人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆的有关性质(有答案)

1、人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）第15讲圆的有关性质第一部分知识梳理知识点一：圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点 A随之旋转所 形成的图形叫做圆，固定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示：以点。为圆心的圆记作 O',读作 圆O'3、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。知识点二：弦、弧与圆的相关定义；1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB）2、直径：经过圆心的弦叫做直

2、径。（如途中的 CD）直径等于半径的2倍。3、半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做 圆弧，简称弧。弧用符号 落”表示，以A, B为端点的弧记作 箱”,读作 圆弧AB'大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做 劣弧（多用两个字母 表小）等弧：在同一个圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。知识点三：垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦

3、所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为；过圆心、垂直于弦直径 1 平分弦卜知二推三平分拓所时的优弧J平分弦所对的劣瓠，知识点四：内接四边形 定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角第二部分考点精讲精练考点1、圆的认识例1、生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（A. 建筑工人砌墙时拉的参照线是运用两点之间线段最短”的原理B. 修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用 三角形稳定性”的原理C. 测量跳远的成绩是运用 垂线段最短”的原理D. 将车轮设计为圆形是运用了 圆的旋转对称性”原理例2、如图，小明顺着大半圆从

4、A地到B地，小红顺着两个小半圆从 A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为 a、b,则a与b的大小关系是（A、a=bB、a< bC、a> b7 / 56例3、到点。的距离等于8的点的集合是 例4、如图，AB是。O的直径，点C在。O上，CDXAB ,垂足为D,已知CD=4, OD=3, 求AB的长是.例5、如图，。的弦AB、半径OC延长交于点D, BD=OA,若/AOC=10 5 ,求/D的度数.例6、如图，AB、CD为。中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF.求证:AF=BE.举一反三：1、有下列四个说法：半径确定了，圆就确定了； 直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是

5、半圆.其中错误说法的个数是（）A、1B、2C、3D、42、如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A. 4兀 rB. 2兀 rC.兀 rD. 2rocron3、如图所示，三圆同心于 O, AB=4cm, CDXAB于O,则图中阴影部分的面积2为 cm .4、如图，点A、B在。上，且AB=BO . / ABO的平分线与AO相交于点C,若AC=3 , 则。的周长为.（结果保留任）5、已知AB为。O的直径，弦ED与AB的延长线交于。外一点C,且AB=2CD , /C=25 ,求/AOE的度数.考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦

6、相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对例2、若。O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°例3、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等,那么，它们所对应的其它量也相等.如图， AB、CD是。的两条弦若 AB=CD, WJ有=, =若弧AB=MCD,则有=, =若/AOB=/COD,则有=, =.cm.例4、如图，已知 AB是。的直径，BC为弦，/ABC=30 .过圆心。作ODLBC交 弧BC于点D,连接DC,则/DCB

7、=.例5、如图，C为弧AB的中点，CNLOB于N,CD，OA于M,CN=4cm,则CD=例6、已知：如图，C, D是以AB为直径的。上的两点，且OD/ BC.求证：AD=DC .举一反三：1、下列语句中，正确的有（）A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 2、如图，在。中，若点C是弧AB的中点，/A=50° ,则/BOC=（A. 400 B. 450 C. 500 D. 60°3、如图，。0中，已知弧AB=M BC,且弧AB：弧AmC=3 ： 4,则/AOC=度.B4、在半径

8、为1的圆中，长度等于门的弦所对的圆心角是 度.OC, OD分别与5、已知：如图，。的两条半径OALOB, C, D是AB的三等分点,AB相交于点E, F.求证：CD=AE=BF.考点3、圆周角的应用例1、如图，正方形 ABCD内接于圆。，点P在伞上.则/BPC=（A. 35°B. 400C. 450D. 50°例2、如图，AB是。的直径，CD是。O的弦，连接AC、AD ,若/ CAB=35，则/ADC 的度数为（）A. 350B. 450C. 550D. 65°C例3、如图，4ABC是。的内接三角形，AD是。直径，若/ABC = 50°,则/CAD0例4

