高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第9期

1、蜜蜂周报 第九期蜜 蜂 周 报第 9 期（2020 年 5 月 11 日-5 月 17 日）蜜蜂周报 第九期关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。沃兹基硕德蜜蜂周报 第九期2020 年第 9 期目录1.也许有趣，也许无聊换个角度看一元

2、二次方程的判别式.12.这个题等和线不好使-向量系数和一题（续）.33.连用两次三点共线.44.四边形能创造的向量问题是无穷尽的 .65.不翻折你就不知道啥叫立体几何！（续） .66.二次方程根的分布.107.换元，求导这样看此题不难.118.一个看似很复杂的自变量个数最值问题 .119.与斯特瓦尔特定理有关的一道题 .1310.导是王道，算得天下北大自招不等式一题.1411.椭圆内部已经放不下动点了焦点三角形的旁心.1712.从轨迹角度去解决这些问题 .1913.唐山一模的选择压轴（极值点与零点） .2414.旋转的灯管，很妙的一个立体问题情境 .2615.最值也是定值又是三点共线.30蜜蜂

3、周报1-8 合订本下载.40附录：.41蜜蜂周报 第九期1.也许有趣，也许无聊换个角度看一元二次方程的判别式题目来自公众号“邹生书数学”这个题的函数结构看起来非常复杂，公众号给出的严格解法构造了 6 个函数来求解！我看不懂。估计能坚持看到底的人极少，所以就不再贴解答了，链接在这里，大家有兴趣可以点开去看：deebec75e3a61c037fec2158310&chksm=fc447a8ccb33f39ad4d2635697420465d42f4801b89218601e155e8519a1a752a2380a11a06d&mpshare=1&scene=1&sr

4、cid=&sharer_sharetime=1589084597191&sharer_shareid=36a227456ade880763ec9ab2d44eba17&key=14ed3836f8067fda40573f093e2aa02abb638f98ce3b07e20e8ff86d84656b02b5bd3eb6eddb2d369b581cd36c1c086d632890886cefd1d5c37f6bb02db01d8f89afebcdcaa04e5bf0ef3c48bee2723b&ascene=1&uin=ODIxNzQ4NjU%3D&

5、;devicetype=Windows+10+x64&version=62090070&lang=zh_CN&exportkey=Ac050HgDBblmu6XGyJm%2Blos%3D&pass_ticket=U2GYIbW61CypEe6yfieUBrUJNz9ViayRu6eF423%2FDrY%3D我比较感兴趣的是，在微信群“高中数学解题交流二群”，老师们在讨论的时候，深圳的杨俊老师发的一个观点，让我们从图形视角来认识这个问题：蜜蜂周报 第 9 期 1 / 46蜜蜂周报 第九期把原方程分成左右两个函数，把方程有解问题转化为两个函数图像的公共点问题。这种方

6、法在处理函数零点时经常使用，本身并不稀奇，不过这个题有点特殊的地方在于：（1） 两个函数都比较复杂，尤其函数 g（x）的图像更复杂，二次复合的，比较少见；（2） 两个公共点中有一个是两个函数图像的切点，在这个点处两个函数有相同的切线。这个切点也是公共点的现象，我觉得有点意思。我就联想了一下，从最简单的、最熟悉的问题入手，把我们最熟悉的问题重新用导数的视角审视一下说了半天其实说的就是二次方程的判别式问题。ax2 + bx + c = 0(a > 0) ，判别式： D=b2 - 4ac ，这里要忽略二次方程的简单性、熟悉性，就假设我们只知道对方是一个单峰开口向上的曲线，要从导数角度讨论它和直

7、线的公共点问题（即不存在什么联立解方程组的方法）。第 9 期 2 / 46蜜蜂周报 第九期2.这个题等和线不好使-向量系数和一题（续）第 8 期选的下面这个题，那期标题的含义，是我希望用等和线解法，从图形上直接确定最值的位置，再稍加计算来求出最值。但是按此思路，这个题是不行的。（等和线的优势在于几何方法，几何分析为主，计算为辅。但这个题动态关系复杂，无法直观确定最值的状态）第 8 期发布后，郑州刘登成老师提供了一个解法，比较简单！当然它不算纯粹的等和线方法，就是说没有直接确定最值的位置，属于部分使用等和线原理。所以，有的时候，并非是“不存在”，而是我们“没找到”。多想一点，还是有好处的。蜜蜂周

