29、和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交，利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值；也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离 或点到直线的距离(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件，将直线与圆锥曲线联立，寻找待证明式子的表达式，结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M,N位置的转换性，使直线BM方程缺失，从而导致失分；(2)由于不能将“"BM=ZABN”正确转化为k'BM+kBN=0”

30、进行证明,从而思路受阻，无法完成后续内容.9.(2017课标全国I文20,12分)设A,B为曲线C:y=一上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线 AB平行，且AM IBM,求直线AB的方程.解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 xi%,y 1=,y2=,xi+X2=4,于是直线AB的斜率k=1.-由y=，得y'= -，设M(x 3,y3),由题设知一=1,解彳潺x3=2，于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段 AB 的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.

31、将 y=x+m 代入 y=一得 x2-4x-4m=0.当 z=16(m+1)>0,即m>-1 时,xi,2=2±2.从而 |AB|=|xi-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即 4=2(m+1),解彳导 m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.方法总结(1)直线与抛物线的位置关系点差法：在已知Xi+x2”或y1'+y2”的值求直线l的斜率时，利用点差法计算，在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交，求参数时，一般联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用韦达定理，结合已知列方程求解参数.求弦长时，可通过弦长公式|A

32、B|=|xi-x2|=- 或|AB|=|yi-y2|= -(k 祀)求解.10.(2017浙yX ,21,15分)如图，已知抛物线x2=y,点A 一 一，B - -，抛物线上的点 P(x,y)-过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；求|PA| |PQ|的最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k= -=x-,因为-<x<-,所以直线AP斜率的取彳！范围是(-1,1).(2)解法一：联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xq=.因为 |PA|=- =(k+1),|PQ|=(xQ-x)=- -,所以 |PA| |PQ|=-(k-1)(k+1) 3,令 f

33、(k)=-(k-1)(k+1) 3.因为 f'(k)=-(4k-2)(k+1) 2所以f(k)在区间-上单调递增，-上单调递减，因此当k= 一时,|PA| |PQ|取得最大值一.解法二：如图,连接 BP,|AP| |PQ|=|AP| |PB| cos ZBPQ=( -)=-.易知 P(x,x2)-,贝U =2x+1+2x 2=2x2+2x+ -,=- +- =x2+x+-+x4-x2+=x4x2+x+.|AP|PQ|=-x4+-x2+x+ -.设 f(x)=-x 4+-x2+x+-,贝Uf'(x)=-4x 3+3x+1=-(x-1)(2x+1) 2,f(x)在-上为增函数，在-

34、上为减函数，：f(xmax=f(1)=一.故 |AP| |PQ| 的最大值为-.方法总结在解析几何中，遇到求两线段长度之积的最值或取值范围时，一般用以下方法进行转化.1 .直接法：求出各点坐标，用两点间的距离公式，转化为某个参变量（如直线斜率、截距，点的横、纵坐标等）的函数,再求函数的最值或值域.2 .向量法：三点共线时，转化为两向量的数量积，再转化为动点的横（或纵坐标）的函数，最后求函数的最值或值 域.3 .参数法：把直线方程化为参数方程，与曲线方程联立，由韦达定理转化为直线的斜率（或直线的截距）的函数， 最后求函数的最值或值域.11 .（2016课标全国I ,20,1汾）在直角坐标系xOy

35、中，直线l:y=t（t祀）交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px（p>0） 于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.求;除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由 解析 (1)由已知得M(0,t),P 一 .又N为M关于点P的对称点，故N ,ON的方程为y=-x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解彳# xi=0,x2=.因此H 一.所以N为OH的中点，即=2.直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下：直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t 2=0,解彳导yi=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以

36、除H以外直线MH与C 没有其他公共点.方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为求由直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.评析本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.12 .(2016浙yX,19,15分)如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点 A到y轴的距离等于|AF|-1.求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点 B,过B与x轴平行的直线和过 F与AB垂直的直线交于点 N,AN与x轴交 于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离，由抛物线的定义得-

