青岛版八年级上册《几何证明举例》(第1课时)教案

1、几何证明举例?第 1 课时教案 拓展版教学目标知识与技能1证明角、角、边定理 2能灵活运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等 过程与方法 经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验 情感与态度 在证明过程中体会数学的严谨，通过独立解决问题，培养学生勇于探索、团结协作的 精神，积累数学活动经验教学重点 运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等教学难点 灵活运用分析法和综合法教学过程一、自学导入1全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 2全等三角形的判定：3利用根本领实，证明两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 师生

2、活动： 学生预习课本，独立完成之后分小组交流讨论，畅所欲言，教师指导， 答疑解惑学生代表扮演讲解答： 1相等，相等2 1三边分别相等的两个三角形全等；2两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；3两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等；4两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；3. ：如图，在 ABC 和厶 ABC'中，AB = A'B'，/ B = Z B'，/ C=Z C'. 求证： ABC A'B'C'.A'证明：在厶ABC和厶ABC'中，/A+Z B+Z C= 180°，/ A'

3、 + Z B' + Z C' = 180°./A= 180°Z B Z C ,Z A' = 180°Z B' Z C'.vZ B=Z B', Z C =Z C'. Z A=Z A'./ AB= A'B'()， ABCA A'B'C' (ASA ).教师说明：这就是 全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.教师提出问题：(1) 判定两个三角形全等的方法？(2) 证明两个三角形全等的作用是什么？学生自己总结归纳.(1) 根本领实

4、：SSS, SAS, ASA及判定定理 AAS .(2) 用来证明线段相等或者角相等.设计意图：通过学生自主学习，合作探究，根据已学的根本领实来证明，学生进一步 体会几何证明的书写格式，开展学生推理的能力.二、探究新知1. ：如下图， AC= BD , AE = CF , BE = DF .求证： ABECDF .2. BE = CF , AB= DC , AB / CD,求证： ABE DCF .3. ：如下图，/ 1 = Z 2, BD = CE,/ BAC = Z DAE，求证:ABD ACE .师生活动：学生独立完成，板演讲解，师生共同归纳证明三角形全等的思路. 答：1.证明：在 AB

5、E和厶CDF中，/ AC= BD ， AC+ CB = BD + CB 等式的性质，即 AB= DC./ AE= CF，BE= DF， ABE CDF SSS.2. 证明：在 ABE和厶DCF中，TAB/ CD ，/ ABE =/ DCF 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等./ BE= CF，AB= DC ， ABE DCF SAS.3. 证明：在 ABD和厶ACE中，T/ BAC=/ DAE，AC= BD ， / BAC-/ DAC = / DAE / DAC 等式的性质.即/ BAD = / CAE .t/ 1=/ 2，BD = CE， ABD ACE AAS .归纳：要想证明两个三

6、角形全等，需要 3个条件.1两组边分别对应相等.一夹角，利用SAS;一边，利用SSS.2一边一角分别对应相等，还需1个任意的角，利用 AAS或ASA .设计意图：通过练习，感受证明三角形全等需要的条件，分析证明思路.三、例题精讲例1.：如下图， AB= CB, AD = CD .求证：/ A =Z C .CA师生活动：教师引导学生分析条件与结论之间的联系两组边分别相等，但这两组边没有在两个全等三角形中，那怎么办呢？由此启发学生添加辅助线来解决.CA证明：连接DB 在 ABD和厶CBD中，/ AB= CD , AD = CD ，BD = BD 公共边， ABD CBD SSS,/ A=Z C 全

7、等三角形对应角的定义.师生归纳：证明两个角相等的方法：找这两个角所在的三角形，看他们是否全等假设这两个角不在两个全等三角形中，可 通过添加辅助线的方法，构造两个全等三角形，使待证的角分别是这两个全等三角形的对 应角或对应边所对的角.类比证明角的方法， 思考如何证明两条线段相等呢？找这两条线段所在的三角形，看他们是否全等假设这两条线段不在两个全等三角形中, 可通过添加辅助线的方法，构造两个全等三角形，使待证的线段分别是这两个全等三角形 的对应边.设计意图：通过添加辅助线，实现构造全等三角形的目的，以便于利用三角形全等来 证明线段相等或角相等.四、挑战自我作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分

8、线有什么性质？对应边上的中线、对 应边上的高有什么性质？证明你的结论.师生活动：学生分组讨论，学生代表扮演讲解，归纳总结.1全等三角形的对应角的平分线相等.：如图， ABCA'B'C', AD、A'D'分别平分/ BAC ,/ B'A'C', 求证：AD = A'D'.证明： ABCA'B'C'， AB= A'B'全等三角形的对应边相等，/ B=Z B'，/ BAC=Z B'A'C'全等三角形的对应角相等，/ AD、A'D'分别

9、平分/ BAC,/ B'A'C'，/ BAD = 1 / BAC，/ B'A'D' = 1 / BAC 角平分线的定义， 2 2/ BAD = / B'A'D'等量代换. ABD A'B'D' ASA .2全等三角形的对应边上的中线相等.：如图， ABC A'B'C', AD、A'D'分别是 ABC 和厶 A'B'C'的中线.求证:AD = A'D'.证明：/ ABC A'B'C'， BC= B&

10、#39;C', AB = A'B'全等三角形的对应边相等，/ B=/ B'全等三角形的对应角相等，/ AD、A'D'分别是 ABC和厶A'B'C'的中线，11 BD = _ BC, B'D' = B'D'中线的定义，22 BD = B'D'等量代换. ABD A'B'D' ASA .3全等三角形的对应边上的高相等.：如图， ABCA'B'C', AD、A'D'分别是 ABC和厶A'B'C'

