清华大学微积分高等数学课件第1讲函数

1、2022-4-111欢迎你！欢迎你！清华园的清华园的 新主人新主人2022-4-1122022-4-113微积分微积分讲课教师陆小援2022-4-114参考书目：参考书目：1. 微积分教程微积分教程 韩云瑞等韩云瑞等清华大学出版社清华大学出版社3. 微积分学习指导微积分学习指导韩云瑞等韩云瑞等4. 大学数学大学数学概念、方法与技巧概念、方法与技巧 微积分部分微积分部分 刘坤林等刘坤林等2. 一元微积分一元微积分 萧树铁萧树铁 主编主编 高教出版社高教出版社清华大学出版社清华大学出版社清华大学出版社清华大学出版社2022-4-115作作 业业 P3 P3 习题习题1.1 1.1 4(2)(4)(

2、6). 7. 4(2)(4)(6). 7. P7 P7 习题习题1.2 2. 5. 1.2 2. 5. P12 P12 习题习题1.3 7. 9.预习：P27392022-4-116答疑时间答疑时间地点地点：理科楼理科楼 数学系数学系 1111交作业时间：交作业时间： 星期一星期一星期五星期五 课后课后2022-4-117引言引言（一）上大学学什麽？（一）上大学学什麽？ 珍惜时光珍惜时光 三个方面三个方面 学会自学学会自学尝试研究性的学习方法：尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：注重持续性学习：有计划地安排学习有计划地安排学习做人之道做

3、人之道, 治学之方治学之方, 健身之术健身之术学会向书本、老师、周围学学会向书本、老师、周围学2022-4-118（二）学数学学什麽？（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征数学的基本特征抽象性抽象性演绎性演绎性广泛性广泛性（研究对象）（研究对象）（论证方法）（论证方法）（应用）（应用）假设假设结论结论logic理性理性思维思维2022-4-119关关于于学学习习数数学学的的要要求求1 1) )搞搞清清概概念念，侧侧重重思思路路。2 2) )适适当当做做题题，掌掌握握基基本本。3 3) )广广泛泛联联想想，多多方方应应用用。2022-4-1110（三）这个学期学什麽？（三）这个学期学什麽？ 一元函

4、数微分一元函数微分 利用极限研究函数的种种表达及其诸多利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质性质极限的直观定义与计算极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算导数与微分的概念与计算微分学应用微分学应用 一元函数积分一元函数积分不定积分不定积分定积分概念与计算定积分概念与计算积分学应用积分学应用 简单微分方程简单微分方程2022-4-1111第一讲第一讲 函数函数一、予备知识一、予备知识二、函数概念二、函数概念 三、函数的初等性质三、函数的初等性质四、复合函数与反函数四、复合函数与反函数五、初等函数五、初等函数2022-4-1112一、予备知识一、予备知识1. 常用的数的集合常用的数的集合自然数

5、集自然数集有理数集有理数集整数集整数集实数集实数集,210nN， ,210nZ ，,Q为为互互质质的的整整数数qpqp R是是实实数数xx ,CRyxiyx 复数集复数集2022-4-11132. 邻域邻域0,0 Rx设设0 x 0 x 0 x Ox),(),(0000 xxxxxxN 000 xxxxx).,(000 xNxxxx记作记作邻域邻域的的称为点称为点数集数集 邻域邻域的空心的空心点点称为称为数集数集 00*0),(0 xxNxxx),(000 xxx 2022-4-1114逻辑符号逻辑符号. 3”）全称量词“）全称量词“（ 1”表示“任意的”。”表示“任意的”。“ 例如：例如：”

6、“Rx ”。”。表示“对于任意的实数表示“对于任意的实数 x”）存存在在量量词词“（ 2”表示“存在”。”表示“存在”。“ 例如：例如：）”）”（且且“b,acQc,ba,Qb,a .cb,a有理数有理数之间，存在之间，存在表示“任意两个有理数表示“任意两个有理数2022-4-1115二、函数概念二、函数概念定义：定义：.RD为为非非空空数数集集设设 .).(,!,上上的的一一个个函函数数在在为为定定义义则则称称记记作作与与之之对对应应实实数数按按确确定定的的规规则则如如果果DfxfyyfDx RDf:或或记记.,定定义义域域因因变变量量自自变变量量Dyx存在存在唯一唯一值值域域),(,Dxx

7、fyRyy )(Df)( fR或或2022-4-1116函数的两个要素：函数的两个要素：2.定义域定义域 D1.对应规则对应规则 fxxyxy2: 与与例例12)(2 xxf例例：表表示示对对应应规规则则 f12)(2 f112)1(2 f1)12(2)12(2 ttf1)1(2)1(2 xxf表表示示的的是是不不同同的的函函数数定定义义域域不不同同，2022-4-1117三、函数的初等性质三、函数的初等性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性称称为为奇奇函函数数)(),()(,xfxfxfDx 称称为为偶偶函函数数)(),()(,xfxfxfDx 2. 函数的增减性函数的增减性)f,)x(f)xf

8、)x(f)x(fxx,Ix,x（严格单调增函数（严格单调增函数为单调增函数为单调增函数称称）（21212121( )f),)x(f)x(f()x(f)x(fxx,Ix,x严格单调减函数严格单调减函数（为单调减函数为单调减函数称称21212121 2022-4-11183. 函数的周期性函数的周期性为周期函数为周期函数称称 f)x(f)Tx(fx,T R0的的周周期期是是则则称称有有最最小小周周期期若若fTTf,注意注意 并不是所有的函数都有最小周期并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数例如：考察狄里克雷函数 为无理数为无理数当当为有理数为有理数当当xxx, 0, 1)( 2022-

