第二章线性时不变系统

1、1本章内容：本章内容： 信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时表示离散时 间信号；用间信号；用 表示连续时间信号；表示连续时间信号； LTILTI系统的时域分析系统的时域分析卷积运算；卷积运算； LTILTI系统的微分方程及差分方程表示；系统的微分方程及差分方程表示； LTILTI系统的框图结构表示；系统的框图结构表示；)(t n第二章第二章 线性时不变系统线性时不变系统2 由于由于LTILTI系统满足系统满足齐次性齐次性和和可加性可加性，并且具有，并且具有时时不变性不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。理论与方法奠定了基础。 基

2、本思想：基本思想：如果能够把任意的输入信号都分解如果能够把任意的输入信号都分解成基本信号的线性组合，那么只要得到成基本信号的线性组合，那么只要得到LTILTI系统系统对对基本信号基本信号的响应，就可以利用的响应，就可以利用系统的线性特系统的线性特性性，将系统的输出响应表示成系统对基本信号，将系统的输出响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。的响应的线性组合。(Introduction)(Introduction)3问题的实质：问题的实质：1 1 研究信号的分解：即以什么样的信号作为研究信号的分解：即以什么样的信号作为 构成任意信号的基本信号单元，如何用基本构成任意信号的基本信号单元，如何用基

3、本 信号单元的线性组合来构成任意信号；信号单元的线性组合来构成任意信号； 2 2 如何得到如何得到LTILTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求： 尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其他信号；（构成）尽可能广泛的其他信号； 2 LTI2 LTI系统对这种信号的响应易于求的。系统对这种信号的响应易于求的。如果解决了信号分解问题，即如果解决了信号分解问题，即 若若( )( )iiix ta x t( )( )iix ty t则则( )( )iiiy

4、ta y t4对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域进行，相应地产生了对进行，相应地产生了对LTILTI系统的时域分析法、频系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：5 离散时间信号中离散时间信号中, ,最简单的是最简单的是 , ,可以由它可以由它 的线性组合构成的线性组合构成 ，即：，即：( )n( )u n0( )( )()nkku nknk 一一 用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 , ,如果每次从其中取如果每次从其中取 出一个点，就可以将整个

5、信号拆开来，每次取出出一个点，就可以将整个信号拆开来，每次取出 的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单 位脉冲。位脉冲。 ( )x n（Convolution sumConvolution sum） n nu nu nkn nx67 二二 卷积和卷积和（Convolution sum） 于是有于是有：表明：任何信号表明：任何信号 都可以被分解成都可以被分解成移位移位 加权加权的单位脉冲信号的单位脉冲信号的线性组合。的线性组合。( )x n( )( ) ()kx nx knkkn nx kx nx 如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响应是的响应

6、是 ， 由线性特性就有系统对任何输入由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：的响应为：()n k( )kh n( )x n若系统具有时不变性，即若系统具有时不变性，即：( )( )nh n若若 ，则则:()()nkh nkkn nhk nx nhkxnykk nkn nhknh knhkxnyk8910因此，只要得到了因此，只要得到了LTILTI系统对系统对 的响应的响应( )n( )h n单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)(impulse response)，就可以得到就可以得到LTILTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的的 响应：响应：( )x n这表明，

7、一个这表明，一个LTILTI系统可以完全由它的单位脉冲系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积和（卷积和（The convolution sumThe convolution sum）。 n nh nhnxknhkxnyk* nx举例举例(下页下页)11解：解：12三三 卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、解析法（包括数值解法）有图解法、解析法（包括数值解法）图解法的运算过程图解法的运算过程：（：（反转反转, ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作为自变量作为自变量, ,画出画出 和

8、和 的信号波形的信号波形. .为了确为了确定定 , ,先将先将 相对于相对于 反转得到反转得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.从从 等于负无穷开始等于负无穷开始, ,也就是将也就是将 向时间轴左端平移。向时间轴左端平移。3.3.写出中间信号写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。4.4.增加时移量增加时移量 （也就是将（也就是将 向右移动），直到向右移动），直到 的数学的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的表达式出现变化。出现变化时所对应的 值标志着现在区间的结值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。束以及下一个新区间的开始。5.5.对新区间中的对新区间中的 ，重复步骤，重复

