数学物理方程的求解方法探析毕业论文

1、学号2007112010218编号研究类型理论研究 分类号HUBEI NORMAL UNIVERSITY学士学位论文（设计）学士学位论文（设计）Bachelors Thesis论文题目数学物理方程的求解方法探析作者姓名 指导教师 所在院系物理与电子科学学院专业名称物理学完成时间2011 年 5 月 15 日I湖北师范学院学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：数学物理方程的求解方法探析外文题目：A few kinds of mathematics physical equation solve method discussion and analysis学生姓名赵清锋学 号2007112010

2、218院系专业物理与电子科学学院物理学专业班 级0702学学 生生 承承 诺诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：2010 年 5 月 15 日指导教师承诺指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 20

3、11 年 5 月 15 日II目 录摘要.11 前言.22 氧化锡薄膜的制备方法.22.1 磁控溅射法（MS）.32.2 化学气相沉积法（CVD）.42.3 溶胶-凝胶法（Sol-Gel）.52.4 激光脉冲沉积法（PLD）.62.5 喷雾热解法（Spray Pyolysis）.63 氧化锡薄膜的研究现状.83.1 氧化锡的晶体结构.83.2 氧化锡薄膜的光电、物化性质.93.3 氧化锡薄膜的气敏性质.103.4 氧化锡薄膜的压敏性质.103.5 氧化锡薄膜的湿敏性质.103.6 氧化锡薄膜研究新进展（掺杂）.114 氧化锡薄膜的应用.114.1 太阳能电池.124.2 光电子器件.124.3

4、 薄膜电阻器.134.4 透明电极.134.5 其他应用.135 结论及展望.146 致谢.15参考文献.16 1数学物理方程的几种求解方法探析数学物理方程的几种求解方法探析赵清锋（指导老师：刘红日）（湖北师范学院 物理与电子科学学院 湖北 黄石 435002）摘摘要要: : 目前半导体材料研究领域的热点之一是宽禁带半导体材料。SnO2薄膜是一种宽带隙半导体材料，它具有对可见光透光性好、紫外吸收系数大、电阻率低、化学性能稳定以及优良的光电性能等优点，已被广泛的应用于太阳能电池、液晶显示器、光探测器、窗口涂层等领域，是一种用途十分广泛的功能薄膜。本论文介绍了各种制备 SnO2薄膜的工艺方法、Sn

5、O2的特性及其应用。关键词: 氧化锡薄膜 磁控溅射 凝胶溶胶 喷雾热解 中图分类号:O0484.1PREPARING METHODS OF SnO2 THIN FILMS ANDTHEIR RESEARCH PROGRESSGong Sha（Tutor: Liu Hongri）(College of Physics and Electronic Science, Hubei Normal University, Huang Shi 435002, China)Abstract: Wide band-gap semiconductor material is one of the hottest

6、 materials being extensing in rencent years. Tin oxide film, as a wide band-gap material, has been widely used in many fields, such as opto-electric devices, high temperature devices, LCD, solar cell, window coating and so on. It has many excellent properties, such as high transparency in visible re

7、gion, low resisitvity, high stablility and fine photoelectricity performance. In this paper, the preparation technology, property, and application of SnO2 thin flims have been introduced. Key words: SnO2 thin film magnetron sputtering Sol-Gel spray pyrolysis 2数学物理方程的几种求解方法探析1 1 前言前言物理现象是丰富多彩的，但是要解释很

8、多物理现象，仅仅凭借观察和实验总结是不够的，自然科学中的许多现象如现代物理学、力学、光学中的激光、超导、晶格、位错、等离子物理、凝聚态物理、大气物理、流体力学等都是借助于数学物理方程来描述的。随着现代科学和技术的快速发展，人们为了更准确地理解这些现象的内在本质和性质，就需要寻求相应方程更精确的解，虽然广大数学物理工作者已创建了很多有用的求解数学物理问题的方法，但是随着现代科学的发展，这些方法还是远远不够的。因此，数学物理方程的求解一直是众多学者关注的热点问题。同时，数学物理方程也是大学物理学专业的核心课程，例如质点力学研究质点的位移怎样随时间而变化，电路问题研究电流或电压怎样随时间变化等此类以

9、时间为自变量的常微分方程；以及研究静电场强度或电势在空间中的分布，研究半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中怎样分布并怎样随时间变化等此类以空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程而构造的偏微分方程。为了解决这些物理问题并进一步的进行物理学习，除了能够对物理现象建立数学模型以外，更重要的是掌握这些数学物理方程的求解方法。因此掌握数学物理方程的求解方法是学习物理学的基础（不同文献对数学物理方程的定义不同，本文以文献1中定义为准，即：数学物理方程是源于物理及工程问题的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程） 。无论是对物理的学习还是将来从事物理方面的科研工作，研究数学物理方程的求解方法都是很有必要也很重要

