第四章 刚体的定轴转动

1、本章题头 刚体刚体(rigid body)形变可以忽略的质点系形变可以忽略的质点系 各质元相对位置固定的质点系各质元相对位置固定的质点系一种理想化模型一种理想化模型刚刚体体力力学学平动平动运运动动学学动动力力学学转动转动定轴转动动力学定轴转动动力学定轴转动定律定轴转动定律功能关系功能关系定点转动动力学定点转动动力学进动进动 陀螺仪陀螺仪* *平面运动动力学平面运动动力学 刚体力学刚体力学 引言引言定轴转动定轴转动定点转动定点转动4 - 14 - 11 1、刚体运动的几种形式、刚体运动的几种形式【平动】【平动】刚体内任意两点连线的空间指向在运动的刚体内任意两点连线的空间指向在运动的过程中始终保持

2、不变。过程中始终保持不变。 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动刚体内各质元的刚体内各质元的运动状态完全相运动状态完全相同，所以可以用同，所以可以用刚体内任一质元刚体内任一质元代表整个刚体的代表整个刚体的运动，通常代表运动，通常代表点选作质心。点选作质心。【转动】【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. . 转轴上仅有一点固定转轴上仅有一点固定定点转动定点转动刚体在转动过程中，刚体在转动过程中，转轴始终保持固定。转轴始终保持固定。定轴转动定轴转动 AAABCABCABCABC刚体的一般运动刚体的一般运动基点的平动基

3、点的平动+ +绕过基点轴的转动绕过基点轴的转动刚体的一般运动刚体的一般运动基点的平动基点的平动+ +绕过基点轴的转动绕过基点轴的转动 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动o o 转动平面转动平面x转动中心转动中心 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动（1）、各质元都在与转）、各质元都在与转轴垂直的平面内作圆周轴垂直的平面内作圆周运动，圆周运动的平面运动，圆周运动的平面称为称为转动平面转动平面。特点：特点：（2）定轴转动时，各质）定轴转动时，各质元的线量一般不同，但角元的线量一般不同，但角量（角位移、角速度、角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。加速度）都相同。o o 转动平面转动平面x1

4、、角位置角位置)(t t 刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程2、角位移角位移)()(t tt tt t d d3、角速度角速度d dt td d 4、角加速角加速度度d dt td d 22d dt td d 转动中心转动中心 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动o o 转动平面转动平面xd d5、角量与线量的关系角量与线量的关系o op pR Rp pr rp pp pr r p pp pr r p pR R p pr ra a p pn nr ra a2 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动20021tt t 0)(02022 6 6、在刚体作匀变速转动时，相应公、在刚体作匀

5、变速转动时，相应公式式: : 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动o o 转动平面转动平面x转动中心转动中心 例例1: 1: 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。绕垂直其横截面通过中心的轴转动。 开始时其角速度开始时其角速度为零，经为零，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000r/min。已知转子已知转子的角加速度与时间成正比。的角加速度与时间成正比。 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？ 刚体力学刚体力学 刚体的运动刚体的运动4 - 24 - 2 mP rrOxyzLPrL

6、大小：大小： sinrPL Pr 方向：方向：动量臂动量臂沿沿z轴方向轴方向大小：大小：方向方向 2mrmrL 逆时针转动，逆时针转动，沿沿z轴正向轴正向 2mrmrLz 特例：特例：圆周运动质点对圆心圆周运动质点对圆心O的角动量的角动量顺时针转动，顺时针转动，沿沿z轴负向轴负向 2mrmrLz 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量iiiiiiioiivmrvmoovmrL大小：大小：2iiiiiizrmrvmL方向：沿转轴方向方向：沿转轴方向iiiizvmrL质元对质元对o o点的角动量沿点的角动量沿Z Z轴的投影轴的投影质元对质元对o o点的角动量点的角动量zmi

7、 OirOivoir刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量刚体相对转轴上任意一点的角动量沿转轴的分量刚体相对转轴上任意一点的角动量沿转轴的分量iiiiiiiiizZrmrvmLL2刚体对转轴刚体对转轴的转动惯量的转动惯量iiirmI2ILZ结论：定轴转动的刚体相对转轴的角动量等于刚体结论：定轴转动的刚体相对转轴的角动量等于刚体转动的角速度和刚体相对转轴的转动惯量的乘积转动的角速度和刚体相对转轴的转动惯量的乘积刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量zmi OirOivoir质点对转轴的转动惯量：质点对转轴的转动惯量：l lm mO O2m ml lI IO O 例例2：圆锥摆：圆锥摆2mrI 例例1

