中国古代数学问题

1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持一 板凳鏊子问题板凳鏊子三十三，一百条腿都朝天，问几个板凳几个鏊子？板凳和鏊子（烙饼用的，有三条腿；板凳，四条腿）一共三十三个。问几个板凳几个鏊子？二隔墙分银隔墙听得客分银，不知人数不知银。七两分之多四两，九两分之少半两。问多少银子多少人？（古时16 两 1 斤）三 一百馒头一百僧我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?译成白话文，其意思是：有 100 个和尚分 100 只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3 只，小和尚 3 人分一只，试问大小和尚各有几人

2、?方法一，用方程设大和尚有x人，则小和尚有（100 x）人，根据题意列得方程：3x+1/3（100 x）=100解方程得： x=25小和尚：10025= 75人方法二，鸡兔同笼法：（1）假设100 人全是大和尚，应吃馒头多少个?3X100=300（个）.（2）这样多吃了几个呢?300 100=200（个） （3） 为什么多吃了200 个呢 ?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头 ?3 1/3=8/3（4） 每个小和尚多算了8/3 个馒头，一共多算了 200 个，所以小和尚有：2008/3=75 （人）大和尚：10075= 25 （人）方法三，分组法：由

3、于大和尚一人分3 只馒头，小和尚 3 人分一只馒头。我们可以把3 个小和尚与1 个大和尚编为一组，这样每组 4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100 + （3+1） =25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25W=75个小和尚这是直指算法统宗里的解法，原话是：”置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。 ”所谓 “实”便是 ”“被除数 ” ， “法”便是 “除数 ”。列式就是：100+ (3+1) =25, 100-25=75。我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。四 鸡兔同笼问题鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各

4、有多少鸡和兔？一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？1. 鸡兔同笼，共17个头， 42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？2. 小明的储蓄罐里有1 角和 5 角的硬币共27 枚，价值 1。 5 元。问：一角的硬币有几枚， 5角的硬币有几枚？3. 用大小卡车往城市运送29 吨蔬菜，大卡车每辆每次运5 吨，小卡车每辆每次运3 吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完 ?(注意有多解)4. 每校有 100 名学生参加数学竞赛，平均分是63 分，其中男生平均分是60 分，女生平均分是 70 分。问：男生比女生多几人?5. 学校买回 4 个篮球和 5 个排球，一共用了

5、185 元，一个篮球比一个排球贵8 元。问：篮球的单价是多少？6. 解放军进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米， 11 天一共走 350千米。求这期间晴天共有多少天？7. 小强集邮，他用一元钱买了 4 分和 8 分的邮票共20 张。问：小强买了 4 分邮票几张？8. 一堆 2 分和 5分的硬币共299分，其中 2 分硬币的个数是5分硬币个数的 4倍。问： 5分硬币有几枚？9. 某人领得奖金 240 元，有 2 元 5 元 10 元三种人民币共50 张，其中 2 元和 5 元的张数一样多。问： 10元的张数是多少？10. 小明买了4分和 8分的邮票共花去6元 8角钱，已知 8分的

6、邮票比4分的多 40 张。问： 8分的邮票是几张？11. 鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。问：鸡有几只，兔有几只？12. 有一辆货车运送2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只 2 角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1 元。结果运费 379。 6 元。问：运送中损坏了几只瓶子？13. 某数学测验共20 题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 1 分，不做不扣分。小华得了 76分。问：小华做对几题？14. 鸡兔同笼，共有头100个，足 316只。问：鸡有几只，兔有几只？15. 小明花了 34元钱买贺卡和明信片，一共买了 14 张。贺卡每张3 角 5分，明信片每张2角5 分。问：

