平均数和标准差

1、平均数和方差的故事平均数和方差的故事 考试成绩考试成绩67, 87, 90, 58, 88, 76, 44, 63, 95, 81, 68, 83, 77, 72, 86, 89, 81, 93, 50, 62, 82, 92, 49, 51, 56, 64, 75, 79, 80, 71 请问该班此次考试成请问该班此次考试成绩如何？绩如何？ 报出每人考分？报出每人考分？ 报告平均数？报告平均数？集中量集中量（measures of central tendency） 集中量是代表一组数据典型水平或集中集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势的量。它能反映频数分布中大量数趋势的量。它能反映频数分

2、布中大量数据向某一点集中的情况。据向某一点集中的情况。 最常用的集中量最常用的集中量算术平均数算术平均数算术平均数（算术平均数（arithmetic mean）算术平均数是所有观察值的总和除以总算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。频数所得之商，简称为平均数或均数。nXXnii1NXNii1离差离差 离差（离差（deviation score） 观察值与平均数之差观察值与平均数之差iXXXi差异量差异量（measures of dispersion） 差异量用于表示数据的变异程度或离散差异量用于表示数据的变异程度或离散程度。程度。 最常用的差异量最常用的差异量方差

3、、标准差方差、标准差方差和标准差方差和标准差 方差（方差（variance）：指离差平方的算术平）：指离差平方的算术平均数均数 定义公式：定义公式： NXNii122)(标准差标准差 标准差（标准差（standard deviation）是指离差）是指离差平方和平均后的方根。即方差的平方根。平方和平均后的方根。即方差的平方根。 定义公式：定义公式：NXNii12)(样本的方差与标准差样本的方差与标准差 样本的方差样本的方差 样本的标准差样本的标准差1)(122nXXSnii1)(12nXXSnii标准分数（标准分数（z-score）iXZSXXZiT-score T = KZ + C总体均值的

4、假设检验总体均值的假设检验nXZ/两总体均值之差的假设检验两总体均值之差的假设检验22212121nnXXZ两总体均值之差的假设检验两总体均值之差的假设检验)11(2) 1() 1(212122221121nnnnSnSnXXt相关样本平均数差异的相关样本平均数差异的显著性检验显著性检验 DX1X2 ) 1(/)(211221nnnDDXXtniinii方差分析方差分析 问题问题为了研究三种不同教材的质量，抽取三为了研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制。经过一段时间的教学后他因素加以控制。经过一段时间的教学后进行测

5、试，得到三种实验处理的数据如下：进行测试，得到三种实验处理的数据如下：教材教材A：70 74 72 68 71；平均数：；平均数：71教材教材B：75 80 77 68 75；平均数：；平均数：75教材教材C：70 72 66 72 70；平均数：；平均数：70总平均数：总平均数：72三种教材的效果有无显著差异？三种教材的效果有无显著差异？方差分析与平均数方差分析与平均数 计算（离差）平方和计算（离差）平方和 组间平方和：组间平方和： 组内平方和：组内平方和： 总平方和：总平方和：211)(tkinjijXXSSTi21)(tikiiXXnSSA211)(ikinjijXXSSEi积差相关系数

6、积差相关系数 积差相关系数：积差相关系数：YXniiiSnSYYXXr1)(二列相关相关系数的计算二列相关相关系数的计算YpqSXXrtqpb回归方程的建立回归方程的建立 用最小二乘方法求回归系数用最小二乘方法求回归系数niiiniiYXXXYYXXb121)()( )(数据的水平数据的水平 间断型随机变量间断型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 称名量表称名量表 顺序量表（等级量表）顺序量表（等级量表） 等距量表等距量表 等比量表等比量表间断型随机变量间断型随机变量（discontinuous scale） 取值个数有限的数据取值个数有限的数据 人数人数 个数个数 名次名次 五分制得分五分制得分连续型随机变量连续型随机变量 （continuous scale） 取值个数无限的数据取值个数无限的数据 身高身高 体重体重 智商智商 时间长短时间长短 百分制得分百分制得分四种数据水平四种数据水平 称名量表（称名量表（nominal scale）学号、房间号、邮政编码、电话号码学号、房间号、邮政编码、电话号码 顺序量表（等级量表）顺序量表（等级量表） （ordinal scale）名次、等级、五分制得分名次、等级、五分制得分 等距量表（等距量表（interva