概统第十二章假设检验第二节正态总体显著性水平

1、ch8-1三、三、 正态总体的显著水平检验正态总体的显著水平检验拒绝域的推导拒绝域的推导设 X N ( 2)，2 已知，需检验：H0 : 0 ； H1 : 0构造统计量 ) 1 , 0(0NnXZ给定显著性水平与样本值(x1,x2,xn )一个正态总体一个正态总体（1 1）关于）关于 的检验的检验ch8-2P(拒绝H0|H0为真)0H0H)(00kXP)(00kXPH)(00nknXPH)u(2010nXPHnk21u取所以本检验的拒绝域为0：21uZZ 检验法ch83 x o21 u21 ux22图示图示12-1为为Z检验法的拒绝域检验法的拒绝域(双侧双侧)ch8-4 0 0 0 0 021

2、uZ1uZ1uZ) 1 , 0(0NnXZZ Z 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域ch85 例例1 假定某厂生产的一种钢索的断裂假定某厂生产的一种钢索的断裂强度强度 ，单位：，单位： 。 从一从一批该产品中任选一个容量为批该产品中任选一个容量为 9 的样本，经计的样本，经计算得算得 ，能否据此样本，认为这，能否据此样本，认为这批钢索的断裂强度为批钢索的断裂强度为240,NX2/cmN2/780cmNx ?05. 0/8002cmNch86 解解 由题中所给条件，可知这是一个正态由题中所给条件，可知这是一个正态总体，且方差已知

3、总体，且方差已知 ，对均值，对均值 是否是否等于等于 800 进行检验的问题。即检验假设进行检验的问题。即检验假设2240.800:;800:10HH1,0940800NXZ对于显著性水平对于显著性水平 ，查正态分布表得，查正态分布表得05. 00H为真时，统计量为真时，统计量ch87，因此检验的拒绝域为，因此检验的拒绝域为96. 1975. 012uu.96. 1ZR计算统计量计算统计量 U 的观察值的观察值.5 .1940800780940800Xz因为因为 ，故接受原假设，故接受原假设 。96. 15 . 1z0H2/800cmN即认为这批钢索的平均断裂强度为即认为这批钢索的平均断裂强度

4、为是可以接受的。是可以接受的。ch88 上述检验中的拒绝域上述检验中的拒绝域 是双是双侧的即侧的即 或或 ，也即统计量，也即统计量 Z 落入落入 和和 的概率之和为的概率之和为 21uZW21 uZ21uZ),(21u),(21u 实际应用中，有时只关心总体均值是否实际应用中，有时只关心总体均值是否增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题22因此检验称为双侧检验。因此检验称为双侧检验。ch89是在新工艺下，总体均值是在新工艺下，总体均值 是否比原来总体是否比原来总体 .:;:

5、0100 HH.:;:0100 HH类似于前面的讨论，用统计类似于前面的讨论，用统计下面我们只考虑后者的情形。下面我们只考虑后者的情形。 在同一显著性水平在同一显著性水平 下的检验法是一样的。下的检验法是一样的。可以证明，它和假设检验问题可以证明，它和假设检验问题均值大，即要检验假设均值大，即要检验假设ch810量量 Z ，对于检验水平，对于检验水平 ，查正态分布表得，查正态分布表得 1uZP（1）1uZW（2）该检验称之为右方单侧检验。该检验称之为右方单侧检验。如图如图122所示，由（所示，由（1）式得检验的拒绝域为）式得检验的拒绝域为 1u使使ch811类似地，检验假设类似地，检验假设.:

6、;:0100HH 11uu由于由于 ，使统计量，使统计量对于检验水平对于检验水平 ，查正态分布表得，查正态分布表得 ， 1u x o1ux图图122ch812如图如图123所示，由（所示，由（7）式得检验的拒绝域为）式得检验的拒绝域为.1uZW（4）1uZP（3）Z 满足满足 x o1ux图图123ch813该检验称之为左方单侧检验。该检验称之为左方单侧检验。 x 例例2 某种电子元件，要求使用寿命不某种电子元件，要求使用寿命不得低于得低于1000 h 。现从一批这种元件中随机。现从一批这种元件中随机抽取抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的