7、小明买了几张贺卡，几张明信片 ?16. 潍坊盲童学校举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得 5分，做错或没有做的题，每题倒扣 3分。刘刚得了 60分。问：他做对了几题？17. 鸡兔同笼，共有脚 100只。若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只，问：鸡有几只， 兔有几只？18. 鸡兔共有 100 只，鸡脚比兔脚多 80 只，问：鸡兔各有多少？19. 鸡兔同笼，共有30 个头， 88 只脚。求笼中鸡兔各有多少只？20 小明用10 元钱正好买了 20 分和 50 分的邮票共35 张，求这两种邮票名买了多少张？21小红用 13 元 6角正好买了 50分和 80分邮票共计20 张，求两种邮票各买了多

8、少张？22小刚的储蓄罐里共2 分和 5 分硬币 70 枚，小刚数了一下，一共有194 分，求两种硬币各有多少枚？23 三年一班30 人共向北京奥运会捐款205 元，同学每人了捐了 5 元或 10 元，你知道捐 5元和 10 元的同学各有多少人吗？24松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12 个。它一连8 天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？25某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63 分，总分是3150 分。其中男生平均得60 分，女生平均得70 分。求参加竞赛的男女各有多少人？26. 一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你

9、知道刘冬做对了几道题？27. 一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？28. 52名同学去划船，一共乘坐 11 只船，其中每只大船坐 6人，每只小船坐 4 人。求大船和小船各几只？29. 在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32 辆，这些车一共108 个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？鸡兔同笼问题 基础学习一解答题3 一般鸡兔同笼例 1：鸡兔同笼，共17 个头， 42 条腿。问：鸡有几只，兔有几只？【答案】 4只， 13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-17 次）/2=4 只；鸡： 17-4=13 只

10、【结束】4 一般鸡兔同笼例 2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8 个头，从下面数，有26 只脚，鸡和兔各有几只？【答案】兔有5只，鸡有 3 只。【解题关键点】解法1:假设的方法。如果假设笼子里都是鸡，就有8>2=16只脚，这样就多出26 16=10只脚，一只兔比一只鸡多 2只脚，也就是有10e=5只兔。所以笼子里有 3只 鸡， 5 只兔。解法2：如果假设笼子里都是兔，那么也可以列式：鸡：（8M26） + （42） =3 （只）兔：8-3=5 （只）解法3：用方程解的。解：设兔有x 只，那么就有（ 8 x ）只鸡，鸡兔共有26 只脚，就是4x 2（ 8 x） =262x+16=26x=

11、58 5=3 （只）【结束】5 另一类， “三者同笼 ” 问题【答案】1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2：三个未知数列三个方程【结束】6 另一类鸡兔同笼例 1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18 只，共有腿118 条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿；蜻蜓6 条腿， 2 对翅膀；蝉6 条腿， 1 对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蝉是 6 只。【解题关键点】方程假设蜘蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z那么 x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出 x=5y=7z=6 所以蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蝉是 6 只。1 鸡兔同笼，共1

12、7 个头， 42 条腿。问：鸡有几只，兔有几只？2 小明的储蓄罐里有1 角和 5 角的硬币共27 枚，价值 1。 5 元。问：一角的硬币有几枚， 5 角的硬币有几枚？3 用大小卡车往城市运送29 吨蔬菜，大卡车每辆每次运5 吨，小卡车每辆每次运3 吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解）4 每校有 100 名学生参加数学竞赛，平均分是63 分，其中男生平均分是60 分，女生平均分是 70 分。问：男生比女生多几人?5 学校买回 4 个篮球和 5 个排球，一共用了 185 元，一个篮球比一个排球贵8 元。问：篮球的单价是多少？7 小强集邮，他用一元钱买了 4 分和 8 分的邮票共20

13、张。问：小强买了 4 分邮票几张？8 一堆 2 分和 5 分的硬币共299 分，其中 2 分硬币的个数是5 分硬币个数的 4 倍。问： 5 分硬币有几枚？9某人领得奖金240元，有 2元 5元 10元三种人民币共50 张，其中 2元和 5元的张数一样多。问： 10元的张数是多少？10 小明买了 4 分和 8 分的邮票共花去6 元 8 角钱，已知 8 分的邮票比4 分的多 40 张。问： 8分的邮票是几张？11 鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56 只。问：鸡有几只，兔有几只？12 有一辆货车运送2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只 2 角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1 元

