补充张量分析学习教案

1、会计学1补充张量分析补充张量分析第一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。第1页/共59页第二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）衡方程）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长理本质，并且相关表达式冗长 引入张量方法引入张量方法 第2页/共59页第三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。第3页/共59页第四页，编辑于星期日：十九点 五十四分。第4页/共59页第五页，编辑于星期日：十九点 五十四分。A A1 指标符号指标符号),(n21i

2、xi下标符号下标符号 i 称为称为指标指标，n 为维数为维数指标指标 i 可以是下标，如可以是下标，如 xi 也可以是上标，如也可以是上标，如 xi nxxx,21记作记作指标的取值范围如不作说明，均表示从指标的取值范围如不作说明，均表示从13通过指标轮换，用通过指标轮换，用1项表示很多项，简洁！项表示很多项，简洁！第5页/共59页第六页，编辑于星期日：十九点 五十四分。采用指标表示的符号系统称为采用指标表示的符号系统称为指标符号指标符号，一般，一般采用下标采用下标 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxy

3、zyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(第6页/共59页第七页，编辑于星期日：十九点 五十四分。一若干约定一若干约定 哑标和自由标哑标和自由标 1. Einstein求和约定求和约定 凡在某一项内，凡在某一项内，重复一次且仅重复一次重复一次且仅重复一次的指的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为样的指标为哑指标哑指标或或哑标哑标。如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii第7页/共59页第八页，编辑于星期日：十九点 五十四分。

4、重复不止一次的指标，求和约定失败重复不止一次的指标，求和约定失败 求和约定仅对字母指标有效，如求和约定仅对字母指标有效，如 同一项内二对哑标应使用不同指标，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如 3131ijjiijjiijxxaxxaz331234哑标可以换用不同的字母指标哑标可以换用不同的字母指标第8页/共59页第九页，编辑于星期日：十九点 五十四分。2.2.求导求导记号的缩写约定记号的缩写约定 22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k二维问题二维问题 平衡微分方程的指标表示平衡微分方程的指标表示第9页/共59页第十页，编辑于星期日：十九点 五十四分。3.3.自由指标自由

5、指标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如 jijibxaj 为自由指标为自由指标 j=1 1313212111bxaxaxaj=1 1313212111bxaxaxaj=1 2323222121bxaxaxaj=2 3333232131bxaxaxaj=3 j=1 1313212111bxaxaxaj=1 第10页/共59页第十一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。同一个方程中各项的自由指标必须相同同一个方程中各项的自由指标必须相同 不能单独改变某一项的自由指标，但可不能单独改变某一项的自由指标，但可以同时改变所有项的自由指标以同时改变所有项的自由指标

6、12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：第11页/共59页第十二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。二二克罗内克（克罗内克（Kronecker-）符号）符号 定义定义： jijiij当当01由定义由定义 1ijijI333231232221131211100010001特殊的指标符号特殊的指标符号第12页/共59页第十三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA当克罗内克符与其它项连乘时，可作指标替当克罗内克符与其它项连乘时，可作指标替换换第13页/共5

7、9页第十四页，编辑于星期日：十九点 五十四分。性质：性质： ijjijiilkljkijikjkijikjkijjjiiijijiiijijxxxAAAAAAAA,3322113322113第14页/共59页第十五页，编辑于星期日：十九点 五十四分。三三Ricci 符号符号 kjie定义：定义： 共共27个分量，亦称为排列符号或个分量，亦称为排列符号或置换符号置换符号 有两个或三个相同时当的奇次置换，形成当的偶次置换，形成当kjikjikjieijk,0321,1-321,1即：即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee特殊的指标符号特殊的指标符号第15

8、页/共59页第十六页，编辑于星期日：十九点 五十四分。ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 321321322311332112312213kjikjikjikjiaaaeaaaeaaaaaaaaa矩阵的行列式可表示为: 第16页/共59页第十七页，编辑于星期日：十九点 五十四分。 A A2 张量的定义和张量的定义和 代数运算代数运算 ia分量矢量 a标方向的单位矢量） ( 个坐基矢量3 e e e321 33221iiaaaaeeeea1说明说明任意矢量可以表示为基矢

9、量的线性组合任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本运算矢量的基本运算第17页/共59页第十八页，编辑于星期日：十九点 五十四分。(1)(1)点积点积 基矢量点积基矢量点积 )22( A ijjiee 任意两矢量的点积任意两矢量的点积 3)2( A babababajjiiijjijijieeba12投影投影第18页/共59页第十九页，编辑于星期日：十九点 五十四分。1(2) 叉积叉积 基矢量的叉积基矢量的叉积 ekjikjieee第19页/共59页第二十页，编辑于星期日：十九点 五十四分。由于由于 kjkieeeekjki ktt321jie

