第三章 平稳时间序列分析

1、第三章 平稳时间序列分析本章结构方法性工具ARMA模型 平稳序列建模序列预测 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测3.1 方法性工具 n差分运算n延迟算子n线性差分方程方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测差分运算n一阶差分n 阶差分 n 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx例如：原数列例如：原数列1 2 5 10 17 26 37一阶差分一阶差分 1 3 5 7 9 11二阶差分二阶差分2 2 2 2 2 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测延迟算子n延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻

2、n记B为延迟算子，有 1,pxBxtppt方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测延迟算子的性质n n n n n ，其中 10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0) 1()1 ()!( !ininCin方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测用延迟算子表示差分n例如，三阶差分3221112121122312301233313233 ()() =(2) =2()() =33 =CCCCttttttttttttttttttttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 333300( 1)( 1)iiii

3、it itiiC xC B x3(1)tBx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测用延迟算子表示差分运算n 阶差分 n 步差分pkitpiipptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测线性差分方程 n线性差分方程n齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解n特征方程n特征方程的根称为特征根，记作n齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合n有相等实根场合n复根场合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctc

4、cz111121)(tpptititttccececrz3321)(02211ptptttzazazaz1234,iipaibreaibre 为互不相等的实根方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测非齐次线性差分方程的解 n非齐次线性差分方程的特解n使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解n非齐次线性差分方程的通解n齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测本章结构方法性工具ARMA模型 平稳序列建模序列预测 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测3.2 ARMA模型的性

5、质 nAR模型（Auto Regression Model） nMA模型（Moving Average Model） nARMA模型（Auto Regression Moving Average model）方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测 AR(P)序列中心化变换n称 为 的中心化序列 ，令p101ttxytytx方法性工具A

6、RMA模型平稳序列建模序列预测自回归系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型n又可以简记为 n自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(1122-=tttptptxxxx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别 n判别原因nAR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx

7、例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxx ttttxxx115 . 0)4(方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别方法 特征根判别法平稳域判别法方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测1122121212( )0,-=0-=0ttttptppppppB xxxxx 即的特征方程为特征根为 ， ，11221212121212122-=0-=0=,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdr er empdm 设齐次线性差分方程的特征方程有p个特征根， ，其中为 个相等实根为 对共轭复根为个互不相等的实根11221212121212122-=0

8、-=0=,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdr er empdm 设齐次线性差分方程的特征方程有p个特征根， ，其中为 个相等实根为 对共轭复根为个互不相等的实根112221112111-=0+()jjtjtttptppmdmitwitwjtttjjjjjjj djxxxxxc tcr c ec e 那么齐次线性差分方程的通解为12()()0(B)0111(B)0tpAR pBx可以证明，模型的自回归系数多项式的根是齐次差分方程的特征根的倒数，即， ，是的根2121221212( )11111( )11 =()0pppppppppBBBB 而自回归系数多项式那么1

9、1221212( )0,-=0-=0ttttptpppppB xxxxx 事实上，即的特征方程为1122-= ( )=tttptptttxxxxB xx设非齐次线性差分方程的一个特解为1( )( )=(1)piiBBB根据以上性质可以因子分解成111( )=(1)=( )(1)(1)ptittipttittpiiiiB xB xkxBBB即，那么1122211121111-=+()(1)jjjtttptpttttpmpdmitwitwjtttijjjjjtjj djiixxxxxxxkc tcr c ec eB 那么齐次线性差分方程的通解为1212( ),(1,2,),lim0,| 1,1,2

10、,2| 1,1,2,( )pmjjttiiAR pccccjmxipmrimAR pp要使得模型平稳，即对任意的实数有该式成立的条件是即要求模型的 个特征根都在单位圆内。方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR模型平稳性判别方法n特征根判别nAR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内n根据的自回归特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型系数多项式(B)=0的根都在单位圆外n平稳域判别 n平稳域,21单位根都在单位圆内p方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测AR(1)模型平稳条件11平稳域 1特征根111AR(1),-=0tttxx 模型特征方程为A

11、R(2)模型平稳条件n平稳域21121211224242特征根11,12221，且1122212AR(2)+,-=0ttttxxx 模型特征方程为AR(2)模型平稳条件n平稳域21121211224242特征根11,12221，且1122212AR(2)+,-=0ttttxxx 模型特征方程为1211平稳性条件方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.1平稳性判别8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳方法性工具ARMA

12、模型平稳序列建模序列预测平稳AR模型的统计性质n均值n方差n协方差n自相关系数n偏自相关系数方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测均值 n如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有n根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有n推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测21211221212()1-=(B)0,()()0111,(B)0pptttptpttppBBBBxxxxxAR pB齐次差分方程即的特征根是模型的自回归系数多项式的根的倒数，即， ，是的根方差：借助格林函数计算 1122-= ( )=tttptpttxx

13、xxB x非齐次线性差分方程1( )( )=(1)piiBBB根据以上性质可以因子分解成111( )=(1)=( )(1)(1)ptittipttittpiiiiB xB xkxBBB即，那么方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测Green函数定义nAR模型的传递形式其中系数 称为Green函数011,1,2,pjjiiiGGkj1100100()( )1ppjtittiitiijipjjiitjjtjjtjijjkxkBBBkGG B 0( ),( )jjttjG BG BxG B记=那么方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测Green函数递推公式n原理pkpkjGGGkkkjjkk

14、j, 0, 2 , 1110其中，( )( ) ( )( )ttttttB xB G BxG B 2121( )11ppkpkkBBBBB 101)()pkjkjttkjBG B上式写成(101)()pkjkjttkjBG B上式写成(方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测方差n平稳AR模型的传递形式n两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0Green函数递推公式n原理n待定系数法n得递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，( )( ) ( )( )ttttttB xB G BxG B 2121( )11ppkpkkBBB

15、BB 101)()pkjkjttkjBG B上式写成(111+-)jjjkj kttjkGGB整理得(（1-0,1,2,jjkj kkGGj方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测平稳AR(1)模型的传递形式n平稳AR(1)模型的传递形式为nGreen函数为itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测求平稳AR(1)模型的方差n平稳AR(1)模型的传递形式为nGreen函数为n平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar方法性工

16、具ARMA模型平稳序列建模序列预测协方差函数n在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望n根据n得协方差函数的递推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk22111122tttptptxxxx方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例:求平稳AR(1)模型的协方差n递推公式n平稳AR(1)模型的方差为n协方差函数的递推公式为0111kkk212011,12121kkk方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差n平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1 (12

17、211201122121220kkkk，方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测自相关系数n自相关系数的定义n平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式0kk1122kkkpkp 方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测常用AR模型自相关系数递推公式nAR(1)模型nAR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测平稳AR(p)模型自相关系数的性质n解下面的微分方程11221=1,(1,2,)kkkpkppkkiiiicip 得通解其中，为该差分方程的特征根AR模型自相关系数的性质nAR模型自相关系数的表达式是一个齐次差分方程， 它的通解形式为n呈复指数衰减n拖尾性1pkkiiic1,ipcc1,且不能恒等于零10pkikiiic111,ppkkiiiccck 不能恒等于零不会恒等于零,某个常数方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测例3.5n