解答题----三角函数与平面向量

1、学习必备欢迎下载解答题回顾山东近几年高考题可发现一条高考命题的原则是：稳中求进，进中求变细看可发现， 每一年的题目都在变化，不管是题型， 题量还是难度方向都在不断的调整所以我们在 2011 年的高考复习中，应该始终保持明确的目标，清醒的头脑和有效的对策，能对高考复习的课程资源作出正确的判断， 恰当的取舍和合理的运用， 在众多的信息中看到高考命题的基本规律， 在知识和能力， 在基本能力和创新意识、稳定和创新等诸多矛盾中达到平衡把课本内容、考纲要求、命题规律转化为教学方式中高效复习策略近几年来，山东高考数学解答题保持稳定题型不变一直为6 个题，命题焦点是三角函数问题、立体几何问题、导数问题、解析几

2、何问题、概率统计或函数的应用题、数列问题以及向量在立体几何、解析几何中的工具性的体现方面等前两题一般难度稍低，最后两题难度稍大，通过增加设问引导学生正确思考，多层次、多角度的对不同水平的学生进行考察，高考试题不再单纯是知识点的覆盖而是对主干知识的重点考察解答题都具有一定的综合性，不是在某个单一知识点挖掘，而是注意多个知识点与方法的联系与有机结合，在知识、方法网络的交汇点处设计试题；不是一题一解而是一题多解，特别是向量的工具性的体现、函数思想的应用等。下面我将高考解答题中历年的命题焦点按照题目考察知识点及基础回扣、考察类型（每一个类型配例题和变式）、方法技巧整合、针对性训练四个模块进行一一解析。

3、一、三角函数与平面向量的交汇题型三角函数是基本初等函数之一，它和代数、几何、平面向量等有着密切的联系，是研究其他数学知识的工具之一，在现实生活中也有广泛的应用，也是高考数学的一个必考内容综观山东历年高考试题，除全面考查三角函数的基础知识和基本方法，还重点考查三角函数的性质、三角函数的求值、化简、证明，三角形中的三角函数问题对于120 分以上的优生来说平面向量与三角函数的综合性命题、现实生活中的实际问题是复习的重点。每份试卷都有一个三角函数的解答题，一般为第一大题，难度为中档偏低【回扣基础考点 】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份 ”，即可以象数一样满足“运算性质 ”进行代数形式的运算，

4、又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角 ”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角 ”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样， 解法灵活， 极富思维性和挑战性.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换.3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐

5、标形式)，两向量平行与垂直学习必备欢迎下载的充要条件等问题.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【考察类型 】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要注意两个方面的确定： (1)平移的方向； (2) 平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标。【例题】 把函数y sin2x 的图象按向量 a ( 6， 3)平移后，得到函数y Asin( x )(A 0， 0， | )的图象，求函数y Asin( x )的解析式。2解：

6、法一：由平移向量知向量平移公式x x 6，即x x 6得，代入 ysin2xy y 3y y 3y 3 sin2(x 6)，即到 ysin(2x 3) 3。法二：由向量 a ( ， 3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左6平移 个单位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为y sin2(x ) 3。66【方法技巧整合】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.【变式训练】 求函数 y 2sin2x 的图象按向量( ， )平移后得到图

7、象对应的解析式222解： y 2sin2x 2y 2sin2（ x） ，即 y 2sin2x.22 2题型二三角函数与平面向量平行(共线 )的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线 )条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例题】【方法技巧整合】【变式训练】题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.

