数学(理)二轮复习通用讲义：专题五第五讲专题提能——优化思路上高全面清障把漏补

1、第五讲专题提能一一优化思路上高度，全面清障把漏补、易错易误层面一一防止思维定式，实现“移花接木”m|因忽视焦点的位置而致误例1已知圆O:x2+y2=9,A(0,2),P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O,则动点P的轨迹方程是.解析设线段AP的中点为M,N为切点，连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=3.取A关于x轴的对称点Ai,连接AiP,则|AiP|+|AP|=2(|OM|+|MN|)=6,又|AAi|=4<6,所以点P的轨迹是以A(0,2),Ai(0,2)为焦点的椭圆，且a=3,c=2,b2=a2-c2=5,故动点p的轨迹方程为y?+Xr=i.95y2x2答案g+7=i

2、微评本题易忽视椭圆的焦点在y轴上，从而写错轨迹方程.注意不管是待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方程，都要明确焦点的位置.另外，要正确运用a,b,c之间的等量关系式，否则会产生错解.01因不能合理转化已知条件而解题受阻x2y22例2 (20i8重庆校级模拟)已知椭圆C:卢上32°)的离心率为2,椭圆C和抛物线y2=x交于M,N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.(i)求椭圆C的标准方程；(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A,B两点，交抛物线于C,D两点，P是抛物线的9焦点，是否存在直线I,使得SJaocd=7SAPAB?右存在，求出直线l的万程；右不存在，请说明理由.解,c由Xaa

3、2=b2+c2,可设 a= 2 Z,则 c= y2 人b= .2%其中>0.2由题意不妨设 M(c,、同，代入椭圆方程，得 *+b2=1,浮 =1,解得入=<2,从而 a=2也，b=2, c= 2.22故所求椭圆方程为/4=1.(2)假设存在满足条件的直线l,结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线 l 为 y=k(x-2),kw0, A(xiy1)，B(X2, y2), C(X3, y3), D(X4, y4).由条件知P 40 /, F(2,0)SOCDSzi0cd8szpcd 8|cd| 9 |CD| 9S = =TS=71AB厂力敌 ABI二© OAB8

4、. 22x y “元 + 4=1，j=k(x2)32 22228k2得(1 + 2k2)x2 8k2x+8k28=0,4=32k2+32>0, x+x2 =2, x1&1 + 2k8k2-82，1 + 2k则 |AB|=Nl + k2 |xi-X2|=4V2(1 + k2 )1+2k2由尸I)'得k2、2-(4k2+1)x+4k2”-2+1>0,>3+,4=号,y2=xk/2/(1+k2,(1+8k2则|CD|=A/1+k2|x3-x4|=HfkCDJ 田 |AB|711+k2J1+8k2)9沪k=9854m(1+k2)-8，1+2k2(1+2k2M1+8k2

5、9即k2g飞即81k4(1+k2)=2(1+2k2)2(1+8k2),整理得17k6+9k4-24k2-2=0,即(k21)(17k4+26k2+2)=0,解得k=虫.故存在直线l:y=x2或y=x+2满足题意.微评求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出OCD.PAB的面积,9代入SaOCD=7室FAB,判断所得方程是否有解.注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小.在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤.a1因忽视直线的斜率是否存在而失分例

6、3已知椭圆M:x2+y=1(a>0)的一个焦点为F(1,0),左、右顶点分别为A,B,a3经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆M的方程；(2)记4ABD与ABC的面积分别为Si和S2,求|S砌的最大值.解(1)因为F(1,0)为椭圆M的焦点，所以c=1,又b=V3,所以a=2,22所以椭圆M的方程为彳+3=1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1,此时4ABD与祥BC的面积相等，即S1一S2|=0.当直线l的斜率存在时，设C(xby1),D(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)(kw0),与椭圆M的方程联立，消去V,得(3+4k2)x，8k2x+4

7、k212=0,0恒成立，且xI+x2=8k24k2-122,xx2=2.12|k|23 + 4k3+4k3+4k= J3(当且仅当k=),此时S1S2|=2|y2|y1|=2|y+y2|=21k(x1+1)+k(x2+1)|=2k(x+x2)+2k|=1212分4|k|2匹所以|S1S2|的最大值为，3.法二：设C(x1，y1),D(x2,y2),直线l的方程为x=my-1,与椭圆M的方程联立，消226m去x,得(3m+4)y6my9=0,A>0恒成立，且y1+y2=2+,3cc12|m|12)12故|Si-S2|=2|y2|-|yi|=2|yi+y2|=2=4w212=V3，3|m|+