9、、AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 P在半圆上,斜边过点B, 一条直角边交该半圆于点 Q.若AB=2,则线段BQ的长为例5、已知。的直径为10,点A,点B,点C在。上，/CAB的平分线交。于点D.(1)如图，若BC为。的直径，AB=6,求AC, BD, CD的长;(2)如图，若/CAB=60 ,求BD的长.人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质(有答案)9 / 56例6、已知：如图，在半径为 2的半圆。中，半径OA 别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、(1)求四边形AEOF的面积.(2)设AE=x, S；A0EF=y,写出y与

10、x之间的函数关系式垂直于直径BC,点E与点F分 C重合，点E不与A、B重合.；,求x取值范围.上B0C举一反三:1、如图，BC是。的弦，OABC, /AOB=70 ,则/ADC的度数是(A. 700B. 350C. 450D.2、如图，A、D是。上的两个点，BC是直径，若/D=35° ,则/ OAC等于A. 65°B. 350C. 70°D. 5503、如图，AB 为。的直径，BC=2cm, / CAB=30 ,贝U AB二人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）4、如图，以。的半径OA为直径作。O1,。的弦AD交。O1于C,则:(1

11、) OC与AD的位置关系是;(2) OC与BD的位置关系是:(3)若 OC=2cm,贝U BD=cm.5、如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D,弧BA等于弧AF, BF与AD交于E, 求证：(1) /BAD=/ACB; (2) AE=BE.考点4、圆内接四边形例1、四边形ABCD内接于圆，/A、/B、/C、/D的度数比可能是(A. 1: 3: 2: 4B. 7: 5: 10: 8C. 13: 1: 5: 17D. 1: 2: 3: 4A. 60°B. 50°C. 80°D. 700例3、如图，OC过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、点B,点A的坐标为（0, 2

12、）,M是劣弧OB上一点，/BMO=120 ,则。C的半径长为（A. 4B. 3C. 2D. 2版15 / 56例4、如图，已知圆心角/BOC=80 ,那么圆周角/BAC=度.例5、如图，ABCD是圆内接四边形,E为DA延长线上的一点，若/C=45 , AB=,则/ BAD=，点B到AE的距离为例6、如图，OC经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A与点B,点A的坐标为（0,4） , M 是圆上一点，/BMO=120 .（1）求证：AB为。C直径；（2）求。C的半径及圆心C的坐标.举一反三：1、一条弦把圆周分成1: 4两部分，则这条弦所对的圆周角为（）A. 36°B. 144°

13、;C. 150°D. 36°或 144°2、如图，A, B, C三点都在。上，点D是AB延长线上一点，/AOC=140 , / CBD 的度数是（）A. 400B. 500C. 700D. 110°3、如图，AB是。的直径，点C, D在。上,/BAC=30 ,则/ADC=4、如图，在。中，直径AB垂直弦CD, E为弧BC上一点，下列结论：/ 1 = /2；/ 3=2/4；/ 3+/5=180°.其中正确的是 （填序号）D5、如图，已知 AB=AC , /BAC=120 ,在BC上取一点O,以O为圆心OB为半径作 圆，且。过A点，过A作AD /

14、BC交。于D,求证：（1） AC是。O的切线；（2）四边形BOAD是菱形.B考点5、垂径定理例1、在圆中，下列命题中正确的是（）A.垂直于弦的直线平分这条弦B.平分弧的直线垂直于弧所对的弦C.平分弦的直径垂直于这条弦D.平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦例2、如图，AB是。的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交。于点D.若OC=3, CD=2,则圆心。到弦AB的距离是（）A. 6也B. 9C.后 D. 253石例3、如图，。0中，弦CD与直径AB相交于点E, /AEC=45 , OFXCD,垂足为F,OF=2, DE=3, WJ DC=人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有

