高数第三章第七节曲率讲课教案

1、高数第三章第七节曲率二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线弯曲程度的量曲率是描述曲线弯曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )切线转角越大弧切线转角越大弧段弯曲程度越大段弯曲程度越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大曲率的定义曲率的定义1 )在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大

2、, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 ytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK 由弧微分公式:曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 则例例1 1?2上上哪哪一一点点的的曲曲率率最最大大抛抛物物线线cbxaxy 解解,2baxy ,2a

3、y .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率23)1(2yyK ).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxR

4、ly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图如图的负半轴表示直道，的负半轴表示直道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率因为因为,0 xl lB20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl

5、 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率为为故故在在终终端端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KDM1 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,

6、的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线上一点处的曲率半径与曲线在曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数该点处的曲率互为倒数. .1,1 kk即即 曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线曲线在该点处的曲率越小在该点处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦).例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF

7、 视飞行员在点视飞行员在点O作圆周运动作圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.内容小结内容小结1. 弧微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线弯曲程度的描述曲率;思考与练习思考与练习 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.机动 目录 上页 下页