8、报 第 9 期 3 / 46蜜蜂周报 第九期3.连用两次三点共线5 月 11 日早上我还在床上的时候，看到了这个题：蜜蜂周报 第 9 期 4 / 46蜜蜂周报 第九期看过文章，我就想，最大值可以用三点共线来解决，最小值能不能呢？试了下，可以。我的解法如下：第一次三点共线，用恒成立来解释，OC右边的最大值，连写不太合适。蜜蜂周报 第 9 期 5 / 46蜜蜂周报 第九期4.四边形能创造的向量问题是无穷尽的如题，四边形，是这么好的一个载体，总是被命题人翻来覆去的研究使用，创造出常考常新的题目。答案有误，应该为 3.我的解法如下：5.不翻折你就不知道啥叫立体几何！（续）蜜蜂周报 第 9 期 6 /

9、46蜜蜂周报 第九期这是第七期 11 题。我在那期做出的是 A，当时认为 CD 是错的。本周在群里继续研讨本题。纠正一下，答案应为：ACD。这个题，我还没有静下心来用自己的脑子好好琢磨，先把看到的解答收集。（1）选项 A，这个的解法不变，这样考虑比较简单：因为 SE 始终垂直 SA,所以，只要 SEAB，就可推知 SE平面 SAB，则 SESB。而 SEAB，是肯定可以办到的，只要 S 在翻折过程中，使 SEAB(S为 S 在平面 ABC 内的射影）即可，这个位置肯定存在（在平面 ABC 内过 E 作与 AB 垂直的线，只要 S 的射影在其上即可）。而且在这种思路下，我们还可以得到一个副产品：

10、只要 E 在 CD 上，不论 E 在什么位置，在翻折过程中，总存在一个位置满足 SESB！（2）选项 B，显然错误；（3）选项 C，（4）选项 D,下面的解答由山东刘金老师提供：蜜蜂周报 第 9 期 7 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 8 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 9 / 46蜜蜂周报 第九期6.二次方程根的分布这里，很重要，充分考虑到正整数的性质，进一步缩小范围。蜜蜂周报 第 9 期 10 / 46蜜蜂周报 第九期7.换元，求导这样看此题不难8.一个看似很复杂的自变量个数最值问题下面的解法由黑龙江的卢军老师提供：我的解法和他一样。这个题的思路，让我联系到前一

11、阵遇到的那个模考题：出现在第二期：蜜蜂周报 第 9 期 11 / 46蜜蜂周报 第九期19.下标你能否看懂？这是一个考理解的题这个题很重要的一个考查点是对数学符号的理解：当直线 y=t 与函数图像有两个交点时，这两个交点分别在直线 x=e 左右两侧，题干中说的那些x x x 是指的在左侧的那些点的横坐标，他们的大小范围是2,e)1, 2. n蜜蜂周报 第 9 期 12 / 46蜜蜂周报 第九期9.与斯特瓦尔特定理有关的一道题题目来自南京最近的模拟题。开始看到的时候，没有头绪，主要是不能很好地处理 48那个式子，后来有老师提供了解法，我一看，咦，这不是和前一阵看到的那个什么瓦尔特定理有关吗？蜜蜂

12、周报 第 9 期 13 / 46蜜蜂周报 第九期10.导是王道，算得天下北大自招不等式一题这是 2018 北大自招的一道题。首先来看叶超杰老师的解答。蜜蜂周报 第 9 期 14 / 46蜜蜂周报 第九期恰好帅琪也写了几个解答。蜜蜂周报 第 9 期 15 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 16 / 46蜜蜂周报 第九期我比较赞同帅琪在小结中的观点。有些“巧解”是依赖数据，依赖结构的，有一定局限性。还是应该掌握“通性通法”。11.椭圆内部已经放不下动点了焦点三角形的旁心蜜蜂周报 第 9 期 17 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 18 / 46蜜蜂周报 第九期12.从轨迹角

