昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析

1、昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析一、圆的综合1 .如图，在。0中，AB为直径，OCa AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且 EF=ED.(1)求证：DE是。的切线；(2)若tanA=l,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若 OF=1,求圆O的半径.二【答案】(1)答案见解析；(2) AB=3BE; (3) 3.【解析】试题分析：(1)先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论；(2)先判断出/BDE=/A,进而得出 EBgEDA,得出AE=2DE, DE=2BE,即可得出结 论；(

2、3)设BE=x,则DE=EF=2x, AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结 OD,如图.-. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. -.OCX OF,ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD,/ OCF=/ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ；，OD，DE. .点 D 在。O 上，. . DE是。的切线;(2)线段AB> BE之间的数量关系为：AB=3BE.证明如下：. AB 为。O直径，/ADB=90；Z ADO=Z BDE.

3、/ OA=OD, ，/ADO=/A,/ 一 ,DE BE BD - . / BDE=/A,而 / BED=/DEA, .EBgEDA, ./ RtAABDAE DE AD中,tanA二型AD 2DE BE 1AE DE " 2.AE=2DE, DE=2BE,AE=4BE,AB=3BE;(3)设 BE=x,贝 U DE=EF=2x, AB=3x,半径 OD=3x. OF=1,OE=1+2x.23 ccc2.-在 RtODE中，由勾股te理可得：(-x) 2+ (2x) 2= (1+2x) 2,，x=(舍)或 x=2,29圆O的半径为3.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质

4、，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EB2 4EDA是解答本题的关键.2.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AB=CD.（1）如图（1）,求证:AD/ BC；（2）如图（2），点F是AC的中点，弦DG/ AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;在（2）的条件下，若DG平分/ ADC,GE=5x/3 ,tan / ADF=4>/3，求。O的半径。【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）JT29【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.

5、得到四边形 ABED是平行四边形，从而有 AD=BE, DN=BE.由圆内接四边形的性质得到 / NDC=/B.即可证明 MB® ACND,得到 AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边 形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB, HB, AH, HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在 RtAHC中，由勾股定理 求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接 AC. AB=CD,

6、弧 AB视 CD, z. ZDAC=ZACB, .AD/ BC.(2)延长 AD至ij N,使 DN=AD,连接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 一.四边形 ABED是平行四边形，AD=BE, .1. DN=BE, ABCD是圆内接四边形，/NDC=/B. / AB=CD,.MBECND,AE=CN. / DN=AD, AF=FC, .DF=1CN, ，AE=2DF.2(3)连接BG,过点A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形 ABED是平行四边形，.-.AB=DE：. DF/CN, ，/ADF=/ ANC, . / AEB=/ADF, ，tan/AEB= tan/ADF

7、=4V3, DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,/NDO/DCE, /ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC,/ DEC=Z ECD=Z EDC,工DE是等边三角形，. AB=DE=CE -/ GBC=Z GDC=60 ;/G=/DCB=60； . ABGE 是等边三角形， BE= GE=5)3 . tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,设 HE=x，贝U AH=4>/3x . , ZABE=Z DEC=60 °, ，/BAH=30 °, . .

8、BH=4x, AB=8x,，4x+x=5而，解得：x=T3, .AB=8V3, HB=4T3, AH=12, EC=DE=AB=8T3, .HC=HE+EC=a/3 873 =973 .在 RtA AHC 中，ac= Jah2 hc2 /122 (9悯2=3而.AC作直径 AP,连接 CP,Z ACP=90 , /P=/ABC=60 , . sin/P=,APACAP - sin603.4322尤9,，。的半径是7129.N f 3.已知AB, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点 E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交E

9、C的延长线于点 F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;-DG 3-3如图3,在2的条件下，当 时，在e O外取一点H,连接CH、DH分别交CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE，点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8展 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BC O

10、M、ON、CN,彳BT，CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE 于W.解直角三角形分别求出KM, KH即可；【详解】1证明：如图1中，QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900, D E 900,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2证明：如图2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 900, 四边形OCFR是矩形， AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°, OA DO,VAOR V

11、ODG ,OR DG , DG CF ,3 解：如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN, B BT CL 于 T,作 NK CH 于 K,设 CH交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 900,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD为直径，CBD CND 90oCBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CTET BTBT 3m而BT 'BT J3m（负根已经舍弃），tan E ® 73, mE 60°，Q CWD HDE H , HDE HCE

12、,H E 600,MON 2 HCN 600,QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON ,QQM OB OM ,MOQ MQO ,Q MOQ PON 180oMON 120°,MQO P 180o H 1200,PON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 DN2 7502 1 42 48，在 RtVCHN 中，tan H 型也 73, HN HNHN 16日在 RtVKNH 中，KH 1HN 873 , NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK JmN2 NK2 ,252 242 7，HM

13、HK MK 8近 7 .【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的 判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.4 .如图，AB是半圆O的直径，C是窟的中点，D是,密的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：BD平分/ABC;(2)求证：BE=2AD；_ DE(3)求的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3)2【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质

14、可得BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH=J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是笳,的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF,BE=AF=2ADC(3)连接OD交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,则 BC 为 2, OB=OD=72 ,DH-2 1,DE DHBE - BCBE5 .四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE= EC BE= ED,以AD为直径的半圆过点 E,圆 心为O.(1)如图，求证：四边形