15、关性质(有答案)例4、已知。内有一点M,过点M作圆的弦，在所有的弦中，最长的弦的长度为10cm, 最短的弦的长度为8cm,则点M与圆心。的距离为 cm.例5、已知：如图，点P是。外的一点，PB与。相交于点A、B, PD与。相交 于 C、D, AB=CD . 求证：(1)PO¥/BPD; (2) PA=PC.例6、如图所示，已知点0是/EPF的平分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A, B和C, D.求证：AB=CD .(1)若角的顶点P在圆上，如图所示，上述结论成立吗？请加以说明；(2)若角的顶点P在圆内，如图所示，上述结论成立吗？请加以说明.举一反三：1、如图，将半径为8

16、的。沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O,则折痕AB长为(A.邛B. 4。C. 8。D. 82、如图，两个圆都以。为圆心，则下面等式一定成立的是()A. AB=CD B. AB=BCC. BC=CDD. AD=2BC3、如图：已知/ACB=90 , AB、CD的交点P是CD的中点，若 AB=10, CD=8,则AP的值为.B(1) (2)(3)4、如图，M是。O中弦CD的中点，EM经过点O,若CD=4, EM=6 ,则。O的半径 为.5、如图，OO中，弦AB, CD相交于P,且四边形OEPF是正方形，连接OP.若。O 的半径为5cm, 0P=3向而，求AB的长.考点6、垂径定理的实际应用例1、如图

17、，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点。处，正以20km/h 17 / 56人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）的速度向北偏西600方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（）A. 10hB. 20hC. 30h23 / 56例2、如图，直径为20cm,截面为圆的水槽。中有一些水，此时水面宽 AB=12cm, 后来水面上升了一定距离，但仍没有超过圆心，此时水面宽AB=16cm,则水面上升了 cm.例3、如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区 A与B相距15

18、 千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要 在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.例4、高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病.（1）养殖场有4万只鸡.假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推， 请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点 3千米范围内为捕杀区.所有的禽类 全部捕杀.离疫点35千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区

19、和 免疫区的村庄，道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区.如图所示，。为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千 米？（结果保留根号）举一反三:1、当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）,那么该圆的半径为（）A. 3cm2、某施工队在修建高铁时，需修建随，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA的长为.3、台风罪特”来袭，宁波余姚被雨水 围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60 米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩

20、小到 30米时要采取紧急措施，当时测量 人员测得水面AiBi到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由.04、如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且/QPN=30 .点A处有一所中学，AP=160m, 一辆拖拉机从P沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响， 那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h, 那么学校受影响的时间为多长？.V第三部分课堂小测1、下列说法错误的是（A、直径是圆中最长的弦B、长度相等的两条弧是等弧C、面积相等的两个圆是等圆D、半径相等的两个半圆是等弧2、如图，四边形ABCD内接于。O, AC平分/

21、BAD,则下列结论正确的是（A . AB=ADB. BC=CDC .D . zBCA=zDCA3、如图,A. 4B. 6C. 8D. 12ABC 内接于。O, /BAC=120°, AB=AC = 4, BD 为。的直径，则 BD等于（）4、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（D. 60 °或 120A. 300B. 30°或 150°C. 605、圆材埋壁”是我国古代九章算术中的一个问题，今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是： 如图，CD为。O的直径，弦ABXCD,垂

22、足为E, CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”.依 题意，CD长为（）A. 12.5 寸B. 13 寸C. 25 寸6、如图，在半彳全为5的。中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8 ,则OP的长为（A. 3B. 4C. 342D. 4石7、如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标是（10, 0）,点B的坐标是（8, 0）, 点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形.则点 C的坐标是（）A. (1, 2)B. (1,3)C. (2, 3)D. (2, 4)8、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°,则弧所对的弦长是 .9、已知圆中一弦将