8、Mi'当且仅当m=i2乎时取等号，所以|SiS2|的最大值为V3.3微评(1)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1;当直线l的斜率存在(显然kw0)时，可设直线方程为y=k(x+1)(kwo).求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的.(2)本题可将直线方程巧设为x=my1,用含m的式子表示出|S1S2,并求其最大值.显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择.二、技巧优化层面一一灵活运用策略，尝试“借石攻玉”01点差法一一解决中点弦问题在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax

9、2+by2=1来说，当两点M(x1,y1)，N(x2,y2)在曲线上时,，定满足ax2+ by2= 1,ax2+ by2= 1,一设9一募'其中(x0'涧是MN的中点.例1已知椭圆E:与+y2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A, a bB两点.若AB的中点坐标为(1, 1),则椭圆E的方程为()x2 y2_B.36 + 27=22A.石+ 3i= 122x V ,C.27+ 左12 2喘+/1解析由题意知直线0（一 1 ） 1AB的斜率k=",3 1222呼+ Wa b设 A（x1，y1），B（x2, y2）,则 <

10、22x2 y2 "+72 a b=1,整理得y1 一 y2x1 x2b2 x1 + x2?" ，a y + y2即 k=-a2X2-21.bf 12?a2=2.又a2b2=c2=9,，a2=18,b2=9.22，椭圆E的方程为今十=1.答案D微评本题利用熏差法”及设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2-b2=c2,求得椭圆方程.回1联立方程法一一解决对称问题圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(xi,Yi),Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点，则PQ的方程为y=-1一,一，、，一1x+m,代入圆锥曲

11、线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P,Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故A>0,从而求得k(或b)的取值范围.例2已知抛物线C:y2=x与直线l:y=kx+3,要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围.解设C上的A(xi,yi),B(x2,y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(xo,yo),y2=xi,则I2两式相减，得(yiy2)(yi+y2)=xix2.卜2=*2，i k'yiy2i-yi+y2=2y0,ABH,，kAB="一xi-x22yokyo=2.代入y=kx+3得3y。一4xo=nk34k.点M在抛物线内部，y2<xo,

12、即><1今,整理得k2+3+2<0.424kk不等式等价于7(k+i)(k2-k+3)<0,k解得一i<k<0,.*的取值范围为(-i,0).微评由于A,B两点在抛物线C上，故AB的中点在抛物线的内部，由此得出不等关系，求k的范围.telI参数法解决定点定值问题思路一：建立含参数的曲线方程(包括直线方程)，进行适当整理或选取合适坐标，确定该坐标满足方程且与参数无关.思路二：(1)选择一个参数建立直线系方程.一般是将题目中给出的曲线方程(包括直线方程)中的常数当作变量，将变量x,y当作常数，将原方程转化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(k是原方程中的常

13、数).(2)根据直线系方程过定点时参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组呼v尸0lg(x,y尸0.(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.x21例3已知椭圆C:I+y2=1,过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为一z的直线分别与椭圆交于点M,N.问：直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由.解法一：当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+m,代入椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0.设M(xi,yi),N(x2,y2),则xi+x2=-8吗，xix2=4m二4.1+4k1+4

14、k根据已知可知-y-yx1 2 x2 214'即4y1y2+(x1一2)(x22)=0,即(1+4k2)x1x+(4km2)(x+x2)+4m2+4=0,.24m2-4_k2一2所以(1+4k2)+4k2+(4km2)1+4k21+4m2+4=0,即(4km2)(8km)+8m2(1+4k2)=0,即m2+2km=0,彳导m=0或m=-2k.当m=0时，直线y=kx经过定点D(0,0).由于AM,AN的斜率之积为负值，故点M,N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m=2k时，直线y=kx2k过定点(2,0),故不可能.11当MN的斜率不存在时，点M,N关于x轴

15、对称，此时AM,AN的斜率分别为此时M,N恰为椭圆的上、下顶点，直线MN也过定点(0,0).综上可知，直线MN过定点D(0,0).A(2,0).设 AM: y=k(x-2),法二：根据已知直线AM,AN的斜率存在且不为零,代入椭圆方程，得(1+4k2)x2-16k2x+16k24=0,16k24设M(x1,y1),则2x1=2,8k2-2即 x1 =21 +4k21+4k4ky1=k(x1-2)=2,1+4k2l8k2-2-4k即M(+4k2，1+4k2.设直线AN的斜率为k',则kk'=：即k'=-1,44k1把点M坐标中的k替换为-a222-8k得N 4k +14k

