6个教学案例————让数学课如此自然

1、让数学课如此自然 从建构主义的角度来看，数学学习是学生自己建构数学知识的活动，在数学教学过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。我们应该充分认识到，是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的建构者，决不是模仿者。离开学生积极主动的学习，教师讲再好也会经常出现“教师讲完了，而学生仍不会”的现象，这正好从一个侧面说明在学生学习的情景中，教师对学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，让数学知识来得自然。新课程中的数学活动，要使学生真正成为主人，让他们积极的参与每一个教学环节，切身感受学习数学的快乐，品尝成功的喜悦。不同的学生可以得到不同的发展，

2、从而满足了他们的求知、参与、成功、交流和自尊的需要。这正是皮亚杰强调的“教师的工作不是教给学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并有种种方式来刺激学生的欲望。这样，学习对学生来说，就是一个主动参与的过程了”。本文笔者想通过审视我们平时的教学行为，做一番反思，目的是改进教学，让教学来的更自然些，更合理些。让数学课自然，让学生真正学得自然而不深奥，快乐而不枯燥。一、自然引入高尔基说写文章“最难是开头，也就是第一句”。上一堂课犹如写文章，要整体的构思本节课的开头，引言的好坏往往直接影响着整堂课的效果，自然引入可以集中学生的注意力，启发他们的学习动机，使学生听课能抓住重点，产生强烈的求知欲望。案例1：

3、异面直线所成的角问题1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。意图：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。问题2、用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？ab教师可以引导学生通过手中的两支笔，演示两条异面直线，分别体现出用“距离”和“角”来刻画两相交直线间的相对位置。问题3、在一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出所成角的大小？其理论依据是什么？ 问题4：能否将上述方

4、法推广到空间两直线？点评：本节课的难点在于如何引导学生利用平移法来求异面直线所成的角，在问题三中，通过让学生利用在平面中平移使得两条直线相交来引入，自然过渡到空间的两条直线也可以通过平移法来求其夹角。把这种平面上的平移很自然推广到空间中，那么本节课的重点，通过平移法，求异面直线所成的角也就很自然被学生解决了。案例2：根式与分数指数幂根式的出现实际上是数系扩充的必然结果,下面简要介绍数系的扩充：我们开始接触数学时，便是从0、1、2、3、4、等认识起的，并把它们称作自然数，初步有了“加”的运算：两个自然数相加，仍为自然数。但是，两个自然数相减呢？随着社会的发展，人们又发现了很多数量具有相反的意义，

5、比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西，为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称整数。一个数连加几次，如5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5，每次书写都挺麻烦的，于是便引入了另一种运算“乘“，连加即为乘，“×”也只是一种记号，其初始含义是连加的意思（na = a + a + + a）。类似地，连乘记为乘方，即。两个整数相乘后仍为整数，自然地我们考虑其逆运算“除”，如2÷3，它却不是整数，于是又引入了分数 ，它仍是一个记号：把n分成m等分。进一步我们自然地会追问：如x 2 = 4，由于，所以，那么当x 2 = 2时，x等于多少？我们知道存在实

6、数x，它的平方等于2，但我们没有办法用有理数表示它，从而便有了根式的概念：用表示，“ ”是什么呢？它是一个数，它的平方等于2！更一般的情况，“ ”是什么呢？也是一个实数，它的n次方等于a，即！点评：这里只展示了课堂教学的片断，对根式的教学提出自己的设想，目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式的符号，激发学生的学习兴趣。为什么要引入根式？又为什么要学习分数指数幂？教材中并没有详细说明，只是用“数学上的规定”来阐述。若我们不能及时引导学生追问“为什么”，则只能是用条条框框的割裂方式肢解知识的结果，把孩子活生生的思考也肢解了。几经如此，学生宝贵的思维火花便将熄灭，而走上这样一条路：不再思考，刻板记

7、忆，不求甚解，渐渐地，思维的心灵变得麻木了。因此，在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。这些知识本身或许并不重要，但形成一种有如“水银泻地无孔不入”的思想方法，却是智力素质提高的一个方面。二、自然拓展依据新课程理念，高中数学教学要不断拓展课程资源，并以情景化方式实现学生对数学学习的支撑。数学教学以问题为核心，而问题的设计又需要广泛资源下的情景支持。如：笔者在等差数列第一课时，在课堂上有学生很自然提出一个疑问：老师，那有没有等和数列、等积数列和等比数列呢？那它们的通项公式又是什么？多自然的一个想法啊！因