23、圆分为1: 2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为 度.10、如图，圆心角/AOB=100 ,则圆周角/ACB=度.11、如图，等边三角形 ABC的三个顶点都在©O±, D是个上任一点（不与A、C重合），则/ADC的度数是 度.12、如图，在。中，弦 AB/CD,若/ABC=40 , WJ / BOD=13、如图，A, B, C三点在。上，且AB是。的直径，半径 ODLAC,垂足为F,BC=若/A=30° , OF=3, WJ OA=, AC=14、如图，半圆O的直径AB=8 ,半径OCAB, D为弧AC上一点，DELOC, DFXOA, 垂足分别为E、F,求EF的长

24、.15、如图，点A, B, C, D在。上，。点在/D的内部，四边形OABC为平行四边 形，求/OAD+/OCD的度数.16、如图，在破残的圆形残片上，弦 AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D,已知 AB=8cm , CD=2cm.（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作圆的半径.17、如图，在。中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD, MCXAB, ND LAB, M、N在。上.(1 )求证：AM =BN ；(2 )若J D分别为OA% OB中点.则Rvi=成立吗？18、如图，P是。外一点，PAB, PCD分别与。相交于A, B, C, D.(1

25、) PO平分/BPD； (2) AB=CD； (3) OEXCD, OF,AB； (4) OE=OF.从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明.第四部分提高训练1、如图，MN是。的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.若 MN= 2<2 ,则PA+PB的最小值是。人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）B2、如图，C是以点。为圆心，AB为直径的半圆上一点，且 COXAB,在OC两侧分别 作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I, F在OC上，点H, E在半圆上，可证：IG=FD .小 云发现连接图中已

26、知点得到两条线段，便可证明 IG=FD.请回答：小云所作的两条线段分别是 OH和OE；证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等，同圆的半径相等和等量代换.3、如图，在平面直角坐标系中，以点 M (0, J3)为圆心，以2/3长为半径作。M交 x轴于A, B两点，交y轴于C, D两点，连接AM并延长交OM于P点，连接PC交 x轴于E.(1)求出CP所在直线的解析式；(2)连接AC,请求4ACP的面积.4、如图，AB 为。的直径，弦 CDLAB 于 E, /CDB=15 , OE= 2内.(1)求。的半径；(2)将AOBD绕。点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD 与弦AC的夹角

27、为.第五部分课后作业1、中央电视台 开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A. 一倍B.二倍C.三倍D.四倍2、下列语句中，正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、。0中，M为|翁的中点，则下列结论正确的是（）A. AB>2AMB. AB=2AMC. AB <2AMD. AB与2AM的大小不能确定4、如图，。是4ABC的外接圆，已知/ABO=30 ,则/ACB的大小为（）A. 60°B. 300C. 45°

28、D. 50°5、下列说法错误的是（）A,圆内接四边形的对角互补B,圆内接四边形的邻角互补C.圆内接平行四边形是矩形D.圆内接梯形是等腰梯形6、如图所示，AB是。的直径，AC为弦，0DLAC于点D,且0D=1cm,则BC的长 为（）A. 3 cmB. 2 cmC. 1.5 cmD. 4 cmC7、四边形ABCD内接于。O, E在BC延长线上，/ DCE=70 ,则/ BOD等于（A. 100°B, 110°C. 140°D. 70°8、如图，AB为。的直径，OC与。内切于点A,且经过点O,。的弦AE交。C于D,则下列关系不成立的是（）A. ODX

29、AEB. OD=-BE C. OD/BE D. / B=60°227 / 569、如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向 300千米的B处，并以每小时10r千 米的速度沿北偏东60。的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（A,”小时3B. 10小时C. 5小时10、如图，AB是。O的直径，点C、D在。O上,/ BOC=110 , AD / OC,则/ AOD=11、如图，在4ABC中，/C=90°, /B=28°,以C为圆心，CA为半径的圆交 AB于点 D,交BC于点E,则弧AD的度