37、=1,即 p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t加卜± 1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1(s)，由消去x得y2-4sy-4=0, 故 y1y2=-4,所以,B -又直线AB的斜率为一, -故直线FN的斜率为.从而得直线FN:y= （x-1）,直线BN:y=-.所以N .设M（m,0）,由A,M,N三点共线得于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是（。,0） U （2,+ 8）.思路分析 （1）利用抛物线的定义来解题；（2）由（1）知抛物线的

38、方程，可设A点坐标及直线AF的方程，与抛物线 方程联立可得B点坐标，进而得直线FN的方程与直线BN的方程，联立可得N点坐标，最后利用A,M,N三点 共线可得kAN=kAM,最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.【三年模拟】一、填空题（每小题5分洪20分）1 .（2018江苏海安高三阶段测试）抛物线丫2=*的准线的方程为 .答案 x=-2 .（2019届江苏木渎中学阶段测试）已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF 的斜率为.答案 土3 .(2017江苏泰州姜堰模拟，

39、7)抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点 F的距离相等，则点 F的坐标为.答案(1,0)4 .(2019届江苏如皋中学模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点，过P作PAJ于点A,当/AFO=3CT (O为坐标原点)时,尸|=.答案 -二、解答题(共50分)5.(2019届江苏宿豫中学月考)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A(8,-4),P(2,t)(t<0)在抛物线y2=2px(p>0) 上.(1)求p,t的值；(2)过点P作PM垂直于x轴,M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线AM上.若PA,PB,PC的斜率分别

40、为k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求点C的坐标.解析(1)将点 A(8,-4)代入 y2=2px(p>0),得 p=1,将点 P(2,t)代入 y2=2x,得 t= + 2,因为t<0,所以t=-2.依题意得M的坐标为(2,0), 则直线AM的方程为y=-x+-, - 联立可得B -,易求得 ki=-,k2=-2,由 ki+k2=2k3 得 k3=-,从而直线PC的方程为y=-x+-, -联立可得C - - .6.(2017江苏苏州暑假测试)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.(1)求抛物线C的方程；过点Q(1,1)作直线交抛物线C

41、于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求|MN|最小时直线AB的方程.解析(1);,点R(1,2)在抛物线C上，：2p=4,p=2, .抛物缆的方程为y2=4x.(2)显然直线AB的斜率存在且不为 0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为 x=m(y-1)+1(m 3).由消去x,整理得y2-4my+4(m-1)=0.设直线AR的方程为 y=k1(x-1)+2,由得点M的横坐标xM =-又 k1=，:M=-.-=4同理，点N的横坐标xN=1., |y-y1|=一|XM-XN|= =2 - =8 一=2 . -令 m-1=t,t 4,则

42、 m=t+1,|MN|=2 一 =2 一 一-|MN|=2 -> ,当t=-2,即m=-1时,|MN|的最小值为 一,此时直线AB的方程为x+y-2=0.7.(2019届江苏常州一中月考)如图，已知定点R(0,-3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M,使=-，且 =0.(1)求动点M的轨迹Ci;圆C2:x2+(y-1)2=1,过点(0,1)的直线l交Ci于A,D两点(从左到右，交C2于B,C两点(从左到右，求证：为定值.解析(1)解法一：设 M(x,y),P(x 1,0),Q(0,y 2),则由 =0,=- 及 R(0,-3)得化简得x2=4y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线解法二:设M(x,y).由=一得 P - ,Q 一.所以 由 =0 得-,一 =0,即-x2-3y=0,化简得 x2=4y.所以动点M的轨迹Ci是顶点在原点，开口向上的抛物线.(2)由题意得 =AB CD,圆C2的圆心即为抛物线 Ci的焦点F.设 A(x i,yi),D(x 2,y2),贝UAB=FA-FB=y i+1-1=y i,同理CD=y2.易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为x=k(y-i), -由得 y=-k2(y-i)2,即 k2y2-(2k2+4)y+k 2=0.所以 =AB CD=y iy2=i.8.(20i8江苏苏北四市期末