14、。结果运费 379。 6 元。问：运送中损坏了几只瓶子？13某数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣 1 分，不做不扣分。小华得了 76分。问：小华做对几题？14 鸡兔同笼，共有头100 个，足 316 只。问：鸡有几只，兔有几只？15小明花了 34元钱买贺卡和明信片，一共买了 14 张。贺卡每张3 角 5分，明信片每张2角5 分。问：小明买了几张贺卡，几张明信片 ?16 东湖小学六年级举行数学竞赛，共20 道试题，做对一题得 5 分，做错或没有做的题，每题倒扣 3 分。刘刚得了 60 分。问：他做对了几题？17 鸡兔同笼，共有脚 100 只。若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只

15、，问：鸡有几只，兔有几只？18100个馒头 100个和尚吃，大和尚每人吃 3个，小和尚三人吃 1 个，问：大和尚有几个，小和尚有几个？19 鸡兔共有 100 只，鸡脚比兔脚多 80 只，问：鸡兔各有多少？1鸡兔同笼，共有30 个头， 88 只脚。求笼中鸡兔各有多少只？2鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？3小明用 10 元钱正好买了 20 分和 50 分的邮票共 35 张，求这两种邮票名买了多少张？4小红用 13元 6角正好买了 50分和 80分邮票共计20 张，求两种邮票各买了多少张？5小刚的储蓄罐里共2 分和 5 分硬币 70 枚，小刚数了一下，一共有194 分

16、，求两种硬币各有多少枚？6三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了 5元或 10 元，你知道捐 5元和 10 元的同学各有多少人吗？7松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12 个。它一连8 天共采了 112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？8某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63 分，总分是3150 分。其中男生平均得 60分，女生平均得70 分。求参加竞赛的男女各有多少人？9一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣 3分，刘冬考了 52分，你知道刘冬做对了几道题？10一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得 8 分，做错一题倒扣 4分，刘冬考了

17、 112分，你知道刘冬做对了几道题？11 52名同学去划船，一共乘坐11 只船，其中每只大船坐 6人，每只小船坐4 人。求大船和小船各几只？12在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32 辆，这些车一共108 个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？13解放军进行野营拉练。晴天每天走35 千米，雨天每天走28 千米， 11 天一共走了350 千米。求这期间晴天共有多少天？14 100 个和尚吃了 100 个面包，大和尚 1 人吃 3 个，小和尚 3 人吃 1 个。求大小和尚各有多少个？15一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？鸡兔同笼问题 基础学习一解

18、答题3 一般鸡兔同笼例 1：鸡兔同笼，共17 个头， 42 条腿。问：鸡有几只，兔有几只？【答案】 4只， 13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-17 玄）/2=4 只；鸡： 17-4=13 只【结束】4 一般鸡兔同笼例2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8 个头，从下面数，有26 只脚，鸡和兔各有几只？【答案】兔有5只，鸡有 3 只。【解题关键点】解法1:假设的方法。如果假设笼子里都是鸡，就有8>2=16只脚，这样就多出26 16=10只脚，一只兔比一只鸡多 2只脚，也就是有10e=5只兔。所以笼子里有 3只 鸡， 5 只兔。解法2：如果假设笼子里都是兔，那

19、么也可以列式：鸡：（8M26） + （42） =3 （只）兔：8-3=5 （只）解法3：用方程解的。解：设兔有x 只，那么就有（8 x ）只鸡，鸡兔共有26 只脚，就是4x 2（ 8 x） =262x+16=26x=58 5=3 （只）【结束】5 另一类， “三者同笼 ” 问题【答案】 1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2：三个未知数列三个方程【结束】6 另一类鸡兔同笼例 1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18 只，共有腿118 条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿；蜻蜓6 条腿， 2 对翅膀；蝉6 条腿， 1 对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只