10、的，基于此，本文首先对数学物理方程中常用的方法加以概括，分析了一般数学物理方程的求解方法以及解的结构形式，为进一步求解更为复杂的数学物理方程做准备；接着研究了几类数学物理方程应用冥级数的方法求解其解析解，对勒让德方程和贝塞尔函数进行了更深入的分析，并应用幂级数法结合指数形式求解出了一 3维线性谐振子在微扰体系下的解析解；然后对物理中常用数学物理方程的近似方法加以了分析，总结了各种不同的物理情景下如何选择更加精确的近似方法；再对数学物理方程的数值方法做了更深层次的探究，并分别用了有限差分法、欧拉法以及龙格库塔法对部分数学物理方程进行了数值模拟，分析了其误差；最后对数学所研究的内容做了总结和展望。

11、2 2 数学物理方程基础概括分析数学物理方程基础概括分析数学物理方程是源于物理及工程问题的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程，了解已知微分方程的求解方法并对其解的形式加以概括，不仅有助于更深入的掌握数学物理知识，而且对进一步探索新的物理现象以及求解更多的数学物理方程奠定了基础。本篇首先对物理中常遇到的可精确求解的常微分方程进行了分析，归纳总结了这类微分方程的求解方法及解的结构，然后对物理中常用偏微分方程的求解方法进行了总结。2.12.1 二阶常微分方程的性质及常系数齐次方程解的结构二阶常微分方程的性质及常系数齐次方程解的结构22，33二阶线性微分方程的解的性质二阶线性微分方程的解的性质 对形

12、如 22d ydyP xQ x yf xdxdx的方程称为二阶线性微分方程，根据 f x是否为 0，分别叫做齐次的和非齐次的，下面主要通过几个定理讨论线性微分方程的解的结构。定理 1：如果函数 1yx与 2yx是上式齐次方程的解，那么函数 1122yC yxC yx （1C、2C为任意常数）也是对应方程的解定理 2：如果函数 1yx与 2yx是齐次方程的两个线性无关的特解，那么： 1122yC yxC yx （1C、2C为任意常数）是对应方程的通解。对于定理 2 还可以推广到n阶齐次线性方程。 4定理 3：如果函数 *yx是二阶非齐次线性方程的特解，而 Y x是对应齐次方程的通解，那么： *y

13、Y xyx是二阶非齐次线性微分方程的通解。 定理 4：设非齐次线性方程的右端 f x是几个函数之和，如： 2122d ydyP xQ x yfxfxdxdx而 *1yx与 *2yx分别是方程： 212d ydyP xQ x yfxdxdx与 222d ydyP xQ x yfxdxdx的特解，那么 *12yxyx就是原方程的特解。这一定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理。常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 已经讨论了线性微分方程的性质，这里重点讨论常系数齐次线性微分方程的求解方法。在二阶齐次线性微分方程 0yP x yQ x y中，如果 P x、 Q x均为常数 ，即：0yp

14、yqy其中p、q是常数，则称上式为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p、q不全为常数，则为二阶变系数齐次线性微分方程，在论文后面的章节中我们将重点讨论。对于常系数齐次线性微分方程的解我们可以借助指数函数rxye，观察发现它的各阶导数仅相差一个常数因子，将其带入微分方程，即得到了微分方程的特征方程：20rprq由此我们即可到常系数其次线性微分方程的特解，根据上节讨论的线性微 5分方程的性质，结合其特解，可将二阶常系数齐次线性微分方程的通解归纳如下：特征方程20rprq的两根1r，2r微分方程0ypyqy的通解两个不相等的实根1r，2r两个相等的实根12rr一对共轭复根1,2ri1212r xr x

15、yC eC e112r xyCC x e12cossinxyeCxCx归纳常系数齐次线性微分方程，一方面它在数学物理现象中有广泛的应用，同时为常系数非齐次线性微分方程的求解奠定基础；另一方面对于探索变系数微分方程的解析解做了铺垫，值得认真探索。2.22.2 二阶常系数非齐次方程解的通解分析二阶常系数非齐次方程解的通解分析22，33经过前面的套路，我们知道了二阶线性常系数其次方程的通解的计算方法。本段，我们讨论如何计算非齐次方程 ypyqyf x （p，q为常数）的通解。常数变易法常数变易法在上面的章节中，已经叙述了一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，对于高阶微分方程，利用对应齐次方程的通解来求

16、非齐次方程的解仍然成立，同样可以应用常数变易求解，具体求解方法参考文献2。根据文献归纳，这种方法对自由量 f x的形式没有严格的限制，而且整个推到过程对二阶线性变系数方程也成立。但事物总是具有两面性，这一方法也有不足之处，首先它需要计算积分，对很多复杂的微分方程，其计算难度是非常大的，另外，在开始时必须事先知道对应齐次方程的通解。待定系数法待定系数法根据上节所归纳的二阶常系数齐次方程的解的结构可以看出，其解均由指数项、级数项与正弦余弦项经过一定的组合而成，由此出发，一些学者猜测：如果对于非齐次微分方程中的自由量 f x也是由指数项、级数项与正弦余弦项组合而成，那么它们的解应该也是这类形式。并对