8、：单摆：单摆l lm mO O O O2)sin(l lm mI IO OO O 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量分立质点系对转轴的转动惯量：分立质点系对转轴的转动惯量： 2i ii ir rm mI I对同一轴具有可加性对同一轴具有可加性例例3：求下图所示刚性系统对轴：求下图所示刚性系统对轴O OO O 的转动惯量的转动惯量O OO O )(22221123l lm ml lm mI IO OO O 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量质量连续分布刚体对转轴的转动惯量：质量连续分布刚体对转轴的转动惯量： dmdmr rI I2 刚体力学

9、刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布例例4：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量设单位长度的质量（设单位长度的质量（质量的线密度）为质量的线密度）为 r rd dr rl lm mdd 3121L LI IC C r rd dr rl lm mdd 331L LI IO O 形状、大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；形状、大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大； 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量3121

10、L LI IC C 331L LI IO O 同一刚体转动惯量大小取决于转轴方向与位置。同一刚体转动惯量大小取决于转轴方向与位置。 2121m mL L L Lm m 231m mL L 222121)(L Lm mm mL L 推广：平行轴定理推广：平行轴定理2m md dI II Ic c L Lm m C C2/L L 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量CdOi im mCi ir ri ir r例例5 5 求质量为求质量为m、半径为、半径为R的匀质的匀质细圆环细圆环的转动惯量。的转动惯量。RO思考：思考：dm（轴与圆环平面垂直并通过圆心）（轴与圆环平面垂直并

11、通过圆心）2m mR RI I 2 2、等质量、等半径的匀质、等质量、等半径的匀质薄圆盘薄圆盘？R221m mR RI I 1 1、等质量的匀质、等质量的匀质薄圆筒薄圆筒？同匀质同匀质细圆环！细圆环！( (同匀质同匀质圆柱圆柱) ) 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量 总质量相同，质量分布离轴越远，总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大；转动惯量越大； dmrrdr r2r rr rS Sd2d r rr rm md2d 注意：注意：物理中的数学处理！物理中的数学处理！ 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量小结：小结：由定义式求刚体转动

12、惯量：由定义式求刚体转动惯量：1 1）选取一个）选取一个恰当恰当的质元的质元dm；2 2）写出其转动惯量）写出其转动惯量dI；3) 3) 统一积分变量，求出积分统一积分变量，求出积分: : m mr rI II Idd2 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量概括为三点：概括为三点：1. 1. 形状大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；形状大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大；总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大；2.2. 同一刚体转动惯量大小取决于转轴位置。同一刚体转动惯量大小取决于转轴位置。 与转动惯量有关的因素

13、：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量质量相对转轴的分布质量相对转轴的分布 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量例例7 7：组合体的转动惯量：组合体的转动惯量： lm、RM、1. 1. 匀质刚体匀质刚体+ +匀质刚体匀质刚体 O O 2225231)(R Rl lM MM MR Rm ml lI IO O 2 . 2 .匀质刚体匀质刚体+ +规则规则“空缺空缺” RO O m m圆柱体圆柱体思路：挖补法思路：挖补法补补全全O OO OO OI II II I 22413mRmR 组合体对某定轴的组合体对某定轴的I，等于各刚体对同一转轴，等于各刚体对同一转轴I之和

14、。转动惯量具有可叠加性。之和。转动惯量具有可叠加性。 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量 RO O m mm m34 全全m mm m31 补补补补全全O OO OO OI II II I 222222121R RR Rm mR Rm mR Rm m补补补补全全22413mRmR 思路：挖补法思路：挖补法m m质量为质量为剩余部分剩余部分221R Rm mI IO O全全全全 2d dm mI II IO OO O补补补补补补 222221）（）（补补补补R Rm mR Rm m m m 刚体力学刚体力学 刚体的角动量与转动惯量刚体的角动量与转动惯量第四节第四节4

15、- 34 - 3外力对转轴的力矩外力对转轴的力矩外力相对转轴上某一点的力矩沿转轴方向的分量外力相对转轴上某一点的力矩沿转轴方向的分量外力外力Fi对对O点的力矩点的力矩izoiioiioiiFrFrFrM沿沿Z轴方向轴方向的投影为零的投影为零iiiioiFrFooFr沿沿Z轴方向轴方向的投影为零的投影为零iiizFrMzmi OiFOizFiFoir方向：沿转轴方向方向：沿转轴方向ir外力对转轴的力矩外力对转轴的力矩iiizFrMzmi i OiFirOizFiFoir方向：沿转轴方向方向：沿转轴方向id大小：大小：iiiizFrM siniiFd外力相对转轴的合力矩外力相对转轴的合力矩iiii

