二次函数最大面积问题

1、 （2 2）求函数）求函数y yx x2 2+2x+2x3 3 （0 x 30 x 3）的最值。）的最值。（一）思前想后（一）思前想后 注：注： 1。自变量。自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取的取值范围为一切实数，顶点处取 最最 值。值。 2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。有取值范围的在端点或顶点处取最值。 x= -1,y最小最小= -4 x=2,y最大最大=4例例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。

2、(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围。的函数关系式及自变量的取值范围。ABCDx244x(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花米，则求围成花圃的最大面积。圃的最大面积。例例2 2：如图在如图在ABCABC中，中，AB=8cm,BC=6cmAB=8cm,BC=6cm，B B9090点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，厘米秒的速度移动，点点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米

3、秒的速度厘米秒的速度移动，如果移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，同时出发，几秒后几秒后PBQPBQ的面积最大？的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？ABCPQ2cm/秒秒1cm/秒秒解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x秒秒后后PBQPBQ的面积的面积ycmycm2 2AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm则则 y=1/2 x（8-2x）=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4 当当P、Q同时运动同时运动2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4 cm2（0 x4）ABCP

4、Q2cm/秒秒1cm/秒秒a0， 抛物线开口向下抛物线开口向下例例3、如图，在如图，在ABC中，中，HGBC，ADBC，BC=160cm ,AD=120cm,(1)设矩形设矩形EFGH的长的长HG=y,宽宽HE=x,确定确定y与与x的函的函数关系式；数关系式；（2）当）当x为何值时，矩形为何值时，矩形EFGH的面积的面积S最大？最大？（四）课堂小结（四）课堂小结 1.对于面积最值问题应该设图形一边长为自对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数建立二次函数的模型变量，所求面积为函数建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数要注意函数的

5、的自变量的取值范围自变量的取值范围。 2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要符合实际题意，要符合实际题意，要注意数与形结合注意数与形结合。1.在一幅长在一幅长60 cm，宽，宽40 cm的矩形风景画的四周的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边，设金色纸边的宽度为的宽度为x cm，那么，那么y关于关于x的函数是的函数是( ) A.y=(60+

6、2x)(40+2x) B.y=(60+x)(40+x) C.y=(60+2x)(40+x) D.y=(60+x)(40+2x) 在矩形荒地在矩形荒地ABCDABCD中，中，AB=10AB=10，BC=6,BC=6,今在四边上分别选取今在四边上分别选取E E、F F、G G、H H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=xAE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？计，可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为解：设花园的面积为y则则 y=60-x2 -（10-x）（）（6-x）=-2x2 + 16x（0 x6）=-2（x-4）2 +

7、32所以当所以当x=4时时 花园的最大面积为花园的最大面积为322、一块三角形废料，如图，、一块三角形废料，如图，A=30，C=90，AB=12，用这块废料剪出一个长方形，用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，其中，点点D、E、F、分别在边、分别在边AC、AB、BC上，要使剪出上，要使剪出的长方形的长方形CDEF的面积最大，点的面积最大，点E应选在何处？应选在何处？如图，某村计划修建一条水渠，其横断如图，某村计划修建一条水渠，其横断面是等腰梯形，底角为面是等腰梯形，底角为120120，两腰与，两腰与底的和为底的和为6m,6m,问应如何设计，使得横断问应如何设计，使得横断面的面积最大？最大面积

8、是多少？面的面积最大？最大面积是多少？拓展延伸拓展延伸如图，某公路隧道横截面为抛物线，其中最大高度为如图，某公路隧道横截面为抛物线，其中最大高度为6m，底部宽度底部宽度OM为为12m，现以，现以O点为原点，点为原点，OM所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系。（轴建立直角坐标系。（1）直接写出点）直接写出点M及抛物线顶点及抛物线顶点P的的坐标。坐标。 （2）求出这条抛物线的解析式。）求出这条抛物线的解析式。OAB MCPDxy(3)若要搭建一个矩形若要搭建一个矩形“支撑支撑架架”AD-DC-CB“，使，使C、D点点在抛物线上，在抛物线上，A、B点在地面上点在地面上OM上，则这个上，则这个“支撑架支撑架”的的总长的最大值是多少？总长的最大值是多少？二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（04杭州）（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；2xy1B1AO54（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C， 当AMC的面积为ABC的 倍时，求a的值。-1a0如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方