10、eeeeeeekjitjisjr itsrjjjiiieee321321特别地：特别地： 33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比较：（比较：）第20页/共59页第二十一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。 两个任意矢量的叉积两个任意矢量的叉积 cbaeebababakjikjikjijijiji ceeeeeeebakkkjiji2jiijkkbaec 第21页/共59页第二十二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。(3) 混合混合积积 基矢量混合积基矢量混合积 )(kjikrr jir jieeekrkjiee

11、eee故也有定义故也有定义 )()(kjikjieeeeeekjie1置换符号就是基矢量的混合积置换符号就是基矢量的混合积第22页/共59页第二十三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。 矢量混合积矢量混合积 表示的是以表示的是以 为边长的平行六面体的体积。为边长的平行六面体的体积。 cb,a,2第23页/共59页第二十四页，编辑于星期日：十九点 五十四分。(4) (4) 并矢（并乘）并矢（并乘） 定义：定义： jijieeeeabjijibaba展开共展开共9项，项， 可视为并矢的基可视为并矢的基 ije ejiba为并矢的分解系数或分量为并矢的分解系数或分量 第24页/共59页第二十五页，编

12、辑于星期日：十九点 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e2. 平面笛卡儿坐标系的旋转变换平面笛卡儿坐标系的旋转变换1ee2第25页/共59页第二十六页，编辑于星期日：十九点 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x)2 , 1,( )(jicosj ijie ,e令：cossinsincosj i)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e则：1e2ee21ecossinsincosj i互为逆矩阵互为逆矩阵互为转置矩阵互为转置矩阵第26页/共59页第二十七页，编辑于星期日：十九点 五十四分。)( 21212212211121xxxx

13、xxj i于是： 21212212211121xxxxxxTj i同样：21121 xxxxj i）式得由（1 :j iTj i比较ji为正交矩阵为正交矩阵第27页/共59页第二十八页，编辑于星期日：十九点 五十四分。引用指标符号：引用指标符号：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 互为逆矩阵互为逆矩阵第28页/共59页第二十九页，编辑于星期日：十九点 五十四分。说明说明 1jijieeeej ij i2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律规律jj iijj iivvvv基矢量具有与坐标分量相同的变换规律基矢

14、量具有与坐标分量相同的变换规律第29页/共59页第三十页，编辑于星期日：十九点 五十四分。3. 三维情况三维情况 (三维坐标系旋转三维坐标系旋转)j iij jijieeee 考虑一位置矢量考虑一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxii jjjxxx )(cosije ,ejjiixx第30页/共59页第三十一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。同理同理jj iixx同二维问题，可得同二维问题，可得ikkjj i（正交性）（正交性）可试证：可试证：kik jj i第31页/共59页第三十二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。4. 张量定义张量定义 定义：在坐标变换时，满足如下变

15、换关系的定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量量称为张量 lkjil lkkj ji iijklijklkkjjiilkji自由指标数目自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为，张量分量的个数为3n个，变换式也有个，变换式也有3n个。个。第32页/共59页第三十三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）采用并矢记号（不变性记法或抽象记法） ()ijklijkle e e e可写成上式的量也称为张量（第二种定义）可写成上式的量也称为张量（第二种定义）基矢量的坐标变换符合前述要求基矢量的坐标变换符合前述要求标

16、量：零阶张量标量：零阶张量矢量：一阶张量矢量：一阶张量张量：二阶张量张量：二阶张量第33页/共59页第三十四页，编辑于星期日：十九点 五十四分。讨论讨论 ijk lTTijklTe ee e12上述表达式具有不变性特征；上述表达式具有不变性特征；张量分量张量分量 与坐标系有关；与坐标系有关；ijT3 在坐标变换时遵循相同的变换规律在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT第34页/共59页第三十五页，编辑于星期日：十九点 五十四分。自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）衡方程）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本坐标系的引入方便了问题的

17、分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长质，并且相关表达式冗长 引入张量方法引入张量方法 第35页/共59页第三十六页，编辑于星期日：十九点 五十四分。1. 张量的数乘张量的数乘张量代数张量代数jiijjiijSTeeSeeTijijST则，若ST2. 张量的加法张量的加法jiijjiijSTeeSeeTijijST ijBSTB第36页/共59页第三十七页，编辑于星期日：十九点 五十四分。3. 矢量与二阶张量的点积矢量与二阶张量的点积 ijiTaijiTe eae12左点乘：左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘右点乘 :kiikjieeeeee