7、寿命，设该元件的寿命 在在 的检验水平下，确定这批元件是的检验水平下，确定这批元件是否合格？否合格？,100,2NX05. 0 05.0 本例是单侧检验问题。即在本例是单侧检验问题。即在下，检验假设下，检验假设解解ch814计算统计量计算统计量 Z 的观察值的观察值.1000:;1000:10HH.645. 195. 01 uu 645. 1 ZW. 5 . 225100100095000 nxu 05. 0 对于对于 ，查正态分布表得，查正态分布表得645. 195. 095. 01uuu因此，因此，从而该检验的拒绝域从而该检验的拒绝域ch81595. 0645. 15 . 2uz由于由于0

8、H故拒绝原假设故拒绝原假设认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。 0 0 0 021 tT 01tT1tT) 1(*0ntnSXTT T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域ch817nxt;o21t21tx22图示图示12-4为为t检验法的拒绝域检验法的拒绝域(双侧双侧)ch818 例例1 从经验知，灯泡的寿命服从正态分从经验知，灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取布，现从一批灯泡中随机抽取 20 个，算得个，算得平均寿命平均寿命 ，样本标准差，样本标准差检验该批灯泡的平均寿命是

9、否为检验该批灯泡的平均寿命是否为2000h ？hx1900 hs490 01. 0 总体均值总体均值 是否为是否为2000h 的检验问题。因此的检验问题。因此 .2000:;2000:10HH采用采用 t 检验法进行检验。要检验假设检验法进行检验。要检验假设解解 这是一个正态总体，方差未知，对这是一个正态总体，方差未知，对ch819对于检验水平对于检验水平 。因为自由度。因为自由度 ，01. 0 191 n.8609. 2TW由样本均值由样本均值 及样本标准差及样本标准差 ，hx1900 hs490*.9126. 02049020001900*0nsxt从而检验的拒绝域为从而检验的拒绝域为计算

10、计算T 的观察值为的观察值为 .8609. 2191995. 012 tnt 由由 t 分布表查得分布表查得ch820由于由于 即即 ，故接受假，故接受假设设 ，即可以认为该批灯泡的平均寿命为，即可以认为该批灯泡的平均寿命为2000h。.8609. 29126. 0tWt 0H样本均值样本均值 ，样本标准差，样本标准差2/4 .10631cmNx 根弦线作抗拉试验，由测得的抗拉强度算得根弦线作抗拉试验，由测得的抗拉强度算得2/cmN。今新生产了一批弦线，随机抽取。今新生产了一批弦线，随机抽取10长期以来，其抗拉强度的总体均值为长期以来，其抗拉强度的总体均值为 10560例例2 某厂生产乐器用的

11、一种镍合金弦线，某厂生产乐器用的一种镍合金弦线，ch821./00.812cmNs 设弦线的抗拉强度服从正态设弦线的抗拉强度服从正态分布。问这弦线的抗拉强度是否较以往生产分布。问这弦线的抗拉强度是否较以往生产的弦线的抗拉强度为高的弦线的抗拉强度为高 ？ 05. 0 解解 本例是单侧检验问题，在本例是单侧检验问题，在 下，下，05. 0 .10560:;10560:010HH自由度自由度 ，由，由 t 分布表查得分布表查得91 n ,8331. 19195. 01 tnt 检验假设检验假设ch822及及 ，计算，计算T 的观察值为的观察值为10 n因此，该检验的拒绝域为因此，该检验的拒绝域为使使

12、.11ntTP.8331. 1TR.7874. 21081105604 .10631*0nsxt由于由于 及及 T 的观察值落在拒的观察值落在拒8331. 17874. 2t./00.812*cmNs2/4 .10631cmNx 由由ch823绝域绝域 R 中，故拒绝中，故拒绝 ，即接受，即接受 所以所以0H.1H可认为这批弦线在抗拉强度方面有显著提可认为这批弦线在抗拉强度方面有显著提高。高。ch8-24 2 02 2 02)(212n 2 02) 1(212n 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. ch8-3