30、数为。人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质(有答案)12、一种花边是由如图的弓形组成的，弧 ACB的半径为5,弦AB=8,则弓形高CD 为13、已知四边形ABCD是圆内接四边形,/A： /B： /C=2： 5： 7,则/D=29 / 5614、圆心到圆的两条平行弦的距离分别为 2和5,则这两条平行弦间的距离为15、如图：A、B、C是。上的三点，/AOB=50 , / OBC=40 ,求/OAC的度数.16、如图，在。中，C为逅的中点，连接AC并延长至D,使CD=CA,连接DB并延长DB交。于E,连AE.(1)求证：AE是。O的直径；(2)求证：AE=DE.17、如图，等

31、腰三角形ABC中，BA=BC,以AB为直径作圆，交BC于点E,圆心为O.在EB上截取ED=EC,连接AD并延长，交。于点F,连接OE、EF.(1)试判断4ACD的形状，并说明理由；(2)求证：/ADE=/OEF.18、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，当水面到拱顶的距离小于3.5米时，需要采取紧急措施.如图所示，正常水位下水面宽 AB=60米，水面到拱顶的距离18米.求圆弧所在圆的半径.当洪水泛滥，水面宽MN=32米时，是否需要采取紧急措施？计算说明理由. . f . .A4rixN*>Jj'I»AB19、已知：如图，AB是。的直径，点C、D为圆上两点，且弧 CB=M CD,

32、CFXAB 于点F, CEXAD的延长线于点E.(1)试说明：DE=BF;(2)若/DAB=60 , AB=6,求 4ACD 的面积.人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）20、如图，AB、CD是半径为5的。的两条弦，AB=8, CD=6, MN是直径，AB ±MN 于点E, CDXMN于点F, P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？33 / 56第15讲圆的有关性质第二部分考点精讲精练考点1、圆的认识例1、A例2、A例3、解：到点。的距离等于8的点的集合是：以点。为圆心，以8为半径的圆.故答案是：以点。为圆心，以8为半径的圆.例4、连接

33、CD-4 t 0D-3 ,在RteDg r，。二。炭+仃炭二产+卢目故答案为：10 .例5、解答:'/BD=OA f OA=OB所以AOB和BOD为等腰三角形f设上D=x度f则上。BA=2x"因为。B=OA ,所以上A=2x"在AACE中 f 2x+2x+ ( 105-x ) =180 ,解得¥=25 f即上D=25L人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质(有答案)例6、解写.解：CD为。中两条直径:aOA=OB , 0C二。D ,vCE=DF,aOE=OF,在ZSOF和BOE中，(QA-OB(乙4d尸=上BOE tOFOEaAAOF

34、ABOE ( SAS ),/.AF=BE .举一反三：1、B2、B3、 解：阴影部分的面积应等于圆£ n ( 4-2 ) 2=ncm24、1-'OA = OB , AB = BO ,/.OA=OB=AB ,即OAB是等边三角形,YBC平分/AB。，OA=2AC=6,e 0的周长为2nOA=2nx6=12n .故答案为12tt.# / 56人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）解答：解：连结OD ,如图， b/figAB=2CD ,/.OD=CD.1.ZDOC=ZC=25C ,.1.zEDO = zDOC + zC=50", /OD-O

35、E, .1.zE=zEDO=50" , . .zAOE=ZE+ZC=75a .考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、D例2、B 例3、 辞管：率 /若AB=8 , J&4S =CD t 上AOB=CO口=CD t 贝I有 AB=CD,上AOBzCOD ；若上AOB=COD ,贝ij有意=冷 ，AB=CD .例4、解答：解：AB是。的直径，OD±BC , zABC=30° .zBOD=90°-zABC = 60a , /.zDCB=izBOD = 30° .2乂为弧AB的中点r 工弧AO弧BC , lAOC=qBOJ vCNiOB,CD

