函数零点问题

1、 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . xy01xy011|aa变式：（08湖北卷13）方程的实数解的个数为 3,212xxgxfxxy031由图可知，原方程有2个解【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖南高考湖南高考) )函数函数f(x)=2lnxf(x)=2lnx的图象与函数的图象与函数g(x)=xg(x)=x2 2-4x+5-4x+5的图的图象的交点个数为象的交点个数为( () )A.3 B.2 C.1 D.0A.3 B.2 C.

2、1 D.0【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为g(x)=g(x)=x x2 2-4x+5=(x-2)-4x+5=(x-2)2 2+1,+1,又当又当x=2x=2时时, ,f(x)=2ln2=ln41,f(x)=2ln2=ln41,在同一坐标系内画出函数在同一坐标系内画出函数f(x)=2lnxf(x)=2lnx与与g(x)=xg(x)=x2 2-4x+5-4x+5的图象如图所示的图象如图所示, ,可知可知f(x)f(x)与与g(x)g(x)有两个不同的交点有两个不同的交点. .1 1.(2014.(2014天津模拟天津模拟) )若函数若函数f(x)=|xf(x)=|x2 2-

3、4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三个不同的零点恰有三个不同的零点, ,则实数则实数a a的值是的值是( () )A.-1 B.- C.1A.-1 B.- C.1或或 D.-1 D.-1或或- - 343434【解析】解析】选选D.D.函数函数f(x)=|xf(x)=|x2 2-4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三个不同的零点恰有三个不同的零点, ,即即|x|x2 2-4x+3|=x+a-4x+3|=x+a有三个不同的解有三个不同的解, ,也就是函数也就是函数y=|xy=|x2 2-4x+3|,-4x+3|,y=x+ay=x+a的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点. .

4、画出函数画出函数的图象的图象, ,观察可知观察可知, ,直线过直线过(1,0)(1,0)或直线与或直线与y=|xy=|x2 2-4x+3|-4x+3|的图象的图象相切时相切时, ,符合题意符合题意, ,实数实数a a的值是的值是-1-1或或- .- .34(1)(2015(1)(2015广州模拟广州模拟) )函数函数f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-1x|-1的零点个的零点个数为数为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.函数函数f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-

5、1x|-1的零点即的零点即2 2x x|log|log0 0.5.5x|x|-1=0-1=0的解的解, ,即即|log|log0 0.5.5x|= x|= 的解的解, ,作出函数作出函数g(x)=|logg(x)=|log0 0.5.5x|x|和函数和函数h(x)= h(x)= 的图象的图象, ,由图象可知由图象可知, ,两函数图象共有两个交点两函数图象共有两个交点, ,故函数故函数f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-1x|-1有有2 2个零点个零点. .x1( )2x1( )2函数函数f(x)=f(x)=则零点的个数如何则零点的个数如何? ?【解析】【解析】当当

6、x0 x0时时, ,令令g(x)=ln x,h(x)=xg(x)=ln x,h(x)=x2 2-2x.-2x.画出画出g(x)g(x)与与h(x)h(x)的图象的图象如图如图: :故当故当x0 x0时时,f(x),f(x)有有2 2个零点个零点. .当当x0 x0时时, ,由由4x+1=0,4x+1=0,得得x=- ,x=- ,综上函数综上函数f(x)f(x)的零点个数为的零点个数为3.3.142ln x x2x,x 0,4x 1,x 0,4.(12分)(2014郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方

7、程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.3.(20143.(2014哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )已知函数已知函数y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)满足满足f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),且当且当x(-1,1x(-1,1时时,f(x)=|x|,f(x)=|x|,函数函数g(x)= g(x)= 则函数则函数h(x)=h(x)=f(x)-g(x)f(x)-g(x)在区间在区间-5,5-5,5上的零点的个数为上的零点的个数为( () )A.8A.8B.9B.9C.10C.10D.11D.11sin x, x 0,1, x 0 x，【解析】【解析】选选B.B.函数函数y=