9、步骤3 3和和4 4，直到所有时间区间被划分，直到所有时间区间被划分，对应的对应的 数学表达式被确定，这通常意味着将数学表达式被确定，这通常意味着将 增加到正无穷。增加到正无穷。6.6.在每个时间区间，将相应的在每个时间区间，将相应的 对对 求和，得到该区间的输求和，得到该区间的输出出 。nkh kxknh nykknhkxkgknh kh0knkhnknhkgnnkgnkkg13例例2.4 0n6n 014kk()nkh nkknh kx104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise nx nh解：解：1401 2 3 4xn01 2 3 4 5 6hn

10、0 n-6 nhn-k n-6 n n-6 n n-6 n00. 1nynnkknanyn040. 2403.46046 n kknnny na即464.6064610 n kk nnnny na 即0yn10n:46. 5即n15 时，时，0n ( )0y n 时，时，04n00(1)11( )1111nnn knkkknnny n 时，时，46n5410411( )11n knknny n 时，时，610n4746( )1nn kk ny n 时，时，10n ( )0y n ny ny ny ny ny16 通过图形正确确定反转移位信号的区间表通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，对于确

11、定卷积和计算的区段及各区段求和示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。的上下限是很有用的。 17 对一般信号对一般信号 ，可以分成很多，可以分成很多 宽度的区段，宽度的区段， 用一个阶梯信号用一个阶梯信号 近似表示近似表示 . .当当 时时，0( )( )d()dtu tt ( )x t一一 用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这。至少

12、单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：种关系：( )xt0 ( )( )xtx t( )x t2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分系统：卷积积分18( )( ) ()dx txt 表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解为移位都可以被分解为移位 加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 ( )x t于是：于是：19与离散时间系统的分析类似，如果一个与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系线性系统对统对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可表示为：的响应可表示为： 若系统是若系统是时不变时不变的，即：的，即： 若若 ，则，则

13、 于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应可表示为：的响应可表示为： ()t( )h t( )x t( )( )( )dy txh t( )( )th t()()th t( )x t表明，表明，LTILTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位脉冲响应单位脉冲响应 来来表征。这种求得系统响应的运算关系称为表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积分（卷积积分（The convolution integralThe convolution integral）。二二 卷积积分（卷积积分（The convolution integral）( )( ) ()d( )( )y txh tx th

14、 t( )h t20三三 卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法图解法、解析法解析法和和数值解法数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对移动。对 每每一个一个 的值，的值， 将将 和和 对应相乘，再对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。计算相乘后曲线所包围的面积。 通过通过图形图形帮助确定积分区间和积分上下限是很帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。有用的。tt( )x()h t21图解法的运算过程图

15、解法的运算过程：（：（反转反转, ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作为自变量作为自变量, ,画出画出 和和 的信号波形的信号波形. .为了确为了确定定 , ,先将先将 相对于相对于 反转得到反转得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.从从 等于负无穷开始等于负无穷开始, ,也就是将也就是将 向时间轴左端平移。向时间轴左端平移。3.3.写出中间信号写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。4.4.增加时移量增加时移量 （也就是将（也就是将 向右移动），直到向右移动），直到 的数学的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的表达式出现变化。出现变化时所对应的 值标志着现在区间

16、的结值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。束以及下一个新区间的开始。5.5.对新区间中的对新区间中的 ，重复步骤，重复步骤3 3和和4 4，直到所有时间区间被划分，直到所有时间区间被划分，对应的对应的 数学表达式被确定，这通常意味着将数学表达式被确定，这通常意味着将 增加到正无穷。增加到正无穷。6.6.在每个时间区间，将相应的在每个时间区间，将相应的 对对 从负无穷到正无穷进行积分，从负无穷到正无穷进行积分，得到该区间的输出得到该区间的输出 。)(h)(x)(th)(ty)()()(thxg)(th)(h0t)(h)(gtt)(thtt)(gt)(gt220( )( )( )( ) (