36、77;OA , CN=4cm f /-CM=：CN=4cm ,<M±OA ,即。M，CD , 由垂径定理得：CD=2CM=8cm f 故答案为：8 .例6、试题癣折：连结0C ,如国，,ODllBC , r z2=z3X /OB=OC r .zB=z3 t .zl=z2 , .AD=DC -举一反三：41 / 56zOCD=i8oy二75" ./ OEF=/OCD,CD / AB , ./AEC=/OCD, ./ACO=/AEC. 故 AC=AE, 同理，BF=BD .又.AC=CD=BD . CD=AE=BF .考点3、圆周角的应用例1、C例2、C例3、贝!)ZAD

37、C=ZABC=5O。 AD是0。的直径, AiACD=90B,1CAD+zADC=90e,1CAD=900-zADC=900-500=40° .例4、/.BQ=V2 .故答案为：V2 .解：连接AQr BQj,ZP=45 ，、ZAQB=90，妊Q是等腰直角三角形.,AB=2,/.2BQM,例5、试题解析：（D如图，图:耽是00的直径,.Zcae=Zedc=90° .'在直角ACAB中'BC=10, AB=6j .由勾股定理得到：=BC AB = W0：=6H = 8"AD 平分/CAB.CD = SD，1CD=BD.如图，连接OB, 0D.仙平分/

38、CAB,且NCABWO*.'.ZDAB=- ZCAB=3Oe , 上，/DOB=2NdAB=600 .例6、在直角BM中，BC-10 > CD2+BDBCS，易求BD=CD=;.Zdae=- Zcae=3Oc , J.Zdob=2Zdab=60° .又 OE=OD,，。日得等边三角形.BD=OB=OD.70。的直径为16则OB=5,.BD=5.解答:解：(1 ) iBC为半圆。的直径,OA为半径,且。A匚 /.zB=zOAF=45° f OA=OB ,又tAE=CF,AB=AC ,-BE=AF, .ABOE=AAOF，S四娜aeof二smob= OB*OA=2

39、 .(2 )BC为半圆。的直径， .BAC=90"且AB =AC=2, y=SAOEF=S四翊AEOF-5丛EF=2-； AEAF=21x ( 20=x ) 二y" x2-0x+2 ( 0 <x< m).1、B 2、D 3、AB为。的直径，BC=2cm f 上CAB=30°工上,/.AB=2BC=2>2=4cm .4、解：（1）二.以。O的半径OA为直径作。O1,。0的弦AD交。O1于C, ./ACO=/ADB=90 ,OCXAC,即 OCXAD；OC与AD的位置关系是：垂直；（2） . /ACO=/ADB=90 ,OC/ BD;OC与BD的位置

40、关系是：平行；（3） v OA=OB , OC/BD, . AC=CD ,BD=2OC=2 2=4 （cm）.故答案为：（1）垂直，（2）平行，（3）4.5、解笞：证明：(1 )应是圆。的直径, zBAC 二 9。1,JBAD+上 CAD=901又 AD1BJ,上ACB+上CAD=90* ,az.BAD=ACB ；(2 ) yMBA等于弧AF ,.z.ACB = z.ABF t上BAD=上ACB ,iABF=zBAD,*AE= BE .考点4、圆内接四边形例1、C例2、D例3、C例4、如图；在优弧BC上取一点D ,连接BD、CD 由圆周角定理，得：上zBOC=40a ； 四边形ABDC内接于。

41、， AzBAC+iBDC=180° ； ;.zBAC=180°-iBDC=140° .过点B作BFAE于点F ；ABCD为园内接四边形f若上C=45" 二上DAR十上C=180*,zEAB+xBAD = 180° .zBAD=135° .AzEAB-zC=45°r.AF=BFiAB=© rz.BF=1，点B到AE的2璃为1 .例6、人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）(1 ) TOC经过坐标原点,/,zAOB=90° ,，AB是日C的直径.(2 )四妍AOMB是圆内接四妍