8、f(x)(xy=f(x)(xR)R)满足满足f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),故故f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),即函数即函数f(x)f(x)的周期为的周期为2,2,作出作出x(-1,1x(-1,1时时, ,f(x)=|x|f(x)=|x|的图象的图象, ,并利用周期性作出函数并利用周期性作出函数f(x)f(x)在在-5,5-5,5上的图象上的图象, ,在在同一坐标系内再作出同一坐标系内再作出g(x)g(x)在在-5,5-5,5上的图象上的图象, ,由图象可知由图象可知, ,函数函数f(x)f(x)与与g

9、(x)g(x)的图象有的图象有9 9个交点个交点, ,所以函数所以函数h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)在区间在区间-5,5-5,5上的零点的个数为上的零点的个数为9.9.(2014(2014长春模拟长春模拟) )已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的周期的周期为为2,2,当当x-1,1x-1,1时时f(x)=xf(x)=x2 2, ,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=|lgx|y=|lgx|的图象的交点的图象的交点共有共有( () )A.10A.10个个B.9B.9个个C.8C.8个个D.1D.1个个【解析】【解析】选选A.A.根据

10、根据f(x)f(x)的性质及的性质及f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的解析式可作上的解析式可作图如图图如图: :当当x=10 x=10时时,|lg10|=1,|lg10|=1,当当1x101x10时时,|lgx|1,|lgx|1,当当0 x10 x0,|lgx|0,当当x10 x10时时,|lgx|1.,|lgx|1.结合图象知结合图象知y=f(x)y=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx|的图象交点共有的图象交点共有1010个个. .2.2.直线直线y=1y=1与曲线与曲线y=xy=x2 2-|x|+a-|x|+a有四个交点有四个交点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是. .【解

11、析】【解析】y= y= 作出图象作出图象, ,如图所示如图所示. .此曲线与此曲线与y y轴交于轴交于(0,a)(0,a)点点, ,最小值为最小值为a- ,a- ,要使要使y=1y=1与其有四个交点与其有四个交点, ,只需只需a- 1a,a- 1a,所以所以1a .1a0.a0.当当a2a2时时, ,在在y y轴右侧轴右侧, ,两函数图象只有一个公共点两函数图象只有一个公共点, ,此时在此时在y y轴左侧轴左侧, ,射线射线y=ax(x0)y=ax(x0)与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-5x-4(-4x-1)-5x-4(-4x-1)需相切需相切. .由由 消去消去y,y,得得x x2

12、2+(5-a)x+4=0.+(5-a)x+4=0.由由=(5-a)=(5-a)2 2-16=0,-16=0,解得解得a=1a=1或或a=9.a=9.a=1a=1与与a2a2矛盾矛盾,a=9,a=9时时, ,切点的横坐标为切点的横坐标为2,2,不符合不符合, ,故故0a2,0a2,此时此时, ,在在y y轴右侧轴右侧, ,两函数图象有两个公共点两函数图象有两个公共点, ,若满足条件若满足条件, ,则则-a-1,-a1,a1,故故1a2.1a x=0, 2f(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0- x=0, 2f(0)=-af(0)=-a为极大值为极大值f(2)=-4-af(2)=-4-a为极小

13、值为极小值当当f(0)0, f(2)0, f(2)0, -4-a0, -4-a0, 即即-4a0-4a0时，有三个不等实根时，有三个不等实根当当f(0)=0, f(2)0f(0)=0, f(2)0, f(2)=0f(0)0, f(2)=0时，即时，即a=0,a=0,或或 a=-4 a=-4时，有两个不等实根时，有两个不等实根( (其中一个其中一个为为2 2重根）因为重根）因为3 3次方程必至少有一个实根，次方程必至少有一个实根，因此因此a0 a0 或或a-4a0 (1) (1) 求求f(x)的单调区间；的单调区间； (2) (2) 若若f(x)在在x= - -1处取得极值，直线处取得极值，直线 y=m与与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求的图象有三个不同的交点，求m的的取值范围取