17、)de( ) ()d1ed(1 e) ( )ataaty tx th txh tuu tu ta例例2.6： ( )e( )0atx tu ta( )( )h tu t01( )xt01()u t解法一：解析法解法一：解析法解法二：图解法解法二：图解法23例例 2.7： 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()d() ( )dy tx th txh tx th02T2T( )h()x t01tTt解：解：24 当当 时，时，0t ( )0y t 当当 时，时，0tT 201( )d2ty tt 当当 时，时，2TtT

18、21( )d2tt Ty tTtT 当当 时，时，23TtT 2221( )d2()2Tt Ty tTtT 当当 时，时，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )y t25 2.22（b）26( )( )( )( ) ()() ( )( )( )kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一 、卷积积分与卷积和的性质、卷积积分与卷积和的性质1 1 、交换律：、交换律：( )( )( )( ) ()d() ( )d( )( )y tx th txh tx thh tx t27()xt()yt()ht( )xn( )y n( )hn()ht()yt()xt

19、( )hn( )xn( )y n结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTILTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生的响应，所产生的响应，与与一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTILTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生的响应相同。所产生的响应相同。( )h t( )x t( )h t( )x t28( )x n12( )( )h nh n12( )( ) ( )( )y nx nh nh n( )x t12( )( )h th t12( )( ) ( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n1( )( )x nh n2( )( )

20、x nh n( )y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t结论：结论：两个两个LTILTI系统并联，其总的单位脉冲响应等于各子系统并联，其总的单位脉冲响应等于各子系统单位脉冲响应之和。系统单位脉冲响应之和。2 2、分配律：、分配律：12121212( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t29303 结合律结合律:12121212 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx

21、th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t1( )( )x th t12( ) ( )( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n12( ) ( )( )( )y nx nh nh n12( )( )h th t( )x t( )x n12( )( ) ( )( )y tx th th t12( )( ) ( )( )y nx nh nh n12( )( )h nh n结论：结论：两个两个LTILTI系统级联时，系统总的单位冲激脉系统级联时，系统总的单位冲激脉冲响应等于冲响应等于各子系统单位冲激脉冲响应的卷积各子系统单位冲激脉冲响应

22、的卷积。31 由于卷积满足交换律，因此，由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后系统级联的先后次序次序可以可以调换调换。12211221( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x n( )x n( )y n( )y n1( )h n2( )h n2( )h n1( )h n( )x t( )x t( )y t( )y t1( )h t1( )h t2( )h t2( )h t32产生以上结论的产生以上结论的前提条件：前提条件：系统必须是系统必须是LTILTI系统系统； 所有涉及到的所有

23、涉及到的卷积运算必须收敛卷积运算必须收敛。如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4( )y tx t若交换级联次序，即：若交换级联次序，即：显然是不等价的。显然是不等价的。又如：又如：若若 ，系统都是，系统都是LTILTI系统。当系统。当 时，时，12( )( )(1),( )( )h nnnh nu n( )1x n 由于由于 不收敛，因而也不能交换其级联次序。不收敛，因而也不能交换其级联次序。( )( )x nu n( )x n1( )h n2( )h n0( )0y n 334 4、卷积还有如下性质：、卷积还有如下性质：卷积积分卷积

24、积分满足微分、积分及时移特性：满足微分、积分及时移特性： 若若 ，则，则: : 若若 ，则，则: :( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )d ( )( ) ( )d ( )d tttx th tx th ty txh tx thy( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt补充性质：补充性质：34卷积和卷积和满足差分、求和及时移特性：满足差分、求和及时移特性： 若若 ，则，则 若若 ，则，则 ( )( )( )x nh ny n( )( )( )x nh ny n ( )(1)( )( )(1)( )(

25、 )( ) ( )( )nnnkkkx nx nh ny ny nx kh nx nh ky k000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn35tttdxtdxdtxtutx)()()()()()(*)()()()(:)()()(:2121tttytthttxthtxty则若)()(*)(*)();(*)(*)(*)()()()()()()(:2121212121tttytttttyttttthtxttthtttxtthttx结合率证微分器);()(*)(txttx积分器;)()(*)(tdxtutx与与 (t)(t)的卷积的卷积: :单位冲激响应等于单位冲激响应等于 (