17、此做了求解检验，应用待定系数法求出部分形式的特解。下面对物理学中常用两种形式的特解加以归纳： 6（1） xmf xPx e型特解如下： kxpmyx e Qx其中 mQx是与 mPx同次的待定多项式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的单根，二重根一次取k=0，1，2.（2） cossinxmlf xePxxP xx型特解如下： cossinkxpnnyx eQxxRxx其中max,nm l， nQx与 nRx是两个待定的n次多项式，而k按i（或i）不是方程的根，或是方程的单根依次取 0 或 1. 求出了方程的特解，再根据微分方程的性质求出对应齐次方程的解，就可得到其通解。这类方程的重要性不仅

18、仅表现在它们在数学模型和物理实际中比较常见，更重要的是对于它的求解方法对探索新的未知解析解的微分方程的求解提供方法和依据。2.32.3 偏微分方程基础偏微分方程基础22，33分离变量法的应用步骤分离变量法的应用步骤(一)首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。(二)确定特征值与特征函数。(三)求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。极坐标系下位势方程的分离变量法极坐标系下位势方程的分离变量法如果求解区域是圆域、圆柱域等，在直角坐标系下，其边界不能用分离变量形式的方程来表示，进行分离变量就会受阻。然

19、而若转换坐标，例如圆形域换成极坐标系后，其边界方程为00，符合分离变量的要求。因此，当求解域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时，通过选取适当的坐标系，可以排除用分离变量法的障碍。 7非齐次方程的特征函数法非齐次方程的特征函数法可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次（位势方程例外）如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题，因其通解可表示为其特征函数)(xXn,.)2 , 1( n的线性组合，即),(txu1)()(nnnnxXtTC，由此推断非齐次方程具有齐次边界条件定解问题也可由特征函数列)(xXn线性表出，即求形式解：),(txu1)()(nn

20、nxXtT，)(tTn为待定函数。由此，在齐次边界条件下的非齐次的定解问题，只要将其解及方程的自由项均按相应的齐次方程的特征函数展开，就可以求出其形式解。因此，这个方法就称为特征函数法。非齐次边界条件的齐次化非齐次边界条件的齐次化不论是用分离变量法，还是用特征函数法，都要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法或特征函数法都要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。Sturn-LiouvileSturn-Liouvile 问题问题用分离变量法争定解问题必须导出特征值问题，并将定解问题的解

21、表示成特征函数系构成的无穷级数。现在看LiouvilleSturn问题的一般提法和主要结论。方程:0)()()(yxpyxqdxdyxkdxd)(bxa称为LiouvilleSturn型方程。其中为待定实参数，)(xp，)(xq，)(xk为已知函数，且在,ba上)(xk，)(xk，)(xp，当),(bax时，)(xp0，0)(xq，)(xk0，而ba, 至多是)(xk及)(xp的一级 0 点；)(xq在),(ba上连续，在端点至多是一级极点。方程（2.38）与定解条件所构成的定解问题称为LiouvilleSturn问题。任一个LiouvilleSturn问题的特征值和特征函数满足如下性质： 8

22、（1）在可数无穷多个值.21n，nnlim。与每一个特征值相应的线性无关的特征函数只有一个；（2）0n；（3）设nm是任意两个不同的特征值，则相应的特征函数)(xym和)(xyn在,ba上带权)(xp正交，即有：0)()()(dxxyxyxpbanm（4）特征函数系)(xyn在区间,ba上构成一个完备系，也就是说，对任意一个在,ba上有一阶连续导数及分段二阶连续导数的函数)(xf，只要它满足特征值问题中的边界条件中，则它可按特征函数系)(xyn展开成绝对且一致收敛的级数1)()(nnnxyfxf，其中banbandxxyxpdxxyxfxpf)()()()()(2。3 3 级数解法在数学物理方

23、程中的应用级数解法在数学物理方程中的应用在数学物理方程中，著名的勒让德方程就采用冥级数解法【1】，而线性谐振子中薛定谔方程的求解也采用了泰勒级数截断【2】，文献3以微分代数和Taylor级数为工具，以偏微分方程(组)为研究对象，利用物一Rit七的特征集理论，给出了如何确定一个给定的代数形式的偏微分方程(组)的形式幂级数解的构造性方法。文献4中首先利用Fourier 级数展开方法将周期系统表示成三角级数形式,在一个积分步内使用精细积分方法得到对应Hamilton 系统状态转移矩阵的表达式。然后,通过Riccati 变换的方法,得到含有状态转移矩阵的时变周期系数Riccati 微分方程解的递推格式

