DVD在线租赁的数学模型

1、DVD在线租赁的数学模型摘要随着网络时代的来临，各种快捷方便的网络服务出现在了人们的眼前。DVD的在线租赁也逐渐成为人们追求便捷服务的热点。本文主要采用层次分析法、0-1整数规划和多目标规划模型解决了在获得会员的最大满意程度下如何合理分配现有DVD数目和采购DVD的数量，实现DVD租赁网站的市场效应，经济效应，以及会员的满意度效应，提高DVD的使用率。我们采用层层递进式的模型，逐步优化要解决的四个问题，提出一系列的解决方案。针对问题一，我们使用经验函数解决了样本个数不足的缺陷，大致的估计出总体的分布，有效地解决了在总体分布未知的情况下，用样本估计总体的困难。考虑到实际情况，即每个会员的基本权利

2、是相等，得到DVD机会均等。为此，我们以权重比构成分配比，解决分配问题。通过建立方程组最后得出了五种DVD应准备数量；对于问题二，我们根据数据特点初步构造出了多个满意度系数表达式，并通过比较得出了比较满意的满意度表达式，有效地减少了excel的操作，这也是本文的一大亮点，然后通过建立0-1整数规划模型，基于lingo的编程求解得出了各会员的DVD分配方法，有效的解决了问题；至于问题三，我们采用多目标规划模型，用lingo编程，得到了全局最优解，即DVD数目为2850，但分配方式不唯一，通过统计处理得到了最优的各种DVD的购买量；最后，问题四，我们建立了灰色关联预测模型来实现对DVD的需求预测并

3、对网站经营管理人员提出了建VIP等级制度的建议。关键词：满意度 合理分配 层次分析法 规划模型问题重述基于的背景：会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。要解决的问题是：(1)网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，历史数据显示，

4、60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？(2)针对表2中列出的网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。(3)继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些

5、DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？(4)如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。对于本文的四个问题，我们逐个建立模型求解模型的假设(1)不计DVD碟由于损坏而不能租赁的情况。(2)不考虑租碟或还碟过程中出现的特殊情况。如租两次碟的人在一个月的最后一天还第一次租的碟，又进行第二次租碟等情况。(3)当会员得到他最喜欢的DVD时，满意度系数最大。 1.问题一 1.1 问题分析问一进行了1000个会员的观看意愿问卷调查，并将其中五种DVD的调查结果以表格形式给出，

6、并且提供了租两次碟和租一次碟的人数比率。我们要用这些统计量去估计总体（10万会员）关于这五种DVD人数分布。由于样本个数的不足，我们采用了经验函数。其表示如下：设总体X的分布函数未知，为总体X的一个样本观察值，将它们按大小排列为，令称为的经验分布函数。对任意的实数，就是事件出现的频率，而该事件出现的概率就是总体的分布函数，由频率和概率的关系知，可以作为未知分布函数的一个近似，且当越大时，这种近似的精确程度越高。根据租两次碟和租一次碟的人数比率，我们构成一个一致性成对比较矩阵，用来解决合理分配的问题。1.2 符号说明（1）分别表示租一次碟，租两次碟的人数百分率，显然有。（2）分别表示第一到第五种

7、碟的数量。（3）依次表示样本表一中愿意观看这五种DVD的人数，顺序表示总体中希望看到这五种DVD的人数。表示样本容量，表示总体容量。（4） 表示第个月，需要准备的第种DVD张数。1.3 模型建立问一中有两小问，下面将其模型依次表述如下：第一小问 依据经验函数，易得出 运用层次分析法，将租一次碟，租两次碟的人数百分率作比较，构成成对比较矩阵，。，显然是一致性矩阵，记为其权重向量。考虑到对于一种碟，只要被租两次的碟的数目超过剩余需要满足的人的数目，问题就得解。开始租碟时，为了符合实际，我们采用的比率，将碟分别分配给租一次碟，租两次碟的人。有关系式，第二小问 随着时间的延长，DVD每月数目的需求量应

8、逐渐减少，设每月需满足百分之的人数，有。 将三个方程综合求解。1.4 模型的求解问一提供的初始数据表如下表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510以第一小问DVD1为例说明解法，其余的DVD可以仿照求解。据表一知=200，,，总体容量，根据经验函数得又因为，一致性矩阵，权向量按表达式，易得出=6250.同样可以得出其它DVD的数量，并将结果写入表2表2 一个月需要准备的DVD张数DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每种DVD需要准备的张数625031251563782313同理，对第二小问我们同样以