26、t)(t)的系统是的系统是恒等系统恒等系统 信号平移信号平移: :)()()(txttx）00()()(ttxtttx)()()(1010tttxttttx36将将 微分一次的，微分一次的，( )x t( )( )()x tttT02T2Tt( )h t( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：例如：例如：2.2 2.2 中的例中的例2.72.737T2TT2T( )y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t( )y t( )(

27、 )dty ty38则在任何时刻则在任何时刻 ， 都只能和都只能和 时刻的输时刻的输入有关，即和式中只能有入有关，即和式中只能有 时的一项为非时的一项为非零，因此必须有：零，因此必须有：二、二、LTILTI系统的性质系统的性质1 1、记忆性：、记忆性： LTI LTI系统可以系统可以由由它的单位冲激它的单位冲激/ /脉冲响应脉冲响应来来表表征征，因而其特性（，因而其特性（记忆性记忆性、可逆性可逆性、因果性因果性、稳稳定性定性）都应在其单位冲激响应中有所体现。）都应在其单位冲激响应中有所体现。根据根据 ，如果系统是，如果系统是无记忆无记忆的，的，( )( ) ()ky nx k h nkn( )

28、y nnkn()0,h nkkn即：即：( )0,0h nn39因此，无记忆系统的单位脉冲响应为：因此，无记忆系统的单位脉冲响应为：( )( )( )( )h nknh tkt( )( )( )( )( )( )x nh nkx nx th tkx t，当，当 时系统是恒等系统。时系统是恒等系统。1k 如果如果LTILTI系统的单位冲激响应不满足上述要求，系统的单位冲激响应不满足上述要求，则系统是则系统是记忆的记忆的。此时，此时，40 如果如果LTILTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且 该逆系统也是该逆系统也是LTILTI系统，它们级联起来构成一个恒等

29、系统，它们级联起来构成一个恒等 系统。系统。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有：( )( )( )( )( )( )h tg tth ng nn例如：例如：延时器延时器是可逆的是可逆的LTILTI系统，其系统，其 ，其逆，其逆 系统是系统是 ，显然有：，显然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTILTI系统，其系统，其 ，其逆系，其逆系 统是统是 ，显然也有：，显然也有：( )( )h nu n( )( )(1)g nnn( )( )( ) ( )(1)( )(1)( )

30、h ng nu nnnu nu nn2 2、可逆性：、可逆性：413 3、因果性：、因果性：由由 ，当，当LTILTI系统是因果系统时，系统是因果系统时，( )( ) ()ky nx k h nk在任何时刻在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其以时刻及其以前的输入，即和式中所有前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，n( )y nnkn()0,h nkkn( )0,0h nn或或对连续时间系统，对连续时间系统， 这是这是LTILTI系统具有因果性的系统具有因果性的充分必要条件充分必要条件。( )0,0h tt即：即：42( ) 0,0h nn( )0,0h tt对于

31、一个因果的离散时间对于一个因果的离散时间LTILTI系统，由：系统，由：那么其卷积和及卷积积分式：那么其卷积和及卷积积分式：43根据稳定性的定义，由根据稳定性的定义，由 ， 若若 有界，则有界，则 若系统稳定，则若系统稳定，则 必有界，由必有界，由( )( ) ()ky nx k h nk( )x n()x nkA( )y n( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，可知，( )nh n 对连续时间系统，对连续时间系统， ( )dh tt 这是这是LTILTI系统稳定的充分必要条件。系统稳定的充分必要条件。4 4 稳定性：稳定性：例题例题2.13

32、2.13445 5、LTILTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应： 在工程实际中，也常用在工程实际中，也常用单位阶跃响应单位阶跃响应来描述来描述LTILTI系统。系统。单位阶跃响应就是系统对单位阶跃响应就是系统对 或所产生的响应。或所产生的响应。( )u t( )u n( )( )( )( )( )( )s tu th ts nu nh nd( )( )d( )( )dts thh ts ttLTILTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。 ( )( )( )( )(1)nks nh kh ns ns n45 在工程实际中有相当普遍的一类系