13、5取统计量) 1() 1(2202*2nSn拒绝域 R：415.366 .3900040. 000066. 02420落在R内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于改革前, 因此下一步的改革应朝相反方向进行.415.36)24(295. 02ch8-36设 X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 , Xm ), ( Y1, Y2 , Yn ) 样本值 ( x1, x2 , xm ), ( y1, y2 , yn )显著性水平 二正态总体情形二正态总体情形ch8-371 =2( 12，22 已知) 1 , 0(2221Nn

14、mYXZ21uZ1uZ(1) (1) 关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检验的检验1uZ1 21 21 21 21tT1tT)2(11mnTSnmYXTw22221mnnSmSSw其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1 21 2ch8-39例例2 2 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:n = 155689. 012.2122sy19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2

15、 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3m = 94225. 020.2221sx21.2 21.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.2ch8-40 试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关 ( ).05. 0解解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取统计量) 2(11mnTSnmYXTwch8-41718. 022221mnnSmSSw拒绝域 R：074. 2)22(975. 0tT074. 2568. 30T统计量值 . 落在R内,拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.ch842 例例2 对于对于 A、B 两批无

16、线电元件的电阻两批无线电元件的电阻进行测试，各随机抽进行测试，各随机抽 6 件由测得结果计算得件由测得结果计算得,1075.0,1385.0,1405.0521 syx.1071. 0522 s根据经验，元件的电阻服根据经验，元件的电阻服从正态分布，已知两总体方差相等。能否从正态分布，已知两总体方差相等。能否认为该两批元件的电阻无显著差异认为该两批元件的电阻无显著差异 ？05. 0ch843 解解 两批元件的电阻有无显著差异就两批元件的电阻有无显著差异就是说两个总体均值是说两个总体均值 是否相等。即检是否相等。即检验假设验假设21,.:;:211210 HHch844.2281.2TR对于检验

17、水平对于检验水平 。因为。因为 ，05. 0621nn由题中给出的由题中给出的 及及 ，求，求,21syx22sT 的观察值的观察值因此，该检验的拒绝域为因此，该检验的拒绝域为.05. 02281. 2TP使使.2281. 21012975. 012tnt由由 t 分布表查得分布表查得ch845,28. 161071. 01075. 01385. 01405. 0552221nssyxt由于由于2281. 228. 1t即即 ，因此，因此 ，Rt 接受原假设接受原假设 即认为两批元件的电阻无显即认为两批元件的电阻无显著差异。著差异。0H 例例3 从两处煤矿各抽样数次，分析其从两处煤矿各抽样数次

18、，分析其含灰率（含灰率（%）如下：）如下：甲矿：甲矿： 24.3, 20.3, 23.7, 21.3, 17.4乙矿乙矿: 18.2, 16.9, 20.2, 16.7ch846假定各煤矿的煤含灰率都服从正态分布，且假定各煤矿的煤含灰率都服从正态分布，且方差相等。问甲、乙两矿煤的含灰率有无显方差相等。问甲、乙两矿煤的含灰率有无显著差异著差异 ？05. 0 解解 根据题意，设甲矿煤的含灰率根据题意，设甲矿煤的含灰率 乙矿煤的含灰率乙矿煤的含灰率 。 211, NX 222, NY.:;:211210 HH要检验假设要检验假设对于检验水平对于检验水平 。因为。因为05. 0, 4, 521nnch

19、847由由 t 分布表查得分布表查得 ,3646. 272975. 02112 tnnt .3646.2TR.05. 03646. 2TP使使所以该检验的拒绝域为所以该检验的拒绝域为由样本值计算得：由样本值计算得：,02.301,0 .18,5 .21211snyx,778. 71222sn由式得由式得 T ch848的观察值的观察值.245. 241517707802.300 .185 .21t由于由于3646. 2245. 2t。即。即 ，因此，因此 ，Rt 接受原假设接受原假设 即认为两矿煤的含灰率无显即认为两矿煤的含灰率无显0H著差异。但是由于著差异。但是由于 2.245 与临界值与临界值 2.3646重作一次试验。重作一次试验。比较接近，为稳妥起见，最好再抽一次样，比较接近，为稳妥起见，最好再抽一次样，ch8-49接受域置信区间1假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验