9、DVD1为例进行说明在第一小问求出的权重向量表达式下，我们直接用第二小问的函数表达式 我们用lingo程序进行模拟求解，求出的结果如下表3表3 三个月需要准备的DVD张数DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每种DVD需要准备的张数5080254012706352541.5 模型评价与改进问一的模型用经验函数较好的解决了样本个数的不足，在未知总体分布的情况下，能较好的解决问题。在分配问题上，按权重比得出了分配比，在理论上解决了分配问题。但模型总体的精度不够，分析时考虑的综合因素少。以第二小问为例，设M为所要求的碟的张数，租两次的人半月还一次碟,，再根据，则问题可以很好的解决。结果如

10、下：表4 三个月满足95%的会员需要准备的DVD张数DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每种DVD需要准备的张数423321171059530212 2.问题二第二问的求解：建立0-1规划模型，采用lingo编程求解，实现了对现有碟的最优分配。2.1 问题分析 我们对表2的在线订单数据进行统计，发现100种DVD现有总数3007张，有1000位会员的订单，每位会员期望得到三张想看到的DVD，但分析得到，每种DVD数量与会员的在线订单数并不能一一对应。比如第一种DVD数量才10张，而想看到此种DVD的人数就有84位，必然有会员的得不到中意的DVD，分析D041这种碟，发现现有数量1

11、10张，而订单只有8张，那么有102张空着，而总数才3007张，减去这102张，还有2995张，说明必有会员得不到三张。 但根据心理学知识，如果有会员连中意的DVD一张也不到必然会产生极大抱怨，极有可能会退出此店的会员，对该店的各方面造成损失。所以在分配DVD时每个会员至少有分配到中意的DVD一张，而得到的DVD总数也必须不少于两张，对于会员没有想看到而没得到的DVD可以说明在下次租赁时分配到，这样既一定程度上满足了顾客的需要，也使有限数量的DVD得到最优分配。 为求顾客的最大满意度，我们引入顾客的“满意系数”。用表示第个会员对种DVD得满意系数。结合题意，表二中用0-9来表示会员对某种碟的偏

12、好程度，数字越小，满意度越大。但0除外。用表示表二中个会员对碟的偏好系数，即表中的0-9数据。我们给出两种与的换算方式，通过比较发现第二种更符合要求。运用数据类型的处理方法，由于表二中给出的 期望越小越好，为极小型数据。根据极小型数据的一般处理方法，我们得出以下的满意度系数计算方式： 即用订单数字的倒数作为满意度系数，数字0对应满意度最小值0，目标函数是取最大值，但满意度为非线性的反比函数，不符合订单数字大小的线性关系。将满意度越大和其函数值取得最大值联系，我们可以运用如下的转换方式： 这样处理，不仅简化的数据的操作，而且还保持了满意度与订单数字的线性关系，对分配结果不会产生影响。2.2 模型

13、的建立 引入分配变量,并记第j种DVD数量为，由前面的分析我们可以得到如下的最优化模型： 2.3 模型的求解 采用0-1整数规划模型，为求得现有DVD在满足顾客满意度最大的条件下的分配方式，运用了lingo编程（具体程序见附录（一），得到了全局最优解，实现了在最大满意度为24746时对100种DVD进行了最优分配，表一给出了前30位会员得到的DVD种类。表5 前三十位会员的DVD分配会员编号分配的DVD数会员编号分配的DVD数18,41,9826，44，62332，50，8047，18，4l5116668619，53，66726，66，81831，35，71953，78，1001041，55，

14、85115963，66122，31，4l1321，78，961423，52，891513，52，851610，84，971747，51，671841，60，781966，84，86204561892145，50，532238，55，572329，8l，952437，41，76259，69，942622，68，952750，58，78288，34，822926，30，553037，62，98 3.问题三3.1 符号说明（1）表示第个会员租第种DVD的情况。为0-1决策变量（表示没有选该DVD, 则反之）。（2）表示第个会员对第种DVD的满意度系数。3.2 模型的建立该问题的目标有两个，最大的满意