33、统，其数学在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用模型可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程或或线性常系数差分线性常系数差分方程方程来描述。分析这类来描述。分析这类LTILTI系统，就是要求求解系统，就是要求求解线线性常系数微分性常系数微分或或差分方程。差分方程。 (The causal LTI Systems described by (The causal LTI Systems described by differential and difference equation) differential and difference equation)46解：解：上上（1）

34、求特解求特解：求特解的通用方法是找一个所谓的受迫响应，即一：求特解的通用方法是找一个所谓的受迫响应，即一个与输入形式相同的信号。令：个与输入形式相同的信号。令：代入方程可得：代入方程可得：（2）求齐次解求齐次解：设：设 代入齐次方程有：代入齐次方程有：综上，完全解为：综上，完全解为： （A为某一常数）为某一常数） 47一一 线性常系数微分方程线性常系数微分方程 （Linear constant-coefficient differential equationLinear constant-coefficient differential equation）00d( )d( ),ddkkNMk

35、kkkkky tx tabtt,kkab均为常数 求解该微分方程，通常是求出一个特解求解该微分方程，通常是求出一个特解 和通解和通解 ，则，则 ；特解；特解 是与输入是与输入 同类型的函数通解；同类型的函数通解； 是齐次方是齐次方程的解，即程的解，即 的解，的解，欲求得齐次解，欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：可根据齐次方程建立一个特征方程： ( )pyt( )hy t( )( )( )phy tyty t( )pyt( )x t( )hy t0d( )0dkNkkky tat00Nkkka48求出其特征根。在特征根均为单价根时，可得出齐求出其特征根。在特征根均为单价根时，可得出齐

36、次解的形式为：次解的形式为：1( )e,kNthkky tC其中其中 是待定系数。是待定系数。kC 要确定系数要确定系数 ，需要有一组条件，称为，需要有一组条件，称为附加附加条件条件。仅仅从确定待定系数。仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。给出附加条件的时刻都可以是任意的。 kCkC49 当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统足系统零输入零输入零输出零输出的特性。系统在没有输入的特性。系统在没有输入即即 时，微

37、分方程就蜕变成齐次方程，因而时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零即所有描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零即所有的都为零。这就要求确定待定系数的都为零。这就要求确定待定系数 所需的一组所需的一组附加条件的值必须全部为零，即具有零附加条件，附加条件的值必须全部为零，即具有零附加条件，LCCDELCCDE才能描述线性系统。才能描述线性系统。 在这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，在这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCCDELCCDE描述的系统不仅是描述的系统不仅是线性的线性的，也是，也是因果的因果的和和时时不不变变的。的。 ( )0 x t kC50

38、在信号加入时刻给出的零附加条件称为在信号加入时刻给出的零附加条件称为零零 初始条件。初始条件。结论：结论：LCCDELCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描具有一组全部为零的初始条件可以描 述一个述一个LTILTI因果系统。这组条件是：因果系统。这组条件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0Nyyy如果一个因果的如果一个因果的LTILTI系统由系统由LCCDELCCDE描述（方程描述（方程 具有零初始条件），就具有零初始条件），就称称该系统初始是静止的或最该系统初始是静止的或最 初是松弛的初是松弛的。 如果如果LCCDELCCDE具有一组非零的初始条件，则可以具有一组非零的初始条件，则可以

39、证明它所描述的证明它所描述的系统是增量线性系统是增量线性的。的。P P414151二二 线性常系数差分方程（线性常系数差分方程（LCCDELCCDE）: (Linear constant-coefficient difference equation) 一般的线性常系数差分方程（一般的线性常系数差分方程（LCCDELCCDE）可表示为：）可表示为： 与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个 特解特解 和一个和一个通解通解，即齐次解，即齐次解 来进行，其过来进行，其过 程与解微分方程一样。程与解微分方程一样。 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加