42、，上BMO=120*, 箱据圆内接四边形的对角互补得到上QAB=601,二点A的坐标为(0,4) r aOA=4 r,.AB=2OA=8 r在第二象限, C点横坐标小于。，设C点坐标为(x,v) ffi¥SAC=OC=4 r WcETECT "c-yCHED)2 i则/、' =x1、D 2、C 1AB是。的直径,JyACB 901azB=1800-zACB-zCAB=18(o-90"-30o=60o fvxB+xD=180a , AzD=180s-60120fl .故答案为120* . X4-v)2 =4 ,解得V=2,x=-2后或x=2(舍去)故0 c的

43、半径及园X的坐标分别为：4 , (-24，2 )举一反三：47 / 56根据圆周角定理,得q2BA J因为OA=OC f所以JzBAJ所以一32 ,正确；由垂径定理，得上4=上BA J因为上3是的外角,所以，3=z8AC+z1=2BAC=24 r 正确；因为四边形DBEC为圆内接四边形，所以工2+上5=180与前吴.故正确的是5、(1 )证明：vAB=AC , zBAC=120° r qAEC="" ( 1800-xBAC ) =30"vOA=OB t工上ABO=上BAO=30°， AzOAC=1200-30o=90° f BPOA1

44、AC f,;0A为。的半径F，AC是。0的切线.(2 )证明：§连接AEz AOB C+上OAC =期+90°=1201.由圆周角定理得：上AEB=；上AOB=60” ：*D、B、E、A四点共圆 ZD+AEB = 18O ,lADE=120,1/ADIIBC , azDAO+zBOA=180° r azDAO=60° ,.zDB0=360a-600-120o-120a=60ft , 即上D二±BQA ,-DBO二二DAO f，四边形BOAD是平行四边形r '.'OA=OB f二平行四边形BOAD是菱形.考点5、垂径定理例1、D例

45、2、C例3、丁在00中，弦8与直径AB相交于点E , 0F_LCD ,aDF=FC 垂径定理）；VzAEC=45° , 0F±CD ,EF0为等腰直角三角形t0F=2 ,aEF=2 ；vDE=3 faDF=DE+EF=3+2=5 ；aCD=2DF=10 .故答案是：10 .例4、C ,一直径CD，弦 ABf pl A .'.AM=1 x8=4cm .jy J在直角 AOAM中10M=a OA-AAr=3cm故答案是：3cm .D例5、证明：（1 ）过点。作OE，AB f 0F1CD f垂足分别为E、FvAB=CD,，OE=OF , P0平分上BPD ；(2 )在 R

46、SPOE 与 RtAPOF 中 t:OP=OP r OE=OF f/.RtAPOEsRtAPOF,1,PE=PF,AB=CD f OE±AB r OF±CD , E、F分别为垂足二AE亭E ,cfJcd ,/.AE=CF ,'.PE-AE=PF-CF r 即PA=PC .例6、图图图证明：过点0|乍。G±AB于点G，作OHKD于点H ,._0P平分上EPF,/.OG=OH f/.AB=CD . 1 成立.理由：过点CM乍OGLAR于点G J乍。H，CD于点H ,1.0P平分上EPF ,/.OG=OH raAB=CD .(2)成立.理由：过点。I乍。GAE于

47、点G ,作0H工CD于点H , vOP平分上EPF，OG=OH r aAB=CD .举一反三：1、C2、A3、4、连接0C "CB=90" 二AB是直径 'CP=DP=4 aAB±CD aOP=3 aAP=2 .iSoc,vM是。中弦CD的中点.EM经过点。.CD=4aEMiCD,CM4 CD=2 ,设0=,则0M=6-f ,在RLiOCM中,IQOM2+M2=OC2,即（6-）f 解得=7 .5、故答案为：y.®SOAf,:四边形OEPF是正方形 .OE_LAB且平分AB ,即AE=EB .-OPcm T. QE2+P%OP2 r 即2OE2=

