人教小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题

1、统筹问题例1. 妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟小明估算了一下，完成这些工作要20分钟为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【分析与解】：本题取自华罗庚教授1965年发表的统筹方法平话首先向华老致敬。开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取怎样安排工作程序最省时间呢？办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了

2、之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟又因为烧开水的

3、15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的例2. 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值【分析与解】：5个人排队一共有54321=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些考虑用“逐步调整”法来严格求解首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2a5），而打水需1分钟的人排在

4、第b位（其中2b5）我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是15+24+33+42+51=35（分钟）例3. 有一条可坐20人的木船要载

5、40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟，到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟，B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少？（学生上下船的时间忽略不计）【分析与解】：由题设40名学生要分两批乘船，这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的，所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析，第一组学生应先去A岛参观，因为A岛比B岛近“2分钟”的路程，这样第二组学生等船的时间为20分钟（木船往返湖边与A岛所用时间），接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题，我们分两种情况

6、讨论：（1）第二组学生也去A岛参观。当第二组学生到达A岛时，时间已经过去了30分钟（等船20分钟，乘船10分钟）.第二组开始参观A岛，此时第一组已经在A岛参观了20分钟，10分钟后第一组参观完A岛，乘船去B岛参观，木船将第一组送到B岛后立即返回A岛，由A岛与B岛之间乘船为6分钟，所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时，第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛，立即到B岛.第二组到达B岛时，第一组已参观了20分钟（木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和）.第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组参观完B岛，乘船返回湖边，木船将第一组送到湖边

7、后又立即返回B岛接第二组，当木船到达B岛时，距木船把第二组送上B岛相隔了29分钟（木船等待第一组5分钟，往返B岛与湖边24分钟）.此时第二组已参观完B岛并且已等候了4分钟.当第二组乘船返回湖边时，整个参观过程一共用时（等于第二组参观共用的时间）为：等候乘船共（20+4）分钟；两岛的参观时间共（30+25）分钟；乘船时间共（10+6+12）分钟。总和为（20+4）+（30+25）+（10+6+12）=107（分钟）。（2）第二组学生去B岛参观。木船将第一组送到A岛后，返回湖边接第二组去B岛，当木船到达B岛时，时间已经过去了32分钟（等候船20分钟，乘船12分钟）.木船立即去A岛接第一组.船到A岛

8、时，第一组已参观了28分钟（木船从A岛到湖边的时间与从湖边到B岛的时间以及从B岛到A岛的时间总和）.2分钟后，第一组参观完A岛乘船到B岛.到达B岛时，第二组已在B岛上参观了14分钟（木船往返A、B岛的时间与等待第一组的时间总和）.第一组开始参观B岛.11分钟后第二组参观结束乘船到A岛参观.木船又返回B岛，到达B岛时，第一组已参观了23分钟（木船等待第二组11分钟，往返A、B岛12分钟）.2分钟后，第一组参观结束乘船返回湖边.木船送完第一组立即到A岛接第二组.木船到达A岛时，第二组刚好参观完A岛（船从A岛到B岛6分钟，等第一组2分钟，送第一组到湖边12分钟，从湖边再到A岛10分钟）.即刻乘船返回

9、湖边.整个参观过程一共用时（等于第二组参观一共用的时间）为：等候乘船共20分钟；两岛的参观时间共（30+25）分钟；乘船时间共（12+6+10）分钟。总和为 20+（30+25）+（12+6+10）=103（分钟）两种方案比较，显然第二种方案较好.故应让第一组先参观A岛，第二组先参观B岛，总用时为103分钟。例4 郝老师被误抓进了北京市安定精神医院，你能帮助他在层层看守下逃出生天吗？最少需要几步？（挪动图中的人物块，给郝老师清出一条路来）。保安郝老师保安季医生陆院长王护士空地保安保安刘门卫杨前台大门 例5东升乡有八个行政村，如图分布.点表示村庄，线表示道路.图中的数字表示道路的长.现在这个乡要