40、要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加 条件条件. .同样地，当同样地，当LCCDELCCDE具有一组全部为零的初始条件具有一组全部为零的初始条件 时，所描述的系统是时，所描述的系统是线性线性、因果因果、时不变时不变的。的。 00()()NMkkkka y n kb x n knypnyh52 无论微分方程还是差分方程，由于其特解都是无论微分方程还是差分方程，由于其特解都是与输入信号具有与输入信号具有相同函数形式相同函数形式的，也就是说它是完的，也就是说它是完全由输入决定的全由输入决定的, ,因而特解所对应的这一部分响应因而特解所对应的这一部分响应称为称为受迫响应受迫响应或或强迫响应强迫响

41、应。齐次解所对应的部分。齐次解所对应的部分 由于与输入信号无关，也称为系统的由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应自然响应。 说明：说明： 增量线性系统的响应分为增量线性系统的响应分为零状态响应零状态响应和和零输入零输入 响应响应。零输入响应由于与输入信号无关，因此它属零输入响应由于与输入信号无关，因此它属 于自然响应。于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，也与零状态响应既与输入信号有关，也与 系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有 一部分自然响应。一部分自然响应。53 线性常系数差分方程还可以采用线性常系数差分方程还可以采用迭代迭代的方法

42、求解，将的方法求解，将方程改写为：方程改写为：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka可以看出，要求出可以看出，要求出 , ,不仅要知道所有的输入不仅要知道所有的输入 , ,还要知道还要知道 用递推的方法可以求得用递推的方法可以求得 n n 0 0时所有的时所有的例如例如:y(0) 可从可从 y(-1),y(-2),y(-3)y(-N)求得求得 y(1) 可从可从 y(0), y(-1),y(-2)y(-N+1)求得求得 y(2) 可从可从 y(1), y(0), y(-1)y(-N+2)求得求得 . . .( )x n( )y n) 4(),3(),2(),1(ny

43、nynyny)(ny54 由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为为递归方程递归方程（recursive equationrecursive equation）。）。1001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka将将(K=N的项提出的项提出) 方程改写为方程改写为: 用递推的方法可以求得用递推的方法可以求得 n 0时所有的时所有的y(n)例如例如:y(-1) 可从可从 y(0),y(1),y(2)y(N-1)求得求得 y(-2) 可从可从 y(-1), y(0),y(1)y(N-2)求得求得 y(-3) 可从可从 y(-2), y

44、(-1), y(0)y(N-3)求得求得 . . .举例举例2.15551)()(2) 1(Nnxnyny)1 () 1 (21)2()0() 1 (21) 1 ()1()0(21)0()(0)1()(21)(yxyyxyyxynynnynxny的求出)2(2)2()3()1(2) 1()2()0(2)0() 1()(0)(2)() 1(yxyyxyyxynynnynxny的求出) )()(1)(010NkNkkkknyaknxbany) )()(1)(010NkNkkkNknyaknxbaNny总结：总结：差分方程的递推迭代解法差分方程的递推迭代解法补充例题补充例题56当当 ，差分方程变为：

45、，差分方程变为： 此时此时, ,求解方程不再需要迭代运算，因而称为求解方程不再需要迭代运算，因而称为非非 递归方程递归方程（nonrecursive equationnonrecursive equation）。显然，此时方）。显然，此时方 程就是一个卷积和的形式，相当于程就是一个卷积和的形式，相当于 此时，系统单位脉冲响应此时，系统单位脉冲响应 是有限长的是有限长的, ,因因 而把这种方程描述的而把这种方程描述的LTILTI系统称为系统称为FIRFIR系统系统（Finite Finite Impulse ResponseImpulse Response）. .将递归方程描述的系统称为将递归方程描述的系统称为IIRIIR系统系统（Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Response）, ,此时系统此时系统 的单位脉冲响应是一个无限长的序列。的单位脉冲响应是一个无限长的序列。 FIRFIR系统与系统与IIRIIR系统是离散时间系统是离散时间LTILTI系统中两类很系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。很大的差异。00( )()Mkkby nx nka0( ),0n