18、aTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i时相等只有一般jiijTT, aTTa张量代数张量代数1左点乘：左点乘：第37页/共59页第三十八页，编辑于星期日：十九点 五十四分。3. 矢量与二阶张量的点积矢量与二阶张量的点积张量代数张量代数 点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低jijiaTb aTb 二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移第38页/共59页第三十九页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数4. 矢量与二阶张量的叉积矢量与二阶张量的叉积 ijiTaijiTe eaeAeeeeeTak

19、rkjiijrjkijkieTaTaBeeeeeaTrjikjkirijkijkeaTaT1左叉乘：左叉乘：2右叉乘右叉乘 :第39页/共59页第四十页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数4. 两个张量的点积两个张量的点积srjieeBeeArsijBA,sisisrjieeeeeeeeBAjsijjrrsijrsijBABABA第40页/共59页第四十一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数5. 两个张量的双点积两个张量的双点积srjieeBeeArsijBA,ijijjsirrsijrsijBABABAsrjieeeeBA:tititsrkjieeeeeeeee

20、eBAjktijkksjrrstijkrstijkBABABA:第41页/共59页第四十二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数6. 张量的缩并张量的缩并jieeAijAAeeAjitrAAAiiijijij第42页/共59页第四十三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数7. 张量的转置张量的转置jiijjiijSTeeSeeTT STSST记互为转置与则称若jiijT TTTABBABA则为二阶张量，与若为对称张量若TTT T为反对称张量若TTT -T对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向应力张量与应变张量均为

21、对称的二阶张量应力张量与应变张量均为对称的二阶张量第43页/共59页第四十四页，编辑于星期日：十九点 五十四分。张量代数张量代数7. 张量的转置张量的转置之和和反对称张量均可分解为对称张量任一二阶张量NTTTTT21TT21NNTDPN和偏张量又可分解为球张量对称张量IPDPNkkN31第44页/共59页第四十五页，编辑于星期日：十九点 五十四分。几种常用的几种常用的二阶张量二阶张量1. 单位张量单位张量jiijeeI2. 置换张量置换张量kjiijkeeeee 以置换符号为分量的三阶张量以置换符号为分量的三阶张量3. 逆张量逆张量ITT1并非所有张量都可逆，有逆存在的张量称为可逆张量并非所有

22、张量都可逆，有逆存在的张量称为可逆张量 -1-1-1ABBABA则为可逆张量，与若第45页/共59页第四十六页，编辑于星期日：十九点 五十四分。几种常用的几种常用的二阶张量二阶张量4. 正交张量正交张量IRRRRTT1 RRT bRaRbaabbaaRb且可以证明则为矢量和其中若, ,正交张量对应的线性变换保持矢量长度和内积不变正交张量对应的线性变换保持矢量长度和内积不变正交张量对应的线性变换代表一个转动正交张量对应的线性变换代表一个转动IRRRRTT1 RRT第46页/共59页第四十七页，编辑于星期日：十九点 五十四分。A A3 张量分析张量分析梯度梯度标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一

23、点上的梯度指向标量场增长最快的方向。对单变量实值函数，梯度只是导数，如应变。图中标量场是黑白的，黑色代表大的数值，蓝色箭头代表梯度方向。第47页/共59页第四十八页，编辑于星期日：十九点 五十四分。散度、旋度散度、旋度散度是将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上，描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。旋度表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。第48页/共59页第四十九页，编辑于星期日：十九点 五十四分。力学中：力学中：几何方程与位移场的几何方程与位移场的梯度梯度有关有关转动量与位移场的转动量与位移场的旋度旋度有关有关平衡方程与

24、应力场的平衡方程与应力场的散度散度有关有关第49页/共59页第五十页，编辑于星期日：十九点 五十四分。1、哈密顿、哈密顿(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表示为可以表示为:iixiiee 可以证明可以证明, Hamilton算子具有张量的属性算子具有张量的属性,相当相当于一阶张量。于一阶张量。哑标哑标第50页/共59页第五十一页，编辑于星期日：十九点 五十四分。2、梯度、梯度 1标量场标量场 ieigradxxx,321),(为一阶张量矢量为一阶张量矢量 第51页/共59页第五十二页，编辑于星期日：十九点 五十四分。2张量场张量场 kjjkAeeA（1）左梯度）左梯度kjikjieeeeeeijkjkiAA,A（2）右梯度）右梯度高一阶的张量场 A,ikjikjeeeeeeijkjkiAA AA 一般并乘并乘第52页/共59页第五十三页，编辑于星期日：十九点 五十四分。3、散、散度度 1矢量场矢量场 ueeuujitruujjji,d