16、4k2+ 1，当M,N的横坐标不相等，即kw2时，kMN=2k-,直线MN的方程为y-4-21-4k4k+1/八22k即y=i一左x，2k_28k1-4k214k2+1该直线恒过定点(0,0).当k=时，M,N的横坐标为零，直线MN也过定点(0,0).综上可知，直线MN过定点D(0,0).微评解决本题有两种方法，法一：以双参数表达直线MN的方程，求解双参数满足的关系；法二：以直线AM的斜率为参数，表达直线MN的方程.三、数学思想层面系统学科思维，实现“触类旁通”(一)数形结合思想解决圆锥曲线的最值问题22例1(1)(2018河南郑州三模)椭圆x5+q= i的左焦点为f,直线x=m与椭圆相交于点

17、M, N,当 FMN的周长最大时，FMN的面积是()B型5C空C. 5D.(2)(2018广西百色模拟)设P为双曲线4.5-5-2-1y5= 1右支上一点,M, N分别是圆Ci： (x+ 4)2+y2 = 4和圆C2： (x 4)2 + y2=1上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为m, n,则 |mn|=()A. 4C. 6B. 5D. 7解析(1)如图所示，设椭圆的右焦点为 F',连接MF' ,NF'因为 |MF|+|NF|+|MF' |+|NF' | 刁 MF|+|NF|+|MN|,所以当直线x=m过椭圆的右焦点时， FMN的周长最大.此时

18、 |MN|= a= 8*5,又 c=,a2 b2 = "j54 = 1,所以此时iMN的面积$=2><2><平=学.故选C.(2)由题意得，圆C1:(x+4)2+y2=4的圆心为(一4,0),半径为n=2;圆C2:(x4)2+y2=1的圆心为(4,0),半径为2=1.设双曲线x2上=1的左、右焦点分别为F1(一4,0),F2(4,0).如图所示，连接PF1,PF2,15|PN|min= |PF2|2,所以 |PM| |PN|的最F1M,F2N,则|PF1|PF2|=2.又|PM|max=|PF1|+1,大值m=|PFi|PF2|+ri+r2=5.又|PM|mi

19、n=|PFi|ri,|PN|max=|PF2|+2,所以|PM|PN|的最小值n=|PFi|PF2|门一2=1,所以|mn|=6.故选C.答案(1)C(2)C微评数形结合分析确定临界位置，这是解决圆锥曲线最值问题常用思想，多涉及圆锥曲线定义的应用.(二)函数与方程思想一一解决圆锥曲线最值或范围问题2例2(2018吉林长春三模)已知椭圆C:x2+y率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)=1(a>1),Fi,F2分别是其左、右焦点,a"以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点，线段AB

20、的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是4,0)求线段AB长度的取值范围.解(1)根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b=c=1,即a=-b2+c2=2,2所以椭圆C的方程为X2+y2=1.(2)根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点，即直线AB的斜与x+y2=1联立，得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.设 A(x1，y1)，B(x2, y),线段AB的中点为一4k2M ,则 x1 + x2 = -21 + 2k2k2-2xx2=2，y11 + 2k2k+y2=k(x+1)+k(x2+1)=2k2,2k2即 MJk1 +

21、2k2 /线段AB的垂直平分线的方程为ky21 + 2k-tx+2k21 + 2k2 k2设点P(xp,0),则xp=-2.1+2k因为xpcjj0所以0<k2<2.|AB|=，(1+k2a+xzj4x1x24k22k22_4X22®1 + k2 L *21 + 2k11 + 1 + 2k2 .1+2k因为0<k2<2,3所以3<1 +2<2,1+ 2k即2|AB|<2 2.故线段AB长度的取值范围是呼,微评(1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a, b的方程，求出a,b的值；求AB长度的范围时，转化为关于k的函数，利用函数性