24、等等。由此可见，级数解法在数学物理方程中占据着重要的地位。本章考虑一维线性谐振子在微扰体系下的待定系数求解方法，利用级冥级数方法结合指数形式探讨了谐振子在此情况下的新型解析解。1梁昆淼.数学物理方法M.北京:高等教育出版社,1998: 237-243.2周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,2009: 29-34,228-230. 93 李艳燕. 偏微分方程的精确解及 Taylor 级数解 D. 大连理工大学, 2004,: 47-58.4 彭海军，吴志刚. 基于FourierFourier 级数的时变周期系数RiccatiRiccati 微分方程精细积分 J.计算力学学报, 2006

25、, 26(6): 772-777.3.13.1 线性谐振子体系的概述线性谐振子体系的概述在量子力学中，一维线性谐振子是一个典型而且重要的系统，简谐振子虽然是一种简单的运动模型，但谐振子的运动可以作为许多复杂运动的基础，在分子、固体物理、核物理、量子场论和量子光学等领域都有广泛的应用，谐振子在受到微扰条件下，常用微扰理论进行，但微扰常常会比较复杂。基于此，本文对高次正幂与逆幂函数薛定谔方程解析解的求解方法的基础上，对一电荷为 q 的线性谐振子受到恒定电场作用下（电场沿 x的正方向）体系的定态能量和波函数进行了解析解的求解，并对结果进行了分析，为进一步寻求高次幂薛定谔方程的解析解提供了方法。3.2

26、3.2 幂级数法中待定系数的构建幂级数法中待定系数的构建在此系统中，体系的哈密顿算符为122222122dHmxq xm dx （1）为方便计算，设mx，并将其带入体系的本征值方程HE，化简即可得到体系的薛定谔方程：222220dEqdm （2）令2E,312qm，则上式薛定谔方程化简如下：2220dd （3）这与幂函数叠加势的径向薛定谔方程2-3 类似，观察线性谐振子和高次幂函数薛定谔方程的解析解得形式，可以猜测其解应为以下形式： 2exp()f （4） 10 0ns kkkfa 上式中的 s 一般由指标方程4确定，在本文中，s 为 0 或者正整数，为此，将上式简化为： 00,1,2nnnf

27、an （5）而（4）式中的指数可以根据 时，其渐进解中指数最高次数应为二次1，后面加了一次项不影响波函数在无穷远处有限性的条件，若不符合，其系数可以为 0。 （4）式和（5）式中的、和na均为待定的常系数。然后对波函数进行求导： 22expexp2ff （6） 2222222exp22exp2exp44expfff （7）将（7）式代入（3）式并在等式两边同时除以2exp，消去指数项即得： 222123222442ffff （8）观察（5）式和（8）式，为了使 时 有限，n必须为确定的值，分别取不同的n值，代入上式，根据的同次幂系数必须相等，求解各项系数，即：2n次：24nnaa （9）1n次

28、：21144nnnnaaaa （10）n次：2212124244nnnnnnnaaaaaa （11）1n次： 22123241244nnnnn anaaa 11 123nnnaaa （12）2n次： 212121422nnnn nanana23444nnaa234nnnaaa （13）02次： 221002 122aaaa （14）3.23.2 待定系数的求解待定系数的求解由（9）式可得12 ，由于波函数的标准条件要求当 时 有限，所以取负值，即：12 （15）将12 代入（10）式得：2 （16）由此可见，与的取值与n无关，仅决定于薛定谔方程的形式。将（15）（16）两式代入（11）式得到：

29、2214n （17）继续将（15）(16)（17）代入（12） （13）式，得：12nnaan ，122412nnaan （18）3.33.3 对结果的讨论和分析对结果的讨论和分析根据（17）式及2E和312qm可以得到能量： 122222322121222qqEnnmm （19）由此可见，所讨论的体系仍是一个一维线性谐振子，它的每个能级都比无电场时线性谐振子的相应能级低2222qm，这与文献1中应用配方法及微扰法所得结果一致。同时，可以得到各能级状态下的波函数： 222312qmnnfe （20）将（15-17）式（8）式，可以将其化简为： 222ffn f （21）由此可以得到： 00fa

30、 （22） 0102afa （23） 22000224422faaa （24） 23230000333812612666faaaa （25） 根据以上计算的结果可以看出，体系的波函数在电场的作用下已经变的比较复杂，不再由指数函数与厄米多项式组成，当很小时，观察（22-25）式可以看出它与非微扰下一维谐振子的厄米多项式基本保持一致，但当很大时，已经不能满足微扰理论的适用条件，这时以上方法就显的尤为重要。11 周世勋.量子力学教程(第二版)M .北京:高等教育出社,2009:29-34，118-124.22 胡先权，许 杰，马 勇，殷 霖.高次正幂与逆幂势函数的叠加的径向薛定谔方程的解析解J.物理

