例谈中考数学复习中习题的演变策略及其应用

1、例谈中考数学复习中习题的演变策略及其应用新课程下的数学教学，强调的是教师的“教研付出”，以实现花最经济的教学代价获取最大化的教学效益。处于紧要关头的中考数学复习教学，则更应强调教师的教研付出和教研实效，以便在短短的两三个月的时间内达成中考复习的各项目标，包括数学知识的全面掌握、解题技能和能力的强化提高、数学思想方法的灵活应用等。其中，教师的核心工作则是要在钻研数学课程标准、教材、中考说明及各地的中考数学试题的基础上，精选并研究教学例、习题，强调对所选例、习题作必要的演变与拓展，以“题链”的形式实施复习教学。本文拟以一道极其常见而又简单的习题为例，谈谈中考数学复习教学中几何问题所常用的演变策略，

2、并配以各地的中考数学试题具体说明对问题的演变及应用，以期抛砖引玉，给中考数学复习以启示。题目 已知：如图1，在和中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且。求证：。 图1一、思考拓展从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到中考数学复习教学中去，而且有利于帮助学生全面而系统地复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用知识解决问题的能力。一般地说，几何问题的演变策略通常有以下六种：（1） 条件的弱化或强化；（2） 结论的延伸与拓展；（3） 基本图形的变化拓展；（4） 条件、结论的互逆变换（即建立并讨论原命题的逆命

3、题）；（5） 基本图形的构造与应用；（6） 综合演变。二、演变应用针对这道习题的条件“AC=CE（线段相等）”、“（三个角都为直角）”和特殊结论“（三角形全等）”，以及所具有的简单而特殊的图形，可对本习题作以上各种常用的演变。下面分别举例说明此问题的前五种演变及其应用，第六种综合演变策略将穿插在前五种演变所举例子中。（一） 弱化条件当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两条件“一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用。针对上述习题中的关键条件“AC=CE”和“”，可分别弱化或同时弱化。1、弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形

4、全等弱化为三角形相似演变命题1：如图2，在和中，点D在边BC的延长线上，且。求证：。 图2例1 如图3，正方形ABCD的连长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作交DC于点Q，设BP的长为cm, CQ的长为cm。图3（1） 求点P在BC上运动的过程中的最大值；（2） 当 cm时，求的值。例2 如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为. 图4（1）当时,求直线DE的函数表达式。（2）如果记梯形COEB的面积为S，

5、那么S是否存在最大值？若存在，试求出这个最大值及此时的值；若不存在，试说明理由。（3）当的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。说明以上两例，一道是中等难度的运动变化问题，一道是中考压轴题，都巧妙地运用了正方形的特殊性，弱化了条件，发现问题中所蕴含的演变命题1及其图形，并能正确运用其具有的相似结论，成了解决此类问题的突破口。因而，在平时的复习课中，教师应通过简单问题的演变，给学生创造解答综合性问题的机会，让学生自己发现问题的演变技巧和解答技巧，切忌平时不渗透综合性问题教学，而等到临近中考的最后阶段再来集中复习综合题。2、弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立演变命题2：如图5，在和中，点D在边

6、BC的延长线上，AC=CE，且。则：。 图5例3 如图6，为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且也为等边三角形。 图6（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。说明此题将原题中的“3个直角”弱化为“3个角”，运用相同的方法和相同的结论（三角形等）便可解决问题。3、同时弱化条件“线段相等”和“直角”，则结论由全等弱化为相似。演变命题3：如图7，在和中，点D在边BC的延长线上，。则：。 图7这里的条件为三个角相等，至于等于多少度，并无要求，可以是下面例题中的、或等特殊的度数，也

7、可以是一个一般的度数。因而，演变命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。例4 如图8，在等边中，P为BC上一点，D为AC上一点，且，BP=1，CD= ，则的边长为（ ）。A、3 B、4C、5 D、6图8例5 如图9，在中，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作，DE交AC于点E。 图9（1） 求证：；（2） 设，求关于的函数关系式。例6 在等腰中，AB=AC=8，P为BC的中点。小惠拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。（1）如图10(1)，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10(2)情形时，三角板

8、的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F。 图101) 探究1、与还相似吗？2) 探究2、连接EF，与 是否相似？试说明理由。3) 设EF=m，的面积为，试用含m的代数式表示。说明以上三例分别结合学生熟悉的等边三角形、等腰直角三角形和三角板，创设了“3个角相等”的条件，因而三例都要运用三角形相似解决问题。通过这一系列问题的解决，让学生经历了问题的变化、解决的过程，帮助学生认识蕴含在这些变化中的共同点和规律，有助于提高学生对此类问题及其解决策略的认识、理解与掌握。例7 如图11，已知在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=10，BC=3。（1）如图11(1)，如果M为AB上一点，且满足，求AM的

9、长。（2）如图11(2)，如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足，MN交BC的延长线于点N，设AM=，CN=，求关于的函数解析式。 图11说明此题借助等腰梯形的特性,创设了满足演变命题3的条件“”，因而，仍可用三角形相似解决问题。（二）强化条件针对基本问题及演变问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段强化问题的条件，考查学生综合应用知识解决问题的能力。例8 如图12，在笔直的公路的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。 图12（1）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等

10、，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若连接AP，BP，测得，求A村到车站P的距离。说明此题是一道几何实际应用问题，题中给出了AC，BD的长度，强化了基本问题的条件，学生若能发现这一点，则能很快运用三角形全等和勾股定理解决问题。例9 如图13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10。直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与点A不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E。我们知道，结论“”成立。（1）当时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，试说明理由。（三）结论的延伸拓展考虑到习惯中的结论是两个三角形

11、全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展。例10 在中，AC=BC，直线MN经过点C，垂足为D，垂足为E。（1）当直线MN绕点C旋转到图14(1)的位置时，求证：1) ；2)DE=AD+BE（2）当直线MN绕点C旋转到图14(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明。 图14（四）图形的变式延伸结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的和相向移动交叉重叠，如图15所示。图15例11 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：1）如图16(1)，在正中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点

12、O，若，则BM=CN；2）如图16(2)，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题；3）如图16(3)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若，则BM=CN。任务要求（1）请你从1）、2）、3）三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；1）、试在图16(3)中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是，这样的线段有几条？2）、如图16(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，DA上的点，BM与CN相交于点O，若，

13、请问结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由。 图16（五）条件与结论的互换（建立原命题的逆命题）建立并讨论研究几何命题的逆命题，是几何命题数学中最为常见的一种演变方法。例12 如图17(1)、图17(2)、图17(3)中，点E，D分别是正、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P。（1）求图17(1)中，的度数；（2）图17(2)中，的度数为 ，图17(3)中，的度数为 ；（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由。 图17说明很显然，本例与例1

14、1是一种互逆关系，要求学生能通过运用正多边形性质与三角形全等等知识“正”、“逆”解决问题。（六）基本图形的构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能。例13 如图18，在梯形ABCD中，ADBC，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线，PE与直线AB交于点E。（1）若设CP=，BE=，试写出关于自变量的函数关系式。（2）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的聚会范围。 图1

15、8说明观察图形，针对条件“，试作，则有与相似，如图19、图20，从而运用相似的性质，建立函数关系：当点P在BF上时， ；当点P在CF上时，。例14 如图21，在的内部有一正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B1是ON上的任意一点，在的内部作正方形AB1C1D1。（1）连接D1D，求证：（2）连接CC1，猜一猜，的度数是多少？并证明你的结论。（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再作出一个合理的判断。说明观察图形，针对条件“”和所求“的度数”，试作，运用与全等和与全等求得。点评根据条件特点及图形特征，发现