9、4-11194. 函数的有界性函数的有界性定义：定义：使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)1(M,M)x(f,Dx 都都有有每每一一个个.上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数Df使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)2(NN)x(f,Dx 都有都有每一个每一个.上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Df2022-4-1120.,)3(数数有有界界函函称称为为数数既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函使使得得对对于于即即存存在在一一个个正正数数, 0 M.)(,MxfDx 成成立立每每一一个个例例),( xeyeyxx和和00),( xxeex和和有有因为因

10、为.,),(,无上界无上界有下界有下界上上在在和和所以所以 xxeyey2022-4-1121问题问题 如何定义无界函数？如何定义无界函数？.,)(, 0*上无界上无界在在则称函数则称函数使得使得总存在总存在如果对任意的正数如果对任意的正数DfMxfDxM 例例.), 0()0,(1上上是是无无界界的的在在 xy.),(, 0有有界界的的上上是是在在对对任任意意的的 则则有有取取对对任任意意的的,21, 0*MxM MMxxx 21* 11 x2022-4-11221x2xxx)(xfy yoAB凸凸的的（下下凸凸）5.函数的凸性函数的凸性2022-4-1123yxo1x2xx凹凹的的（上上凸

11、凸）)(xfy AB2022-4-1124可表示为如下形式：可表示为如下形式：xxxx, ),(21 ,11121xkkxkx 可解出可解出1,1,02121 且且其中其中221121,),(xxxxxx 有有则则)0(,21 kkxxxx记记,1,1121kkk 令令2022-4-1125弦线弦线AB的方程为的方程为)()()()()(112121xxxxxfxfxfxY )()(, ),(221121xxYxYxxx 有有121 )()()(2211xfxfxY )()()()(1221112121xxxxxxfxfxf 2022-4-1126.,)()()(.,1)()()(, ,.,:

12、)(2211221121212211221121函函数数上上为为凹凹在在则则称称如如果果函函数数凸凸上上为为在在则则称称都都成成立立和和的的任任意意非非负负实实数数对对于于满满足足不不等等式式如如果果设设函函数数bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf （一）（一） 凸性定义：凸性定义：2022-4-1127四、四、 复合函数与反函数复合函数与反函数定义：定义：这这时时在在集集合合的的交交集集非非空空定定义义域域的的与与的的值值域域并并且且和和假假定定给给了了两两个个函函数数,)()(),()(fDfgRgxguufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(构构

13、成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数gfxgfy 1. 复合函数复合函数2022-4-1128例例,sin)(,)()1(xxgueufyu 则有则有 xexgfsin)( ),( x,)(,)()2(2xxguuufy 则有则有 xxxgf 2)(),( xgf 记记作作)(:)(xgfxgf 即即2022-4-1129, 1)(,ln)()4(2 xxguuufy则有则有 ),1ln()(2 xxgf)., 1()1,( x. 1)(,arcsin)()3( xexguuf所以所以, 不能构成复合函数不能构成复合函数 ).(xgf,1

14、, 1)( fD), 1()( gR.)()( gRfD因为因为2022-4-11302. 反函数反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即在函数定义中，要求函数是单值的，即)()(2121xfxfxx )()(,2121xfxfxx 不不一一定定有有但但是是)()(2121xfxfxx 如果如果之之间间就就有有如如下下关关系系与与值值域域则则在在定定义义域域)(DfD)(,!),(xfyDxDfy 使使得得.)(,)(的的反反函函数数称称为为函函数数新新的的对对应应关关系系到到个个由由这这是是一一xfyDDf )()(1Dfyyfx 记记作作2022-4-1131.)(11DffDfff的的定

15、定义义域域的的值值域域是是；的的值值域域的的定定义义域域是是函函数数反反函函数数由由定定义义可可以以知知道道： 2022-4-1132例例2xxfysin)( 设设严格单调严格单调则则1, 12,2 : f1, 1arcsin)(1 yyyfx有反函数有反函数例例3), 0(),( xey是是严严格格单单调调函函数数习惯上习惯上, 记记), 0(ln xxy), 0(ln)(1 yyyfx有反函数有反函数2022-4-1133五、五、 初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数（2）幂函数）幂函数（5）三角函数）三角函数（3）指数函数）指数函数（6）反三角函数）反三角函数（4）对数函数）对数函数

16、（1）常量函数）常量函数 xy )0( aayxxey )(常数常数cy xyalog xxyelog:ln e是无理数是无理数xxxxcot,tan,cos,sinxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin都是周期函数都是周期函数2022-4-1134初等函数初等函数基本初等函数经过基本初等函数经过有限次有限次的四则运算的四则运算及复合运算所得到的函数及复合运算所得到的函数, 称为初等函数称为初等函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦)(21sinhxxeex 双曲余弦双曲余弦)(21coshxxeex 双曲正切双曲正切xxxxeeeexxx coshsinhtanh),

17、( x2022-4-1135反双曲正弦反双曲正弦)1ln(harcsin2xxx 反双曲余弦反双曲余弦)1ln(harccos2 xxx反双曲正切反双曲正切xxx 11ln21harctan),( x), 1 x)1, 1( x2022-4-1136非初等函数的例子非初等函数的例子（1）符号函数）符号函数 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 注意注意2022-4-1137（2）取整函数）取整函数 ), 1(:Zkkxkkxy 25 . 2 例如例如 35 . 2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 注意注意 )(1Rxxxx 2022-4-1138函数表示的其他分类：函数表示的其他分类