31、学报.2007，56（9）：5060-5065.33 胡先权，罗 光，马 燕，崔立鹏.幂函数叠加势的径向薛定谔方程的解析解J.物理学报.2009，58（4）：2168-2173.44 王竹溪，郭敦仁.特殊函数论M .北京:北京大学出版社,2000:65-68. 134 4 非线性数学物理方程的基础探析非线性数学物理方程的基础探析非线性现象是现代科学技术发展的重要特征之一。在实际生活中遇到的很多问题往往都是非线性的，非线性现象无处不在，如浅水波在狭窄河道中的传播、固体在高温或低温条件下的热胀冷缩现象、粒子或晶格非简谐振动和非线性等离子振荡等等，其应用己经深入自然科学和工程技术的不同学科，包括非线

32、性光学、光纤通信、流体力学、原子物理、天体物理、量子场理论、生命科学和高分子材料等等1。非线性科学是在综合各门以非线性为基本特征的科学研究基础上逐步形成和发展起来的，目的在于揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律的一门跨学科的综合性、边缘性、交叉性科学，己成为当自然科学的前沿学科2。非线性现象中蕴含着大量的非线性系统，而描述这些非线性系统的是非线性发展方程，它能否较好地描述了非线性系统的本质?它所揭示的系统运动规律是如何演化的？诸如此类问题的解决都涉及到对非线性发展方程解的研究。通常，对方程的研究大致分为定性研究和定量研究两类，对非线性发展方程解的研究先分析解的存在性、唯一性和稳定性，如

33、果方程可解，可以借助于计算数学理论和计算机技术进行数值求解，也可以应用某种数学技巧和假设来构造适当的变换，对方程进行化简，进而求得某些解析解。尽管各种方法的切入点不同，但它们都是在探索非线性发展方程解的演化规律中推动着非线性科学的发展。本章从非线性科学的基础出发，对非线性薛定谔方程、Lorenz 混沌方程以及 KdV 方程加以分析总结，并作出了基础的探索。l黄景宁，徐济仲，熊吟涛.孤子:概念、原理和应用M.北京:高等教育出版社，2004，1-182李士勇.非线性科学与复杂性科学M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2006，1-3094.14.1 非线性薛定谔方程及其分步傅里叶法求解非线性薛定谔方

34、程及其分步傅里叶法求解非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equa-tion，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于 1926 年提出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数 (x，t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。基于此，本节对非线性薛定谔方程的基本形式加以分析，并应用分步傅里叶法对非线性薛定谔方程进行了数值计算。一般形式的非线性薛定谔方程分析一般形式的非线性薛定谔方程分析非线性薛定谔，简称NLSE，是描述非线性波调制（即非线性波包）的方程，其

35、一般形式为1： 142220uuiu utx （4.1.1）而在非线性光学中，同时考虑光纤的色散和非线性效应，应用麦克斯韦方程建立的光纤中的光脉冲传输所服从的薛定谔方程的基本形式为2：2220ixt （4.1.2）这里我们仅对（4.1.1）进行讨论，而对于光学中的非线性薛定谔方程我们在下节进行数值讨论。从（4.1.1）中可以看出NLSE有单频解： expuAi kxwt其中A、k和w分别为平面波得振幅、波数和频率，上式带入NLSE可得色散关系：22wakA其与线性波不同的是，上述色散关系与振幅A有关。同时可得群速度（能量传播速度）：2gdwcakdk与振幅A无关。因NLSE的非线性项描述非线性

36、的调制作用，在此我们求其包络形式解： ,expu x ti kxwt ；（xct）将其带入NLSE得：2220aiakcwak 通常为实函数，故选择2gccak，将上式简化。在简化方程两边乘dd得到：2242awakh 其中h为积分常数。令2wak ，分三种情况对上式的解进行讨论：（1）0 ；0a，得到周期解： 1022,1sn 15其中sn椭圆正弦， 121a ，模数由式21a 决定。当1时，上式变“冲击波”解： 10tanh1 （2）0 ；0a，得到周期解： 30230,2,2cnsn 其中cn椭圆余弦， 32，模数由式22a决定。当1时，上式变“孤波”解： 302csch1 （3）0 ；

37、0a，得到周期解： 2022,2dn 其中221dnk sn， 222a，模数由式22a决定。当1时，上式变“孤波”解： 20022sech1secha 由此即可得到： 02sechexp i kxwta 上式称为NLS方程的包络“孤立波”解。显然其振幅为：2a 16因此22a，由的定义，可得包络“孤立波”解的色散关系为：2222awakak1 程建春. 数学物理方程及其近似方法M. 北京: 科学出版社, 2006: 406-429.2 AgrawalGP.非线性光纤光学原理及应用.贾东方，余震虹，等译M.北京:电子工业出版社，2002，4-12非线性薛定谔方程的分步傅里叶解法非线性薛定谔方程