15、度，最少的DVD张数。为此我们建立多目标规划。先假定进货以后一次性满足95%的会员，目标函数是总体的满意度最大，以及购买的张数最少，有以下模型：3.3 模型的求解 由于模型中两个目标实际上是互相矛盾的，要使总的满意度最大，则分到DVD得人数越多越好，最好是每人三张，而要使进货量最少，则DVD的张数越少越好。所以平衡点只有一个，即分的DVD的人数等于950.。于是上述模型可以分两步求解，先令，目标函数保留，原多目标化为单目标，用lingo编程求出使总体满意度最大的购买和分配方案以及该方案下的总体满意度。然后把该满意度指标作为约束条件，把DVD的购买张数最小作为目标函数，再次用lingo求解，两次

16、的结果作比较可以发现：既要满足95%的会员看到他想看到的DVD，又要满意度最大，且DVD数目最少，则只有2850一种结果，最大满意度也只有一个结果。计算结果表述如下： 表6 100种DVD的最优购买数量DVD号相应购买量11720，34，26，36，19，26，27，32，34，22，28，30，28，29，25，35，2718345，31，38，31，28，35，22，28，31，24，18，24，40，29，33，31，30355134，34，20，29，28，27，49，32，24，30，33，25，32，24，30，32，36526825，30，26，30，29，29，28，31，33

17、，26，31，29，34，29，26，28，32698532，26，34，31，24，29，27，23，20，28，29，27，27，17，22，19，338610032，26，34，31，24，29，27，23，20，28，29，27，27，17，22，19，33 4.问题四4.1建立灰色关联预测模型，实现对DVD的购买预测及分配1.对于 DVD 需求预测的分析：考虑影响DVD需求量及购买量的各因素不光包括会员总数，偏爱程度，库存DVD总量，流通DVD总量，还应包括每种DVD的价格，DVD的损坏率等各因素。这些因素的影响有些是明确的，有些是不明确的，因此可以把它当成是一个灰色系统，利用灰色系

18、统理论和方法来解释和预测 。 1）数据变换以前若干月 DVD 需求总量组成参考序列， k=1,2,3N 影响因素组成参考序列，为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换处理，使其消除量纲和具有可比性。将其进行均值变换 2）灰关联度模型建立 为灰关联系数。其中为绝对差，为两极最小差，为两极最大差，为分辨系数。 实际应用时，采用求关联系数平均值的方法，其表达式 式中1，2，3，···，m 为比较序列对参考数列的关联度，关联度越大 ，表示两个数列的关联性越大，即比较数列对参考数列的影响越大。 3）灰色模型建立灰色系统理论的实质是将无规律的原

19、始数据进行累加生成，得到规律性较强的生成数列后再重新建模。由生成模型得到的数据再通过累加生成的逆运算累减生成得到还原模型，再还原模型作为预测模型。灰色模型是预测工作的基础模型。 记为原始序列， 为由经过一次累加生成的序列，其中，表示的均值生成序列， 命题1： 序列的GM（1,1）模型定义为 则参数的表达式为 ，若令，则参数的表达式为 ， 即 最后，进行精度检验，修正模型 。在实际的网站的会员往往是等级制度，VIP会员与普通的会员相比，贡献更大，利于网站的生存，网站应当给予更多的优惠的政策。在问题二的分配中往往会在会员没有差别的情况下，牺牲一部分会员的利益，对于会员不同的资质同等的对待是不科学的

20、，在实际的操作过程中是不允许出现这种问题的。不利于取得最大利益。 在资源分配过程中引入VIP会员后的模型，将VIP机制引入到问题二建立的优化模型，从而解决在会员等级制度的情况下DVD的分配问题。对现有的资源最大化的利用，带来更多的经济效益，和维护会员的利益。假设我们将会员分为3个级别，VIP*会员、VIP会员、普通会员。我们按照会员租赁的次数从大到小依次编号，假如前r的会员为VIP*会员，前r+1到t名的会员为VIP会员，t+1到最后的为普通会员。我们对优惠是：VIP*会员的每次都可以组到喜欢的前4种DVD；VIP会员每次都可租到喜欢的前6种DVD。将模型最优值改为 就可得到会员的更好的分配。

21、参考文献1 袁新生，邵大宏，LINGO和Excel在数学建模中的应用，科学出版社2 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社3 王庚，王敏生，现代数学建模方法，科学出版社4 刘焕彬等，数学模型与实验，科学出版社5 幺焕民等，数学建模，哈尔滨工业大学出版社 附录附录一：问题二的LINGO程序：model:SETS: hy/1.1000/:h; !1000个会员; DVD/1.100/:D; !DVD数; fp(hy,DVD):w,x ; !分配;ENDSETSDATA:w=file('1.txt'); d=ole('B2005DATA','dvdshu'