16、iizzrFMMsin外质点系角动量定理质点系角动量定理 质点系质点系定轴转动定轴转动定轴转动角动量定轴转动角动量定理定理Mt tL Ldd 质点系角动量质点系角动量i ii ip pr rL L 一般研究思路：一般研究思路：定轴定轴 ILz z zM Mt tL Lz zdd 转动转动dtId)( （适用于任意质点系的定轴转动）（适用于任意质点系的定轴转动）刚体刚体 I 恒定恒定 IMz 比较与说明：比较与说明： IMz m ma aF F 质点运动的动力学方程质点运动的动力学方程 刚体定轴转动的动力学方程刚体定轴转动的动力学方程aF 一定，一定，mm是质点平动惯性的量度是质点平动惯性的量度

17、 Mz 一定，一定，I II是刚体转动惯性的量度是刚体转动惯性的量度 21t tt tF Fd dt t12m mm m 21ttzdtM12I II I 一维：一维：定轴：定轴： 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理z zM Mt tL Lz zdd dtId)( 刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理的应用刚体定轴转动定理的应用 IMz 一般解题思路：一般解题思路： 1 1、选取研究对象。、选取研究对象。通常采用通常采用“隔离体隔离体”法。法。2 2、分析隔离体的受力情况，找出各力的力矩、分析隔离体的受力情况，找出各力的力矩。 3 3、列方程求解。、

18、列方程求解。对质点：对质点：写出牛顿定律分量式；写出牛顿定律分量式；对定轴转动刚体：对定轴转动刚体：应用转动定理；应用转动定理；列出必要的列出必要的辅助（关联）方程。辅助（关联）方程。4 4、必要时对结果进行讨论。、必要时对结果进行讨论。 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理例例、一个质量为、半径、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为挂一质量为的物体而下垂的物体而下垂, ,绳与滑轮无相对滑动。忽略绳与滑轮无相对滑动。忽略轴处摩擦，求物体

19、由静止轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。滑轮的角速度。mg例例2、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。 XOdmgdmx重力对整个棒的合力矩和全部重重力对整个棒的合力矩和全部重力集中于质心所产生的力矩一样力集中于质心所产生的力矩一样mgCxc恒恒量量，则则若若 I IL LM Mz zz z0说明

20、：说明：定律的适用对象定律的适用对象: : 一般质点系一般质点系包括：质点、刚体组；包括：质点、刚体组；非刚体等。非刚体等。 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 对于一个质点系，如果它受的对于某一定轴的对于一个质点系，如果它受的对于某一定轴的合外力矩为零，则它对于合外力矩为零，则它对于 这一固定轴的角动量这一固定轴的角动量保持不变。保持不变。对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒定律定律讨论：讨论：定轴转动中角动量守恒的几种常见情况定轴转动中角动量守恒的几种常见情况1 1、对定轴转动的刚体、对定轴转动的刚体 （I I 恒定）恒定）恒量恒量 I IL Lz z恒矢量

21、恒矢量被中香炉被中香炉x xz zy y陀螺仪陀螺仪 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理2 2、对定轴转动的非刚体、对定轴转动的非刚体 （I I 可以变化）可以变化）恒量恒量 I IL Lz z增增大大时时，当当I I就就减减小小；减减小小时时，当当I I就就增增大大。花样滑冰中的应用花样滑冰中的应用张臂张臂收臂收臂 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理视频一视频一 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理3、对共轴物体系：对共轴物体系：)()(0 t tL Lt tL Lz zi iz z00 )(t t

22、L Lz z （负负）（正正）)()(j jj ji ii iI II I恒量恒量 全静全静人台反转人台反转初态初态末态末态人沿某方向拨轮人沿某方向拨轮 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理例例1 1、质量分别为质量分别为M1、M2, ,半径半径分别为分别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均匀圆柱, ,可可分别绕它们本身的轴转动分别绕它们本身的轴转动, ,二轴二轴平行。原来它们沿同一转向，平行。原来它们沿同一转向，分别以分别以 1010， 2020的角速度匀速转的角速度匀速转动动, ,然后平移二轴使它

23、们的边缘然后平移二轴使它们的边缘相接触相接触, ,如图所示如图所示. .求最后在接求最后在接触处无相对滑动时触处无相对滑动时, ,每个圆柱的每个圆柱的角速度角速度 1 1， 2 2。R2M2R1M1R1M1R2M22211RR 二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有对上述问题有以下的解法对上述问题有以下的解法: :在接在接触处无相对滑动时触处无相对滑动时, ,二圆柱边缘二圆柱边缘的线速度一样的线速度一样, ,故有故有2211220110 JJJJ 222221112121RMJRMJ ,其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2。这种解法对吗。这种解法对吗? ?R1M

24、1R2M2正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, ,力矩和力矩和冲量矩的大小正比于半径冲量矩的大小正比于半径, ,方向相同方向相同: :)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR)()(2022101121JJRR1221RR从前已知由此可解得由此可解得:)( )(212202210112122211202210112MMRRMRMRJRJRJRJR)( )(211202210112122211202210121MMRRMRMRJRJRJRJR222