38、的分步傅里叶解法光在介质中的传播满足 Helmhlotz 波动方程，在非线性介质中则满足非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程一般很难求得解析解。可用于非线性薛定谔方程的方法如逆散射方法( IST)1、Darboux 变换2、Backlund变换3、Hirota 双线性导数法4、Painlev 展开方法5等。前面那些努力也仅仅是在一些苛刻的条件下得出的近似解，而对于多光束共同传输则更显得束手无策。所以想要更深入地了解光孤子的传输行为还得依靠数值计算的方法。在这里本文用的是分步傅里叶算法，分步傅里叶法(Split step fouier method)是模拟光束传输最常用的数值算法，它的原理很简单。

39、对于求解光学非线性波动方程也十分有效。本节将从最基本的非线性薛定谔方程出发，介绍分步傅里叶法在时间光孤子的求解原理，并用 MATLAB 编程对时间光孤子进行数值模拟。描述光孤子的 NLS 方程如下6：222222AiAiAA AzT 其中,A z T 为脉冲包络的振幅，等号右边第一项描述光波在光纤中传播的吸收，第二项描述群速色散（GVD） ，第三项描述光纤的自相位调制（SPM）非线性光学效应，反映光纤的损耗，2是 GVD 参量，是 SPM 的非线性参量，此方程忽略了高阶非线性效应。引入一个相对于初始脉冲宽度的0T的归一化时间量和归一化的振幅,U z，并忽略掉吸收损耗，就得到简化的描述时间光孤子

40、的 NLS 方程： 222221sgn2UUiN U U 17其中0AUP , DzL，0TT；式中0P是脉冲峰值功率；0T是入射脉冲宽度；参数N定义如下为22002DNLPTLNL。以上介绍了时间光孤子的基本 NLS 方程，下面我们用分步傅里叶法对此方程加以分析。分布傅里叶法就是将光脉冲在光纤中的传播一段距离时 分两步进行计算，也就是让色散和非线性各自独立起作用7，8，这样NLSE 就变为：UDN U其中D和N是差分算符，N代表非线性项，D代表色散项，即： 222221sgn2NiN U UUDi 通常情况下，光纤的色散和非线性效应是同时作用的。假定光脉冲从传输第一步只考虑色散作用令0N ，

41、第二步只考虑非线性作用，方程中的0D ，这样分步对各类进行考虑。直观地解释了分步傅里叶方法：图 1. 用于数值模拟的对称分步傅里叶方法示意图9先令0N ，则方程变为： 2221sgn2UUi 对其进行傅里叶变换就得到： 18 221sgn2Ui iU 以上方程就变为常微分方程，解此方程得：22,0,iUUe 再对其进行逆变换就得到：22,0,iUF eF U 在令0D ,利用同样的方法可以得到：220,2,0,UiNUF eF U 由此即可求出 NLS 方程的数值解，下面我们利用 MATLAB 编程对其进行求解，图形如下（其中 2sgn1 ，21N ，步长32/1024h ）：-5-4-3-2

42、-101234500.51Normalized TimeNormalized Power-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.500.51Normalized FrequencySpectral Power-5-4-3-2-101234500.20.40.6Normalized TimeNormalized Power-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.500.511.52Normalized FrequencySpectral Power图 1. 0输入初始情况 图 2.分步傅里叶计算32结果虽然分步傅里叶方法比较简洁，但需谨

43、慎选择和的步长，以保证其精度。对于给定的光纤，步长只有同时小于色散和非线性长度，计算结果才有意义1Manakov S V. On the theory of two-dimensional stationaryJ. Sov Phys JETP, 197438: 248-253.2Chen H H. General Derivation of Bcklund Transformations from Inverse Scattering ProblemsJ. Phys Rev Lett, 1974, 33 (15): 925-928.3Wahlquist H D, Estabrook F B.

44、Bcklund Transfor mati on for Soluti ons of the Korteweg2 19de Vries Equati on J. Phys Rev Lett, 1973, 31 (23):1386-1390.4Hirota R. Exact Soluti on of the Korteweg-de Vries Equation forMultiple Collisions of Solitons J. Phys Rev Lett, 1971, 27 (18): 1192-1194.5Weiss J, TaborM, Carneval G. The Painlev

45、 property for partial differential equationsJ. J Math Phys, 1983, 24: 522-526.6李淳飞. 非线性光学M. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2005: 168-188.7李均，黄德修，张新亮. 光纤传输模型的数值计算研究J. 光电子技术与信息，2003,16（2）：9-12.8李莹，崔庆丰. 基于分步傅里叶变换法对非线性薛定谔方程的数值仿真J. 长春理工大学学报（自然科学版） ，2011,34（1）：43-45.9AgrawalGP.非线性光纤光学原理及应用.贾东方，余震虹，等译M.北京:电子工业出版社，2002，4