48、（30）2 解得,0E=3cm11.-0A=5cm.'.AE2=OA2-OE2 . KAE2=5a-32 t 解得 t AE=4cm .1, AB=2AE , /.AB=8cm . 故答案为：8cm ,考点6、垂径定理的实际应用例1、B例2、aOA=OAi = W 'OE-AB f AB=12cm ,?.AE=6; iOE= OA2-O£p 1 r-62 =8 ( cm ).vAiB-|16cm ,?. AD/n 0 D = Q4= P-gJ =6( cm )aDE=OE-OD=8-6=2 (cm) .工水面上升了2cm .故答案为："例3、vABACa=1

49、52+2O£=252=CB2 , 二ABC为直角三角形, 作ADLBC于D点f,11“ C.,5丛BC- AB*AC=j BC*AD , 即：15x20=25-AD , 解得AD=12 f v12> 110 , ,不会穿过.例4、(1 )第四天 < 共有1+10+100+1000=1111只鸡得了禽流感； 第五天,共有1111+10000=11111只鸡得了禽流感,那么到了第六天将会有十多万只鸡会W禽流感，而养殖场有4万只鸡 所以到第六天，所有的鸡都会感染禽流感；人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质(有答案)49 / 56(2 )如图，过O乍OE_

50、lAB于E f0A匚5千米t OC=37米f 0E=1千米T由作法得f CE=DE AE=BE f在RSOCE中,CE"32_p =2z-CD=2CE=4j2 ,在RSOAE中，A£=J52T2 =2亚，/.AB-2AE=4j6 ,，AB=CD=4 (其不)千米.答：这条公路在该免疫区内有4 (4-)千米.举一反三：1、C2、CD1AB,由垂径定理得AD=5米, 设圆的半径为,则结合勾股定理得od'adMoaZ 即(7-r )。5建九解得骂米.故答案为：5米.3、连接OA、0A,如下图所示: P0由®得：AB=60m,PM=18m f PN=4m f OA

51、=OAj=OP=ROP1AB f OP1A1B1由垂径定理可得：AM=MB=30m人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质（有答案）在RtAAMO中.由勾股定理可得：aoi=am2+mo2即日曲（R-18） ?解得R=34mvPN-4m f OP=R=34m,1,ON=30m在RSONA1中t由勾股定理可得:AiM=AiC?-oM可得A#二16m故A B-=32rn > 30m故不用采取紧急措施.过点A作ABMN于B ./zQPN=30° f AP=160m ra AB =7 AP=I x 160=80 ( m ),v80 <100 r,该所中学会受到

52、噪声影响；以A为圆心,100m为半径作圆，交MN于点C与D .®AC=AD=100m , 在RSABC中，在二1c21/ =60 ( m ) f '. AC=AD , AB±MN ,，ED二BC=60e tACD=BC+BD=120m , .18km/h=5m/s f ，学校受影响的时间为：120:5二24 (秒).第三部分课堂小测1、B2、B3、C4、B6、C7、B8、解答:解”弧所对的圆心角为90° ,所得三角形是等腰直角三角形 又半径5二弧所对的弦长.9、 解答,毋：根据题意画出图形为：弦AB把。心成1 : 2两部分， ，窈的度数为：蓟。£

53、 =120" 又念所对的圆心角力上AOE f /AOB=120° .10、故答案为：120在优弧AB上取点D （不与A、B重合），连接AD、BC 贝加ADBZAOB=1 x100°=50Q ；二四边形ADBC内接于。，二上 ACE = 180°-zADB=18（a-50o=130o11、ABC是等边三角形 zR=6(TAzADC=180=-605 = 120°12、解答解：ABKD , AzC=ABC=40° f jBOD=2G8Cr . 故答案为.51 / 56人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质(有答案)/ODXAC f 上.OF=3 f ZAFO=90" 1;OA=2OF=2x3=6 ,，AB=20A=2x6=12 ,