25、221112121RMJRMJ ,其中R1M1R2M2例例2 2、如图所示、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端止悬于顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿求子弹穿出后棒的角速度出后棒的角速度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量为质量为M. .v0vmM碰撞过程中角动量守恒碰撞过程中角动量守恒2031Mlmlvmlv041vv Mlmv490请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ?为什么为什么? ? zMdtdLz 21ttzdtM12zzLL 与与 zMdtdI I 若

26、物体系对同一转轴的合外力矩若物体系对同一转轴的合外力矩 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理第四节第四节4 - 44 - 4如何计算刚体定轴转动的动能？质点系动能定理质点系动能定理刚刚体体定定轴轴转转动动刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理动能定理对定轴转动的刚体：对定轴转动的刚体：12k kk kE EE EW WW W 内内外外ijijijijijijr rd df fdWdW 刚体内：刚体内：0 i ij jr rd d0 （刚体）（刚体）内内W W12k kk kE EE EW W 外外W? 外外? k kE E 刚体力学刚体力学 刚体定轴转动的功能原理刚

27、体定轴转动的功能原理|cosrdFrdFdW 称为力矩的功。称为力矩的功。 rdF cos coscostFFFrM MddW 21MdW力矩作功是力作功的角量表达式力矩作功是力作功的角量表达式xPrFo rdd tF iiiiiiKrmvmE222121)( 刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：2222121 Irmiii)( 拓展拓展: :定轴转动中的克尼希定理定轴转动中的克尼希定理222121C CC Ck kI Im mE E 2211()22KiiiiiiEmmr刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：2222121 Irmiii)( 212221

28、21II21dIddtdI21 21 Md12KKEEW 上式即为：上式即为：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。等于刚体的转动动能的增量。定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理例例1 已知已知、N N12RR、 、0求停止转动时所转过的圈数求停止转动时所转过的圈数如何计算岩石重力势能？如何计算岩石重力势能？hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighm iiiPhgmE 重mhmhiiic 整个刚体：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的

29、势能。集中在质心时所具有的势能。刚体的机械能刚体的机械能cmghIE221 质心的高度：质心的高度：cpmghE 重力势能：重力势能：例例、一个质量为、半径为的定、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvImgh 例例2 2 质

30、量为质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的的橡皮泥以速度橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。子粘在一起。 试求：试求： 1. 碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度； 2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。碰撞后杆子能上摆的最大角度。）Lv4mM3L碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒mvmM34JJL=)(+3MMJL2=1mm34JL2=)(mv4991616LLL22=+11333mmMM4mvLL3上摆过程机械能

31、守恒上摆过程机械能守恒3LL4vmMcoscosJ222()(+1m43JMM=mgLL 1g1)M34916L222=)(+1m4MLggmax(3mm+119163M)m varc cos2例例3 3：如图示，已知匀质园盘质量为：如图示，已知匀质园盘质量为MM，半径为，半径为R R，可绕垂直于盘面的光滑轴转动。质量为可绕垂直于盘面的光滑轴转动。质量为m=M/2m=M/2的泥的泥球下落球下落h h高度，砸在圆盘的高度，砸在圆盘的p p点，点， 已知已知q q60 60 。 求：（求：（1 1）碰撞后瞬间盘的角速度）碰撞后瞬间盘的角速度 0 0 （2 2）P P转到转到x x轴时的角速度和角加

32、速度？轴时的角速度和角加速度？碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m 、M系统，冲系统，冲力远大于重力，故重力对力远大于重力，故重力对O力矩可力矩可忽略，忽略，碰撞过程碰撞过程中角动量守恒：中角动量守恒：碰撞前瞬间系统对转轴的角动量：碰撞前瞬间系统对转轴的角动量： cosmvR222221mRmRMRJ碰撞后瞬间系统对转轴的角动量：碰撞后瞬间系统对转轴的角动量：0 JRghRv2220 coscos sincosRgRgh222解得：解得：RgmRmgRJM222（2 2对对m 、M、地球系统，只有重地球系统，只有重力做功，力做功， E守恒，令守恒，令p p、x重合时重合时E EP P=0=02202121sinJJmgR第四节第四节4 - 54 - 5zg gm mO（倒下）（倒下）zg gm mO陀螺陀螺（不倒下）（不倒下）思考：为什么高速自转的陀螺不会倒下？思考：为什么高速自转的陀螺不会倒下？自转轴自转轴进动轴进动轴高速自旋的物体的轴在空间转动的现象叫进动。高速自旋的物体的轴在空间转动的现象叫进动。zg gm mL LOC Cr rM M进动进动【回