8、而那节课我们马上转变成了：讨论等和数列、等积数列和等比数列的定义以及通项公式。打乱了原先的课时安排，变成把等差，等比数列的定义和通项公式放在第一课时，从开始就把两个数列结合在一起讲，这样有利于学生更加熟练两种数列的综合。课后发现，这样上效果也不错，学生更自然的接受，记忆更深刻，更有兴趣。在如下案例中，利用课程资源，自然拓展。案例3：直线与圆的位置关系在初中学生已经初步了解直线与圆的三种位置关系，而在本节课中则进一步用方程量化。本节课教科书中只有两个例题，例1为判断直线与圆的位置关系，例2则是已知弦长求直线的方程。而直线与圆的位置关系的内容在高考中是非常丰富的，在这边仅用两个例题是不够的，于是我

9、们决定对教材进行拓展，三种位置关系对应拓展出三种题型。（一）直线与圆相交求相交弦的长：。例1：已知过点M（ 3， 3）的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程。（二）直线与圆相切求切线方程 例2、已知圆O：，分别求过点A（1，），B（2，3）的切线方程。（三）直线与圆相离求圆上点到直线距离的最值 例3：设P为圆上的动点，则点P到直线3x 4y 10 = 0的距离的最小值为 ，最大值为 。点评：本节课中，利用已有的知识，自然拓展出相关的知识点 ，这样的知识来得自然，易接受，同时促使更多的学生积极参与课堂活动，思考并解决问题。三、自然发现有人说“数学家的工作是发现，而诗人的工作是创造”。我自然不

10、是数学家，但我的学生可能是数学家。现在培养他们发现，说不定将来真的有所发现，看来，我们的工作多么有意义。笔者在教学实践中也曾有过些许发现，虽然发现的问题不够“大”，但自己得到的东西每每欣喜若狂，因而在课堂上，我们也要启发、引导学生很自然的去发现，如下案例中:案例4：等比数列的前n项和教科书上对于等比数列前n项和这节课中直接指出“我们发现，如果用公比q乘该式的两边，可得”然而，在这边要发现乘以一个公比的话，难度很大，就算是优生也很难发现。为了让课堂更顺利，学生的思维更自然，这里，我设计了几个问题：问题1：求和：。引导学生先求出，再猜想。问题2：求和：。要猜想的值并不容易，教师要引导学生类比问题1

11、中的猜想，将真实值和猜想值进行对比，得出。问题3：求和：在这里学生就很自然地猜想出。问题4：求和：。将前面三个问题结合起来，更一般化，学生已经可以很快地猜想出。生：这不就是一个等比数列的前n项和吗？只要在乘以一个首项，就是一个一般的等比数列了。多好的一个发现啊，我们在猜想中却发现了等比数列前n项和的公式这让整个课堂进入一个高潮。接下来的工作就剩下证明猜想。在证明的过程中：在这马上很自然引出乘比错位相减法，并简要说明其结构和适用范围。生：那我们是不是可以用该方法直接求等比数列的前n项和？多好的发现，马上让学生来讲，教师引导补充。在用乘比错位相减法证明等比数列的前n项和时，规范书写格式。点评：本节

12、课如果按照传统的教法，教师结合等比数列的前n项和式子结构的特点，引导学生发现只要乘以一个公比，就可以出现大部分相同的项，然后在两式子相减消去。学生在下面最多也发出“太神奇了”的惊叹而已，这种知识来的不自然，不易迁移应用。而如果让学生自己来发现乘以一个公比的话，难度大了许多，就算是优生也很难发现。因而本节课为了让数学的结论自然，采用猜想发现式教学方法。有了猜想,人的认识才摆脱消极等待的奴隶状态,这无疑对形成积极进取的精神有着积极的意义.案例6：平面与平面垂直的判定与性质问题：直线a和平面，有以下三种关系：a，a，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请

13、给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。学生经过思考、讨论构成三个不同的命题：。并得出其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。在给（2）、（3）补充条件时，平面与平面垂直的性质定理就很自然的得出点评：教科书中对本节课的安排是：把“两个平面垂直的判定定理”、“性质定理”和“P72例4”分开给出，这样学生便要分开接受三次新知识，不易记忆和理解应用。而本节课中，如果将这三个知识点，采用开放式的问题，引导学生相互合作、讨论交流，通过判断命题，补充命题，自然发现。使得数学的知识更系统化，体现数学的内在联系，同时增强学生的兴趣。这些案例都只是笔者在教学实践中，发现的较为典型的一些案例中的一部分，这并不说明整个必修中就只有这几节课可以让学生感觉到自然。我们教师自己在听一堂课的过程中，总也希