22、质求解.(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常用到，如求范围、最值问题.四、迁移应用层面强化发散思维，做到“把根留住”直线与椭圆相交弦问题的6种考法题根探究典例已知椭圆的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上，且右焦点到直线m：x-y+2/2=0的距离为3,求椭圆C的标准方程.2解由已知b=1,设椭圆方程为x2+y2=1(a>1),右焦点坐标为F(c,0),因为右焦点到a直线m： x y+2*=0的距离为3,所以3=|c 0+22|,2得c=也，a2=3,椭圆方程为3 +3y2=1.x轴上,考查角度求椭圆C的标准方程的关键是先定式，再定量，已知椭圆焦点在b=1,只需用点到直线的距

23、离公式求出半焦距c.变式应用变式.3为椭圆上点到直 说用或钝定现即离的最俶直线与椭圆求弦的中点,r = 相交求废长轨迹方程MAi、，、一x22变式1求直线L:xy+b=0被椭圆+y=1,所截得的弦长MN的长度的取大值.3消去 y 得 4x2 + 6bx+3b23 = 0.设 M(x, y1), N(x2,2解：xy+b=0与x+y2=1联立,3.3by2),由 A>0 得一2<b<2, x1 + x2 =,3b2-3x1x2=-4,又 |MN|=72|x1x2| =2-b 故当 b=0 时，|MN|max=，6.所以所截得的弦长 MN的长度的最大值为小变式2 求直线L : x

24、y+ b= 0被椭圆xr + y2=1所截得的弦MN的中点P的轨迹方程. 32解：xy+b=0 与 x+y2 = 1 联立，消去 y 得 4x2 + 6bx+3b23 = 0. 3设 M(xi, yi), N(x2, y2), P(x, y),由 A>0 得2<b<2.x1+ x2X= 23by1+y2 x+x2+2b4, y332Vx及.=b，消去参数b得y=故弦MN的中点P的轨迹方程为y=-333x2<x<2/x22变式3已知A(0,1),是否存在一条直线L：xy+b=0与椭圆鼻+y=1交于两个不同的点M,N使得疝疝=0?若存在，求出b的值；若不存在，请说明理

25、由.2解：xy+b=0与x+y2=1联立，消去y得4x2+6bx+3b23=0.由60得一2<b<2,333b3)设M(x1，y1)，N(x2,则xI+x2=2b,x1x2=-4-.由AMAN=044(x，y+1)丫2+1)=0,且yi=xi+b,y2=X2+b,故2x1x2+(1+b)(xi+X2)+b+2b+1=0,化简整理得2b2+b-1=0,所以b=1或2.当b=1时，直线过A(0,1)不满足题意,2变式4已知A(0,-1),直线L:xy+b=0与椭圆卷+=1交于两个不同的点M,3N,当/MAN为锐角或钝角时)分别求b的取值范围.2解：xy+b=0与x+y2=1联立，消去y

26、得4x2+6bx+3b23=0.由60得一2<b<2,333b3设M(xi,yi),N(x2,y2),则xi+x2=1b,xix2=4当/MAN为锐角或钝角时，易知AM,AN不共线.当/MAN为锐角时，(x1，yi+1)(x2,y2+1)>0,即2b2+b1>0,故b<1或b>2,又一2<b<2,所以b(-2,-1)U1,2：.同理当/MAN为钝角时，解得b-1,2；变式5在椭圆x"+y2=1上是否存在一点到直线m：x+y+242=0的距离最大？若3存在，求出最大距离；若不存在，请说明理由.2解：设P(y3cosasin。)是+丫2=1

27、上任意一点，由点到直线距离公式得3=颇sin屏。升2因为sin§+1,1,所以dmax=V2+2.五、创新发展层面关注临界问题，挖掘“学科潜力”(一)临界法则(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(CWD);与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为BxAy+E=0.(2)过直线li：a1x+biy+ci=0与直线占a?x+b2y+C2=0交点的直线系方程为a1x+biy+Ci+Xa2x+b2y+C2)=0.(3)过圆Ci：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆C2：x2+y2+D+E?y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dix+Eiy+Fi+4x

28、2+y2+D+Ry+F2)=0.(4)过直线ax+by+c=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+?(ax+by+c)=0.例i已知圆x2+y2+x6y+m=0与直线x+2y3=0相交于P,Q两点，。为坐标原点，若OPOQ,求实数m的值.解过直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0的交点的圆系方程为：x2+y2+x-6y+m+?(x+2y3)=0,即x+y+(i+?)x+2(3)y+m3入=0.依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心193入M然在直线x+2y3=0上，I十入则一一2-+2(34一3=0,解得上I.又0(0,0)满足方程，则m