46、-1214.24.2 LorenzLorenz 混沌系统的分析及绘图演示混沌系统的分析及绘图演示由于混沌具有伪随机性、对初始值敏感等特性,且可以控制和同步,使得它在诸如保密通信、信息加密等工程领域具有广阔的应用前景,而混沌应用都需要混沌信号,由此激发了人们对混沌系统以及混沌系统电路实现的研究兴趣,并成为近年来非线性学科的研究热点之一.本节对Lorenz基本混沌系统加以分析，对今年来研究比较多的混沌系统做了相关介绍，并结合相关数学知识对新的混沌系统做了相关探索。LorenzLorenz 方程的数学分析方程的数学分析Lorenz方程如下所示1:xa yxycxxzyzxybz （其中参数a，b，c

47、均为正数） ；同时Lorenz方程有如下性质：（1）对称性；（2）z轴不变形；（3）耗散性和吸引性（其中耗散性可以通过相空间容积变化率1求得） 。下面就参数c的不同变化范围以及数值绘图的形式讨论Lorenz方程轨线的状态：（1）当01c时，原点00,0,0S 是方程的唯一平衡点，取李雅普诺夫函数：22212Vxayaz，而22221122acacVxyxyabz ，因V定正、V定负，原点 200S是渐近稳定的。在文献2中令Lorenz微分方程为0，得出同样的结论。1 王高雄，周之铭，朱思铭，等. 常微分方程M. 北京: 高等教育出版社, 2006: 315-322.2 孙雨. Lorenz 混

48、沌系统的同步控制及实验研究D. 西安电子科技大学 2009: 12-16. 在原点0S线性Lorenz方程得系数矩阵3001000aaAcb其特征根为1b ，22,3111412aaac。（2）当1c 时，原点0S仍为Lorenz方程的唯一平衡点。但此时10，20，30，出现叉式分支，原点0S不稳定。（3）当1c 时10，20，30，有三个平衡点00,0,0S，1 ,1 ,1Sb cb cb c，1 ,1 ,1Sb cb cb c，显然S 和S 关于z轴对称。 考虑在平衡点处线性化Lorenz方程，可求的其特征方程为：321210abb acab c由于1c ，特征方程系数均大于0，实特征根必

49、为负根。此时得平衡点S ，S渐近稳定的条件是：1ab，1c 或者1ab，01cc（其中031a abcab）当01cc时，特征方程有一对共轭纯虚根，出现Hopf分支；当01cc 时，特征方程有一负实根和一堆共轭负特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点成为鞍焦点。 21做了相关介绍，并结合相关数学知识对新的混沌系统做了相关探索。LorenzLorenz 方程数值计算及图形分析方程数值计算及图形分析本节应用MATLAB数值方法绘出了Lorenz方程处于不同状态时的空间图形，给出了各空间轨迹随时间的演化并作出了相关分析：（1）1c -2024681012-0.500.511.522.

50、533.5xz00.511.522.533.544.5-0.500.511.522.533.5yz-202468101200.511.522.533.544.5xy 图 1-1 无对流定态空间轨迹：参数10a ，83b ，0.5c ；初值12x ，4y ，0z 。此时 Lorenz 所有轨线趋于原点。050100150200250300350400450-2024681012tx05010015020025030035040045000.511.522.533.544.5ty050100150200250300350400450-0.500.511.522.533.5tz图 1-2 空间轨迹随

51、时间的演化：参数与初值同上。从图 2 可以看出，随着时间的推移，空间各坐标趋于平衡，从图中可以看出其平衡点为0,0,0 ；当参数一定时，所耗时间与初值, ,x y z 有关，在此不予讨论。（2）0113.92624.7368cc00.511.522.533.544.550123456xz-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500123456xz-5-4-3-2-10123450123456ZX 22 （a） （b） （c）图 2-1. 参数10a ，83b ，5c ，由原点出发的两条轨线各自分别趋于两平衡点（如（a） （b）所示） ，从（c）中可以看出 Lorenz 方程

52、的对称性。050100150200250300350400450500-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50tx050100150200250300350400450500-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50ty0501001502002503003504004505000123456zt图 2-2 参数同上，从图中可以看出，随着时间的推移，各空间坐标趋于平衡，从图中可以清晰的得到其平衡点坐标，由理论知01cc时平衡点是稳定的，平衡点是否稳定也可以通过此图形来描述（后文对其分析） 。同样可以看出各坐标随时间的变化阻尼振动的曲线类似，考虑是否可以

53、得出 Lorenz 方程在振动区域的解析解？（3）13.926c -15-10-50510150510152025xz-15-10-50510150510152025xz图 3-1. 参数10a ，83b ，13.926c ，出现同宿轨0100200300400500600700800-15-10-5051015tx 0100200300400500600700800-15-10-5051015ty 01002003004005006007008000510152025tz图 3-2. 同宿轨的轨迹随时间的演化（从中可以看出振荡次数增加了很多，解释）（4）13.926c 23-40-30-20