20、，蝉是 6 只。【解题关键点】方程假设蜘蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z那么 x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出 x=5y=7z=6 所以蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蝉是 6 只。百鸡问题张邱建算经中，是原书卷下第38 题，也是全书的最后一题： “今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。 ”该问题导致三元不定方程组，其重要之处

21、在于开创 “一问 多答 ” 的先例，这是过去中国古算书中所没有的。秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著孙子算经。原题为： “今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？ ”这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用 3 除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余 2。求这个数。这个问题很简单：用 3 除余2，用7 除也余2，所以用3 与 7

22、的最小公倍数21 除也余2，而用 21 除余 2 的数我们首先就会想到 23； 23 恰好被 5 除余3，所以23 就是本题的一个答案。这个问题之所以简单，是由于有被3 除和被 7 除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？这个题目是要求出一个正数，使之用 3除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。例如我们从用3除余2这个条件开始

23、。满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数。要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1, 2, 3,代入来试。当n=1时， 3n+2=5， 5 除以 5不用余3，不合题意；当n=2 时， 3n+2=8， 8除以 5正好余3，可见8这个数同时满足用 3除余 2和用 5除余 3这两个条件。最后一个条件是用 7 除余 4。 8 不满足这个条件。我们要在8 的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。为此，我们想到，可以使新数等于 8 与 3 和 5 的一个倍数的和。因为 8 加上 3 与 5 的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3。于是我们让新数为 8+15m,分别把m=1

24、, 2,代进去试验。当试到 m=3时，得到8+15m=53, 53除以7恰好余4,因而53合乎题目 要求。我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的算法统宗（ 1593 年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。“正半月 ”暗指15。“除百零五 ”的原意是，当所得的数比 105大时，就 105105地往下减，使之小于105；这相当于用105 去除，求出余数。这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是357 时，用 70 乘以用 3 除的余数，用 21 乘以用 5除的余数，用 15 乘以用 7 除的余数，然后把这三

25、个乘积相加。加得的结果如果比 105 大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：70 >2+21 >+15X4=263, 263=2X105+53,所以，这队士兵至少有53 人。在这种方法里，我们看到：702115这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：70是5与7的倍数，而用3除余1；21 是3与7的倍数，而用5除余1；15是3与5的倍数，而用7除余1。因而70>2是5与7的倍数，用3除余2;21 >3是3与7的倍数，用5除余3;15>4是3与5的倍数，用7除余4。如果一个数除以a余

26、数为b,那么给这个数加上 a的一个倍数以后再除以 a,余数仍然是b。 所以，把70X221 >3与15 >4都加起来所得的结果能同时满足用3除余2用5除余3用7除余4”的要求。一般地，70m+21n+15k(1 <iK 3,1<K 5, KR 7)能同时满足 用3除余m用5除余n用7除余k”的要求。除以105取余数，是为了求合乎题 意的最小正整数解。我们已经知道了 702115 这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是357，应该怎样去求出类似的有用的数呢？为了求出是5与 7的倍数而用 3除余 1 的数，我们看看5与 7的最小公

27、倍数是否合乎要求。 5与7的最小公倍数是5X7=35, 35除以3余2, 35的2倍除以3余2, 35的2倍除以3就能余1 了，于是我们得到了 “三人同行七十稀 ” 。为了求出是3与 7的倍数而用 5除余 1 的数，我们看看3与 7的最小公倍数是否合乎要求。 3与7的最小公倍数是3X7=21, 21除以5恰好余1,于是我们得到了五树梅花甘一枝为了求出是3与 5的倍数而用 7除余 1 的数，我们看看3与 5的最小公倍数是否合乎要求。 3与5的最小公倍数是3X5=15, 15除以7恰好余1,因而我们得到了 七子团圆正半月357 的最小公倍数是105，所以 “除百零五便得知 ” 。例如：试求一数，使之用 4 除余3，