29、3k=0,故m=3.微评利用直线与圆相交的圆系方程可以很好的解决这类题型，圆与圆相交的圆系方程问题也可以同样解决，只要能巧妙的构造圆系方程即可.(二)临界知识圆锥曲线的光学性质(I)抛物线的光学性质：与对称轴平行的光线投射到抛物线上，经反射后反射光线必通过焦点.(2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点.(3)双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线投射到双曲线上，经反射后反 射光线的延长线必通过另一个焦点.为了节省篇幅，本书只证明椭圆的光学性质，抛物线、双曲线的光学性质请读者仿证.证明：如图，已知椭圆在点 P处的切线PE交x轴于点E,

30、法线PQ交x轴于点Q,设椭圆方程为x2+y2=i(a>b>0)焦点Fi( c,0) F2(c,0), a b切点 P(xo, yo). 2 xox yoya yo贝| pE：彳+y=1, PQ： y-yo=b2xo(x-xo),所以 Q(e2xo,O), |FiQ|= e2xo+c, |F2Q|= c-e2xo,|PFi|=exo+a, |PF2|=aexo.于是有FiQI|F2Q|e2xo+ c c exo+ a pF/ c e2xo c(a exo)|PF2|'由角平分线定理知 PQ平分/F1PF2,性质得证.例2已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点 Fi

31、, F2在x轴上，离心率e12.(i)求椭圆E的方程;(2)求/ FiAF2的平分线l所在的直线方程.解(i)依题意，设椭圆E的标准方程为x+y2= i(a>b>o).由题意可得 a bc i e= a=2?2 .2 c . e = "2 aa2-b2 i4'b2 3a7=4,又点A(2,3)在椭圆E上，$+3=i,ab，由得a2=i6,b2=i2.22故椭圆e的方程为x+y2-=i.(2)如图，设椭圆E在点A处的切线为l',由于直线l为/FiAF2的平分线，所以，由椭圆的光学性质知I,的方程为2x+32=i,即x+2y-8=o,所以l的方程为y-3=2(

32、x-2),即2xy1=0.故/F1AF2的平分线l所在的直线方程为2x-y-1=0.微评本题若采用一般解法，则需进行繁琐的运算，而利用椭圆的光学性质，可使问题得以简单解决.专题提能训练A组一一易错清零练1.（2018浙江嘉兴校级期中）已知直线li：ax+（a+2）y+1=0,I2：x+ay+2=0,其中aCR,则“a=3”是“iJV的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A若1112,则a+a（a+2）=0,即a（a+3）=0,解得a=0或a=3,所以“a=3”是“112”的充分不必要条件.故选A.222.已知双曲线1与双曲线r交于a.2r：b?=

33、1（a>0,b>0）,过双曲线r的右焦点F,且倾斜角为和直线B两点，0是坐标原点，若/AOB=/OAB,则双曲线r的离心率为（）币+331+J17D.解析：选C由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和/A0B=/0AB,可知4A0B为等边三角形，所以tan/AOF=平，整理得b2=ac,由c2=a2+b2,得c2=a2+¥ac,C333两边同时除以a2,得e?-乎e1=0,解得e=.故选C.3623. （2019届高三西安八校联考）过点P（2,1）作直线l,使l与双曲线y2=1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A.1条B.2条C. 3条D.4条解析：选B依题意，双

34、曲线的渐近线方程是y=gx,点P在直线y=：x上.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2,此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+12k,y=kx+12k,由522消去y得x24(kx+12k)2=4,x-4y=4,即(14k2)x28(12k)kx4(1-2k)2-4=0,(*)若14k2=0,则k=4，当k=2时，方程(*)无实数解，因此k=2不满足题意；11当k=2时，方程(*)有唯一实数解，因此k=j荫足题意.若14k2w。，即口弓，此时a=64k2(12k)2+16(14k2)(12k)2

35、+1=0不成立，因此满足题意的实数k不存在.综上所述，满足题意的直线l共有2条.4,已知椭圆x4+m=1的离心率等于乎，则m=.解析：当椭圆的焦点在x轴上时，则a2=4,即a=2.又e='=Wa2所以c=木,m=b2=a2c2=4(/3)2=1.当椭圆的焦点在y轴上时，22椭圆的方程为m+%1.则b2=4,即b=2.又e=c=#，故、八二胃=乎，解得bj即a=2b,a2aa2a2所以a=4.故m=a2=16.综上，m=1或16.答案：1或165,已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆。及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.解析：如图所示，设

