求离心率的取值范围解题策略

1、求离心率的取值范围策略圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L(F不在定直线L上)的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率；：'；：，双曲线的离心率:;，抛物线的离心率壬。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率范围。利用曲线的范围，建立不等关系例1.设椭圆FIN"的左右焦点分别为：、E,如果椭圆上存在点P,使一厂，求离心率e的取值范围。解：设尸(心刃因为/片FF：=9呼，所以PF、丄F&如烁=一1将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得工刃严但由椭圆范围及凸尸玛=9CT4no<3r1a

2、2c2-a2b22?PO<5ls得c2閔艮FA应-只A2<a从而得仝出>=-<!a2(2所四日¥je的取1(jJA0,0A0)例2.双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率值范围。解：设：在双曲线右支上，它到右焦点的距离*:等于它到左准线的距离.际l_.=MN'M(1十叭、苑=工a旷_总1忑三召£14血又总>11<1+二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系例3直线L过双曲线宁-二-：的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。求双曲线离心率的取值范围。解：如图1，

3、若-，贝UL与双曲线只有一个交点；若则L与双曲线的两交点均在右支上,则L与双曲线的两交点均在右支上,v->>2a,b2>4a2,c2>5a2aa例4.已知Fi、F2分别是双曲线-討的左、右焦点，过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、AF2BB两点。若ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。解：如图2,因为ABF2是等腰三角形，所以只要/角即可，即/AF2Fi<45°则俎三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系例5已知双曲线I：1的左右焦点分别为7【，点P在双曲线的右支上，且-J''I,求此双曲线的离心率e的取值范围。2解

4、：因为P在右支上，所以"I-"-又7得八"'_所以-又：'例6已知双曲线-的左、右焦点分别是Fi、F2,P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PFi|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。2闻KI解：由题意得I网八I缪卜已卜啊。又因为P在右支上，所以凸卜阴|=2PES碍昭=兰na|尸巧1上£口得Zf-氛即2r-1,-11四、利用判断式确定不等关系例7例1的解法一：解：由椭圆定义知|昭卅再|=加n|F对+|网“2|閃|W沪心又由纠P九=、卸lf出码冷码尽"4云则可得|砒|P耳|二2（/-凸这样，|昭

5、|与冯|是方程-2«»+2-?）=0两个实根,因此A=4-82-c2）02Ca1n电=川2二小乎因此总乱1）盲-宀血0）例8设双曲线与直线-相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。解:解得0as吃且"1的取值范IS是（半八/5）q（J5,p）通过以上各例可以看出，在解决求圆锥曲线离心率的取值范围”的问题，若能根据题意建立关于a、b、c的不等式，即可转化为关于e的不等式进行求解。练习2x21、设椭圆a1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A、B,若椭圆上存在一点Q,使/AQB=120V3o,求椭圆离心率e的取值范围。（2e<

6、1).2x22、设椭圆a2yb21（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q,使/F1QF2=120o,求椭圆离心率e的取值范围。（一63e1)3、椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P、Q两点，且0P丄OQ,、51求椭圆的离心率e的取值范围。（2e1)。4、（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当"4时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为也/-=l(a>0,b>0)b，设蛆7心E©呼C牙h）、其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得两式整理得，从而建立函数关系式+2，由已知33一*笃得，厂+25、已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中