8、此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.学习必备欢迎下载【例题】【方法技巧整合】【变式训练】题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|a |2 a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（ 1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（ 2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例题】【方法技巧整合】【变式训练】题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解

9、.【例题】【方法技巧整合】【变式训练】题型六解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、 余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例题】【方法技巧整合】【变式训练】【针对性训练】1、在 ABC 中，角 A 、B、 C 的对边分别为a、b、 c，若 AB·AC BA·BC k(k R).（）判断 ABC 的形状；（）若c2，求 k 的值2、已知向量 m (sinA,cosA) ，n (3, 1)，m·n 1，且 A

10、为锐角 .( )求角 A 的大小； ( )求函数 f(x) cos2x 4cosAsinx(x R)的值域学习必备欢迎下载3、在 ABC 中，A 、B、C 所对边的长分别为a、b、c，已知向量 m (1，2sinA) ，n (sinA ，1 cosA) ，满足 m n， b c3a.( )求 A 的大小； ( )求 sin(B 6 )的值4、已知 A、 B、 C 的坐标分别为 A （ 4， 0）， B（ 0， 4）， C（ 3cos ， 3sin （）若 ( ，0)，且 |AC| |BC|，求角 的大小；） .（）若2sin2ACBC，求 sin2的值1 tan5、 ABC 的角 A、 B、C

11、 的对边分别为a、 b、 c，m (2b c， a)，n (cosA ， cosC)，且m n ( )求角 A 的大小；( )当 y 2sin2B sin(2B6)取最大值时，求角B的大小 .学习必备欢迎下载6、已知 a (cosx sinx， sinx) ，b (cosx sinx， 2cosx)，（）求证：向量a与向量 b 不可能平行；（）若f(x) a ·b ，且 x 4,4时，求函数f(x) 的最大值及最小值【针对性训练】参考答案1、【解】（） AB·AC bccosA， BA·BC cacosB，又 AB·AC BA·BC， bcco

12、sA cacosB，由正弦定理，得 sinBcosA sinAcosB ，即 sinAcosB sinBcosA 0， sin(A B) 0 A B ， A B 0，即 A B， ABC 为等腰三角形 .（）由（）知 ab2c2 a2b ， AB·AC bccosA bc· c2，2bc2c 2， k 1.1，2、【解】 ( )由题意得 m·n 3sinA cosA 1， 2sin(A 6) 1， sin(A 6)2由A为锐角得 A ，A .663( )由（）知 cosA 1，所以 f(x) cos2x 2sinx1 2sin2x 2sinx 2(sinx 1)2

13、3，222因为 x R，所以 sinx 1,1，因此，当 sinx 1时， f(x) 有最大值 322当 sinx 1 时， f(x) 有最小值 3，所以所求函数 f(x) 的值域是 3，323、【解】( )由 m n ，得 2sin2A 1 cosA 0，即 2cos2A cosA 1 0， cosA 12或 cosA 1.A 是 ABC 内角， cosA 1 舍去， A 3.学习必备欢迎下载( ) bc3a，由正弦定理，sinB sinC33sinA 2，BC2 3， sinB sin(2 3 B) 3，23cosB 3sinB 3，即222sin(B )6324、【解】（）由已知得：(3

14、cos 4)2 9sin29cos2 (3sin4) 2，则sin cos ，3因为 ( ， 0)， .（）由 (3cos 4) ·3cos3sin · (3sin4) 0，得37sin cos 4，平方，得sin2 16.2sin2 sin2 2sin2 cos2sin cos2 cossin2 7 而 2sin1 tan sin cos 165、【解】 ( )由m n ，得 m·n 0，从而 (2b c)cosA acosC 0，由正弦定理得 2sinBcosA sinCcosA sinAcosC 0 2sinBcosA sin(A C) 0， 2sinBco

15、sA sinB 0， A 、 B (0， )， sinB 0， cosA 12，故 A 3.( )y2sin2B 2sin(2B 6) (1 cos2B) sin2Bcos6 cos2Bsin63 1 1 2 sin2B 2 cos2B 1sin(2B 6 ).由()得， 0B2 ，2B 7 ，3666当 2B ，即 B时， y 取最大值 2.6236、【解】（）假设 a b ，则 2cosx(cosx sinx) sinx(cosx sinx) 0，1 cos2x 11 cos2x2cos2x sinxcosx sin2x 0， 2· sin2x 0，222即 sin2x cos2x 3， 2(sin2x )