11、的高. 求证：AD = A'D'.证明： ABCA'B'C'， AB= A'B'全等三角形的对应边相等，/ B=Z B'全等三角形的对应角相等，/ AD、A'D'分别是 ABC和厶A'B'C'的高， AD丄BC, A'D'丄B'C'高的定义. /ADB = Z A'D'B' = 90° 垂直的定义. ABD A'B'D' AAS .设计意图：通过学生自主学习，合作探究，探索并证明全等三角形的三条线的性质

12、, 进一步体会几何证明的书写格式，加强对全等三角形的判定方法的运用.五、课堂练习1. ：如图， AD = AC, BD = BC,/ D = 55°，那么/ C=° .2. / 1 = / 2, BC = AD，求证： ABC BAD .架.AN3.如下图， ABC是一个风筝架,AB = AC, AD是连接点 A与BC中点 D的支求证：AD丄BC.如图，D是AB上一点,5.如图，在 ABC中,DF 交 AC 于点 E, AE= EC, CF / AB .求证：AD = CF .MN丄AC,垂足为 N , MN平分/ AMC , ABM的周长为9cm,参考答案：1. 55&#

13、176;.2 .证明：在 ABC和厶BAD中，/ BC= AD，/ 1 = Z 2, AB = BA , ABCA BAD SAS.3. v D是BC的中点， BD = CD 中点的定义.在ABD 和 AACD 中，/ AB= AC, BD = CD, AD = AD , ABDACD SSS./ 1=Z 2 全等三角形的对应角相等./ 1+Z 2= 180°平角的定义，/ 1=7 2= 90°. AD丄BC 垂直的定义.4. 证明：在 AED和厶CEF中，/ CF / AB ，-Z A=7 ECF 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等./ AE= EC ，7 AED

14、= 7 CEF 对顶角相等， AED CEF ASA . AD = CF 5. 解：在厶AMN和厶CMN中/ MN丄AC ， 7 ANM = 7 CNM = 90° 垂直的定义./ MN平分7 AMC ， 7 AMN = 7 CMN 角平分线的定义./ MN = MN 公共边， AMN CMN ASA . AM = CM , CN = AN = 2 全等三角形的对应边相等./ AM + BM + AB = 9 CMBMAB= 9 ABBCAC=ABCMBMCNAN=922=13即厶ABC的周长为13.设计意图：通过练习,能灵活运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或 角相等六

15、、拓展提升例2.：如下图， AC= BC, AD = BD, M和N分别是的AC和BC中点. 求证： DM = DN 师生活动：教师引导学生分析：要证DM = DN，就要证厶ADM BDN，那就需要 3个条件.现在 AD = BD , AM = BN,两边的话还需一夹角，即证/MAD =Z NBD .想证/ MAD = Z NBD，就要把/ MAD和/ NBD放入两个全等三角形中，那就需要添加辅助 线，构造全等三角形最后由学生板演讲解，教师点拨.证明：连接CD,在厶ACD和厶BCD中，/ AC= BC, AD = BD, DC = DC ， ACD BCD SSS./ CAD = Z CBD

16、全等三角形的对应角相等.在厶AMD和厶BND中，/ M和N分别是的AC和BC中点.11 AM = - AC, BN = - BC 中线的定义.22/ AC= BC ， AM = BN 等量代换./ AD = BD，/ CAD = Z CBD ， AMD BND SAS. DM = DN 全等三角形的对应边相等.设计意图：通过构造辅助线，二次全等来证明线段相等加深对综合法和分析法的理 解，学会探索证题的思路.七、拓展练习1. ：如图，点 M 在 BD 上，/ 1 = Z 2，/ 3 =Z 4,且 AB = BC. 求证：BM平分/ ABC .C2. 如图，点 D在AB上，点E在AC上，BE和CD

17、相交于点 O, AB = AC,/ B=ZC.求证：BO= CO .参考答案：1. 证明：在 AMD和厶CMD中，/ 1=/ 2, MD = MD , / 3 =/ 4, AMD CMD (ASA ). AD = CD (全等三角形的对应边相等).在厶ABD和厶CBD中，/ AB= CB, BD = BD, AD = CD , ABD CBD ( SSS). / ABD = / CBD (全等三角形的对应角相等)即BM平分/ ABC .2 .证明：在 ACD和厶ABE中，/A=/ A, AC= AB，/ C=/ B, ACD ABE (ASA ). AD = AE.在厶BOD和厶COE中，/

18、AB= AC, AB AD = AC AE.即 BD=CE./ B=/ C, BD = CE, BOD COE (AAS ). BO= CO.设计意图：通过练习，掌握根本的证明方法，学会分析题的证明思路，熟练应用全等 来证明线段相等或角相等.八、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？(1) 三角形全等的判定方法有哪些？(2) 如何证明线段相等或角相等？2通过本节课的学习，你还有什么疑惑？设计意图：通过小结，形成完整的知识体系，加深对利用全等三角形来证明角相等或 线段相等的理解.九、目标检测).1.如图，在 ABC中，AD丄BC, D为BC边中点，那么以下结论不正确的选项是(A . ABD

19、ACDB . Z B = Z CC. AD平分Z BACD . ABC是等边三角形2. 如图，OA= OB , OC = OD , Z AOB = Z COD，求证：AC = BD .3如图,4.:F,BF = AC.求证：ADC也厶 BDF .m,5.在ABC 中，/ BAC = 90° , AB= AC,直线 m 经过点 A,BD丄直线m, CE丄直线垂足分别为点D、E .求证：1 ABDAAEC;2 DE = BD + CE.参考答案:1. D.2. 证明：在 OAC和厶OBD中，/ AOB=Z COD ,/ AOB+Z BOC = Z COD + Z BOC.即/ AOC=Z BOD./ OA= OB, OC = OD , OACA OBD SAS. AC=