36、动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于A和B两点.连接MCi,MC2.I：川八根据两圆外切的条件，得，|MCi|-|ACi|=|MA|,|MC2|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MCi|-|ACi|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|MCi|=|BC2|ACi|=31=2.所以点M到两定点Ci,C2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离比与Ci的距离大），22可设轨迹方程为a2b=1（a>0，b>0，x<0）,其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2y=1（x<0）.8答案：x2-y-=1（x&l

37、t;o）8B组一一方法技巧练1. （2019届高三河南八市联考）已知点M（3,2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是（）7A.2B.35C.2D.2一|QQ'|,则当QM和QQ'oj'共线时，|QM|QQ'|的值最小，最_上X.21解析：选C抛物线的准线方程为x=-1,过Q作准线的垂My蚂线，垂足为Q',如图.依据抛物线的定义，得|QM|-|QF|=|QM|小值为-3-(-2)=22. (2018兰州模拟)已知圆C:(xV3)2+(y-1)2=1和两点A(1，0)，B(t,0)(t>

38、;0),若圆C上存在点P,使得/APB=90°,则t的取值范围是()A.(0,2B.1,2C.2,3D.1,3解析：选D依题意，设点P(43+cosa1+sin0),APB=90°,.AP->BP>=0,-W3+cos0+t)(V3+cos01)+(1+sin2=0,得t2=5+2艰cos。+2sin0=5+4sin。+.Sin 1,1, .",9,.t>0,，tq1,3.3. （2018惠州调研）设m,nCR,若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且直线l与圆x2+y2=4相交所得的弦长为2,O为坐标原点，则4AOB面积

39、的最小值为（）A.5B.4C.3D.2解析：选C由直线与圆相交所得的弦长为2,得圆心到直线的距离d=J=73,m2+n2所以m2+n2=3>2|mn|,当且仅当m=n时等号成立.所以mngg,又A?,0bo,；1所以AB的面积S=再故AB面积的最小值为3.4,已知圆O：x2+y2=1,圆M：（xa）2+（ya+4）2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,使得/APB=60°,则实数a的取值范围为（）Ab兴2 +阴Bl2-乎，22+?C. 2-2, 2+亚D.(2-V2, 2+V2)解析：选A圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点

40、分别为A,B,使得/APB=60°,贝U/APO=30°.在RtMO中，|PO|=-AO|=2sin/APO又圆M的半径为1,圆心坐标为M(a,a-4),.(MO|-1<|PO|<|MO|+1,.|MO|=a2+a-42,/42+(a-4j-1W2WJa2+(a-4)+1,解得2浮aw2+乎.实数a的取值范围为2坐，2+当1225. (2018兰州模拟)已知双曲线C:步一*=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2=8a|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,3B.3,+oo)C.(0,

41、3)D,(0,3解析：选A根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|PF2|=2a,设|PF1|=m,|PF2|=n,贝Umn=2a,m2=8an,m24mn+4n2=0,，m=2n,贝Un=2a,m=4a,依题得|FF2|w|PF1|+|PF2|,.-.20<4a+2a,.0=|<3,又e>1,-1<e<3,即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3.6. (2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线4y2=1(a>0,b>0)的右支与焦ab点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该

42、双曲线的渐近线方程为.解析：设A%,y1)，B(X2,y»,由抛物线的定义可知|AF|=y+p,|BF|=y2+p|OF|=p,PP一，L由|AF|+|BF|=y1十2+丫2+2=y1+丫2+P=4QF|=2p,得y1+y2=P.22X2XkAB =y2y12P2Pt十vb2(X1 + X2 ) b2 X1 + X2b2 X1 + X2 X2+X1=,则丐=；一a2(y1+y2)a P a P 2PX2-X1X2-X12Py2y1得kAB=X2X1,2.双曲线的渐近线方程为y=答案：y=K2xc组一一创新应用练1.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=x+2与圆x2+y2=r2(r&g

43、t;0)交于A,B两点,o为坐标原点，若圆上一点c满足oc=5-OA+3"OB,则r=()A.2回B./iOC.2v5D.5解析：选B已知OC一=5OA+4"OB,两边平方化简得OAOB=-5r2,3"OB'后所以cos"OB=5,所以cos丁=5,又圆心O(0,0)到直线的距离为所以乎=W5,解得r=ViO.r522. (2018贵阳模拟)双曲线12y2=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是+ OOA"Ch5)D.q+8)