54、-1001020304050020406080100120140160180200 xz-80-60-40-20020406080100020406080100120140160180200yz-40-30-20-1001020304050-80-60-40-20020406080100 xy -40-200204060-100-50050100050100150200 xyz图 4-1. 参数10a ，83b ，100c ，出现混沌现象；初值0.3,0.1,0 图 4-2. 初值的微小变化对结果产生很大的影响；参数同上，初值分别为0.3,0.1,0和0.2,0.1,0。4.34.3 KdVK

55、dV 方程的有限差分法方程的有限差分法KdV 方程是最早被发现的有孤立性质的非线性发展方程，可以用来描述不同类型的物理现象(如等离子体中的 MHD 波、离子波等 )。许多物理学家和数学家对研究 24KdV 方程的解法产生了极大的兴趣，他们相继提出了许多解决这类方程的分析解法和数值解法1-2。Zabusky 等最早用有限差分格式求解了 KdV 方程3，本节在上述研究成果的基础上，利用有限差分法对基本的 KdV 方程进行了数值模拟，并作出了相关分析。KdV 方程的基本形式如下4：60txxxxuuuu对其进行行波变换 u ，其中xct，利用条件 时 0 ，可得到用双曲函数表示的孤波解：20sec2

56、2ccuxcthxct 下面我们利用有限差分法对 KdV 方程进行数值模拟。有限差分法的差分格式如下5：11112211232222iixiiixxiiiixxxuuuxuuuuxuuuuux和112jjtuuut利用以上差分格式，并设定初值，即可应用 MATLAB 对 KdV 方程进行数值计算。 1李向正，闫杰生. KdV 方程的一种新解法J.河南科技大学学报:自然科学版 ,2005,26(3): 73.2彭点云. KdV 方程的多点格式方法 J.数值计算与计算机应用 ,1998(4): 241.3ZabuskyN J，KruskalM D. Interaction of solitons

57、in a collisionless plasma and the recurrence of inital states J.Phys Rev Lett，1965(16): 6.4程建春.数学物理方程及其近似方法M.北京:科学出版社, 2004: 406-429.5施吉林，刘淑珍，陈桂芝. 计算机数值方法M.北京:高等教育出版社,2009：164-199. 255 5 由结果构造新型数学物理方程的探索由结果构造新型数学物理方程的探索数学物理方程主要是物理问题中所涉及到得微分方程，在当前的研究中，科研工作者往往根据实际的物理问题建立合适的数学模型，由此得到数学物理方程，再对其进行数学分析求解，

58、而数学物理方程的求解往往是比较复杂的，没有现成的章法可循。本章首先从数学物理方程的解的形式出发，对微分方程解的结构进行分析，归纳出了一类变系数微分方程解的形式，并由此构造了变系数微分方程；然后归纳了前沿科学领域比较活跃的孤子解的形式，对其进行了分析，并从解的结构出发，构造了部分非线性数学物理方程；最后从图形的角度分析，利用傅里叶级数方法，讨论了图形的函数构造方法，并进一步探索了黑体辐射公式的得出。5.15.1 系数为系数为x的幂级数形式的变系数微分方程的构造及分析的幂级数形式的变系数微分方程的构造及分析在文献1中讨论了常系数齐次线性微分方程解的求解方法，方程如下：0ypyqy在求解微此微分方程

59、时，考虑到指数函数rxye和它的各阶倒数都只差一个常数因子，应用指数函数的这个特点，选择适当的常数r 就可以就可以求出此微分方程的通解。对于高阶常系数齐次线性微分方程，这种方法同样适用。而在很多物理问题中，变系数微分方程更为普遍，例如量子力学中的定态薛定谔方程2，电动力学中的 Helmholtz 方程3等等。这里我们将指数函数与幂级数结合，讨论系数为x的幂级数形式的变系数微分方程加以分析。二阶变系数微分方程如下： 0yf x yg x yh x其中 f x、 g x和 h x均为x的幂级数形式，对于 0h x 形式的非齐次微分方程求解需要考虑 h x 的结构，比较复杂，这里仅考虑的形式。考虑到

60、指数函数krxye和它的各阶倒数都只差一个关于x的幂级数，现在假设一变系数二阶微分方程有形如：krxye（r 和k为待定系数） 26的解，对上式分别求一阶和二阶导数：11kkrxkyrkxerkxy 22212111kkkrxkrxkkyrk kxerkxerk kxyrkxy 基于此可将二阶齐次微分方程： 221110kkkrk kxrkxf xrkxg x即： 21222110kkkrk kxr k xf xrkxg x从中可以看出，只要满足x的相同幂级数的系数和为 0，即可得到对应的微分方程。例如取2k ，上式化简为： 222420rr xrf x xg x任意构造函数 f x和 g x