13、度去解决这些问题有很多问题的解决过程中，会用到轨迹的思想，比如最近很火的，阿氏圆，但是阿氏圆这个比较特殊，一般能用阿氏圆解决的问题，标志比较明显，看到所求就知道要用阿氏圆。所以本文所说的“轨迹”，并不包括阿氏圆。那指的是什么呢？我想表达的是，在问题的解法中，包含的轨迹，是不明显的，甚至只是多种解法中的一种解法，用到了轨迹，如圆，椭圆，双曲线等等。正好，从这个角度，把最近遇到的几个问题汇集一下。第一题 轨迹是双曲线收录在第六期蜜蜂周报 第 9 期 19 / 46蜜蜂周报 第九期第二题 轨迹是圆第三题 轨迹是椭圆蜜蜂周报 第 9 期 20 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 21 / 4

14、6蜜蜂周报 第九期本题的基本解法，也就是林琳老师的解法如下：蜜蜂周报 第 9 期 22 / 46蜜蜂周报 第九期第四题 轨迹是圆从这里引申出一个问题：现在解题技术里有个词叫“隐圆”，对这个东西，我还在学习、收蜜蜂周报 第 9 期 23 / 46蜜蜂周报 第九期集素材中，先把一个文章放在附录。13.唐山一模的选择压轴（极值点与零点）这个题不错，有高考题的风格：条件简约，入口宽，解答方法多。嗯，这就是一个好题的标准了。还没有进行深入的理解，先把看到的几个解答记录下来。蜜蜂周报 第 9 期 24 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 25 / 46蜜蜂周报 第九期14.旋转的灯管，很妙的一个

15、立体问题情境蜜蜂周报 第 9 期 26 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 27 / 46蜜蜂周报 第九期这个小题不错，透着一股灵动。立体几何试题里，好像很久没遇到这样的，能和现实生活场景结合的如此之好的。我猜是命题人坐在灯下编题，冥思苦想这立体几何题咋出呢？这时来了一阵妖风，把灯管吹歪了，哈哈，就你了！（我个人是很喜欢这个题，不过后来想了想，现在的学生有多少见过这种“老式”的灯管呢？）原以为这是个新题，没想到一搜索，是个老题，而且很老。题目出处：蜜蜂周报 第 9 期 28 / 46蜜蜂周报 第九期这是我搜到的最早的出处，之后就广泛见于各种考试题中了，直到 2020 年有些高三模拟题

16、中也有用的。搜题软件中有类似题蜜蜂周报 第 9 期 29 / 46蜜蜂周报 第九期15.最值也是定值又是三点共线答案 B注意，这个不是焦点三角形的内切圆。从结果来看，是当 AB 经过右焦点的时候取得最值。此时，F1P 也是定值 2a。定值即最值。蜜蜂周报 第 9 期 30 / 46蜜蜂周报 第九期相关试题蜜蜂周报 第 9 期 31 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 32 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 33 / 46蜜蜂周报 第九期结论证明中用到了圆的切线的定理，在上面题目中也用到了，这也是处理内切圆的常用做法，如果一条过焦点的直线与双曲线的同一支交于两点，那么这个大的三角形内切圆的性质有哪些？蜜蜂周报 第 9 期 34 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 35 / 46蜜蜂周报 第九期上述证明中有三点结论，第一是内切圆与 AB 的切点是右焦点，这在上面第一个题目中就出现了，证明过程也很简单，第二是内切圆的圆心在准线上，且可用 AB 倾斜角表示出圆心的横纵坐标，第三，可用 AB 的倾斜角表示出内切圆的半径，证明过程用到了焦点弦的弦长公式。蜜蜂周报 第 9 期 36 / 46蜜蜂周报 第九期蜜蜂周报 第 9 期 37 / 46蜜蜂周报 第九期第一问有不同的问法，在高考中曾经以此考查过让求证直线 PA 和直线 PB 的斜率之和为定值，还考查过两个内