10、建立有线广播网，沿道路架设电线，问怎样的架线方案能使电线最省？【分析与解】：要在全乡建立广播网，显然整个线路应该是连通的，并且每个村都有广播线，要使电线最省，即整个广播网络用线最短.因此架线时不能出现“环路”（闭合线路），而乡村分布图是有“环路”的，则需要将环路“破坏”掉，使得架线方案中只有7条线将8个村庄连通，井且这7条线的总长最短。在破坏环路时，我们将环路时较长的路线去掉，当所有的环路都不存在时，剩下来的线路必是最短的。首先破坏环路AGEFA，因为AF最长，故去掉AF.下面依次：在AGHBA中去掉AB；在BCHB中去掉BC；在CDHC（中去掉CD；在CEHD中去掉HD；在HEGH中去掉EG

11、；到此为止，所有的环路都破坏掉了，剩下来的便是我们所需的架线路线图（如图4所示），即最佳架线方案.例6. 现有2.8米长的方木条原料，要截成1.2米、0.9米两种长度的木条作镜框（每个镜框要用长、短木条各两根）.要做30个镜框，如何下料可以最省？【分析与解】：这是个节约用料的问题.如果不精打细算就会简单的用一根原料截长短木条各一根，就样就需要60根原料.而这样就会造成很大的浪费.因为每根原料剩下的残料为2.8-1.2-0.9=0.7（米）， 60根原料所剩的残料则是很大的一个数字，显然这不是最佳的方案。如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条，则：（1）可截1.2米木条两根，余料0.4米；（2）

12、可截0.9米木条三根，余料0.1米。现设取x根原料用于截法（1）：取y根原料用于截法（2）.则有故需要原料50根即可制成30个镜框。 例7. 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？【分析与解】：依题意，大卡车每吨耗油量为105=2（公升）；小卡车每吨耗油量为52=2.5（公升）为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=531+2，因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油1031+51=

13、315（公升）说明：本题是1960年上海市数学竞赛试题上述解法是最朴素的优化思想选派每吨耗油量较少的卡车下面用代数的知识来解题：设选派大卡车a车次，小卡车b车次，依题意：5a+2b=157，即10a=314-4b于是总耗油量为：W=10a+5b=314=4b+5b=314+b显然，当b越小时，W也越小又由5a+2b=157易知，b最小值是1，故W的最小值是314+1=315（公升）若取b=0，则需派32车次大卡车，耗油量则需320公升例8. 40名师生参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践，40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配

14、的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，如何安排人员能使树苗运得最多？【分析与解】：这个问题是当劳动力一定的条件下如何发挥最大效力的问题.要想发挥劳动力的最大效力，首先要知道劳动人员的工作效率（已知）和“相对工作效率”（劳动人员做两项工作时的效率之比）.由相对效率可以得出劳动人员做哪项工作发挥的效力更大。由此可知：乙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员和丙类人员都大.故应让乙类人员挖树坑，即可以挖树坑：1.215=18（个）。现在离任务要求还相差“12个树坑”，需要由剩下的人员中再挑选一些人挖树坑.因为丙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员大，故应优先选丙类人员挖树坑，可挖：0.810=8（个）.最后再由

15、2名甲类人员也参加挖树坑，即可完成任务，其余的13名甲类人员运树苗，可运：2013=260（棵）。 即最佳方案为：由13名甲类人员运树苗，其余所有人都去挖树坑。注：同学们可以尝试其他任何分配方案，一定都会比我们上述的方案劣。 例9北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台。现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台。若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”。上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是多少万元？起点终点汉口重庆深圳北京4811上海359杭州467【

16、分析与解】：按照如图所示的方式调运物品即可。起点终点汉口重庆深圳北京6台4台0台上海0台4台0台杭州0台0台6台总计：118万元随堂练习1妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少2用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟？3小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病小明打针要5分钟小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间4赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加

17、工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少？这个时间是多少？5山区有一个工厂它的十个车间分散在一条环行的铁道上四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示）；也可以坐在货车到各车间去；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车问怎样安排才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？6.有七个村庄A1，A2，A7分布在公路两侧（见上图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在

18、哪里？随堂练习答案112分钟2若m1时，至少需要4分；若m2时，至少需要2m分钟3按小强、小华、小明的顺序安排，耽误上课的时间总和为：13+32+5=14（分钟）4按B、C、A、E、D的顺序加工，耽误最少为：35+44+53+62+7=65（分钟）5464+4+2+6+11=207（人）6.50千米。架设的线路如下图。课后练习1.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需多长时间？3.车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能