15、ABCD为菱形；an【答案】(1)见解析;(2)如图，若BC的延长线与半圆相切于点 F,且直径AD = 6,求弧AE的长./ c、 兀(2)2【解析】试题分析：(1)先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出 AC± BD即可得出结论； (2)先判断出 AD=DC且DEL AC, / ADE=/ CDE进而得出 Z CDA=30°,最后用弧长公式 即可得出结论.试题解析：证明：(1) .四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE=EC, BE=ED, .四边形,即有AC± BD,四边 . AD=DC且 DEXAC,BF切圆。于点F,ABCD是平行四边形.二,以A

16、D为直径的半圆过点 E, ZAED=90 形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四边形 ABCD是菱形， 4ADC为等腰三角形， /ADE=/CDE如图2,过点C作CG,AD,垂足为G,连接FO.1 .OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四边形 CGOF为矩形，CG=OF=3. 21 ，一 。，一。-,，/CDA=30 ,，/ADE=15 .2.CG在 RtCDG 中，CD=AD=6, sinZADC= CD303 _1802点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性 质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.如图1,四边形ABCD为。内接四边形，连接

17、AC CO、BO,点C为弧BD的中点.(1)求证：/ DAC=Z ACO+-Z ABO；(2)如图2,点E在OC上，连接 EB,延长 CO交AB于点F,若/ DAB=/ OBA+/ EBA 求 证：EF=EB(3)在(2)的条件下，如图 3,若OE+EB=AB CE=2 AB=13,求AD的长.图2圄3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AD=7.【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA,只要证明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由点C是?D 中点，推出 CD Cb ,推出 /BAC=/ DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+Z ABO；（2）想办法证明/EF

18、B± EBF即可；（3）如图3中，过点 O作OH，AB,垂足为 H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF于N,作Ch AD于K,连接OA/CTZ LAB于T.首先证明EFB是等边三角形，再证 明 AC偿 ACT, RtA DK（ RtA BTC；延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA,. OA=OC, .1. Z1 = Z ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO, uuur » juuin,一点C是bd中点， CD/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuuCB，-1 / BAC=Z DAC,/ DAC=Z ACO+Z ABO.

19、£1(2)如图2中， / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC, . / BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB（3）如图3中，过点 O作OH, AB,垂足为 H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF 于 N,作 CKLAD 于 K,连接 OA. CC CTZ LAB 于 T.图3 / EBA+/ G=90 ； / CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG, 1 / G=/ EOGEG=EQ

20、.OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB GE+EB=2HB，GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= 一，/GBA=60 ,GB 2 .EFB是等边三角形，设 HF=a, / FOH=30 ,° OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a-，2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a, OB=OC=OE+EC13- - a+2=- - a,1 13. NE=-EF=-a+ -.ON=OE=EN=(g-a)-+£) " 3a22442BO2 - ON2=EB2- EN2,1 a) 222,3a) 2="与

21、2- (L+£42224解得a=3或-10 (舍弃)，2.OE=5, EB=8, OB=7, . /K=/ ATC=90 , ° Z KAC=Z TAG AC=AQAACKAACT, . CK=CT AK=AT,uur uuu,CD CB，1- DC=BC；RtA DKG RtA BTC； . . DK=BT, . FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3,AK=AT=AB- TB=10,AD=AK- DK=10- 3=7.27.如图，ABC是。O的内接三角形，点 D, E在。O上，连接AE, DE, CD, BE, CE, / EAC+Z BAE=180 , o&l

22、t;Ab Cd .(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半径.【答案】(1) BE=CE理由见解析；(2)证明见解析；(3) 晅 .3【解析】分析：(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得：Z BCE-+Z BAE=180 ,贝U/ BCE玄EAC,所以？E= CE，则弦相等；(2)根据SSS证明ABEDCE;(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明 RtGBOW RtAHBO (HL),则/ OBH=3 0 ,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：(1)解：BE=CE理由： Z

23、EAC-17 BAE=180, / BCE47 BAE=180, / BCE玄 EAC,?E= CE ,.BE=CE 证明：Ab Cd ,，ab=cd1 ?e=Ce, Ae Ed，- ae=ed由(1)得：BE=CE在 ABE和ADCE中，AE DE. AB CDBE CE2 .ABEADCE (SSS ；(3)解：如图，二.过 O 作 OGL BE 于 G, OHXBCT H,BH=1 BC=1 X 8=4 BGBE, 2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 , ° BEC 是等边三角形,BE=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),_1 。

24、/ OBH=Z GBO=- / EBC=30,2设 OH=x,贝U OB=2x由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=N3, 3.OB=2x=£3 ,。的半径为 83 .33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的 结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键8.如图，AB是。的直径，弦CD>±AB于点G,点F是CD上一点,CF且满足若DF1，连3DE,若 CF=2, AF=3.求求【解析】分析：(1)由AB是。的直径，弦 CD>

25、7; AB,根据垂径定理可得：弧AD=M AC, DG=CG,继而证得则可求得tan / E=入 入 , 、上CF ADFsMED; (2)由FD、FG=2； (3)由勾股定理可求得.41 -一,CF=2,可求得DF的长,3继而求得 CG=DG=4AG的长，即可求得tan/ADF的值，继而求得FG的长；tan / E的值.5(1)证明见解析；(2)FG =2;(3)5.本题解析：.AB是。的直径，弦 CD)±AB, . DG=CG AD AC，/ ADF=/ AED, / FAD=Z DAE (公共角),ADFsAED;CF 1 -,CF=2,FD=6, ，CD=DF+CF=8FD

26、3 .CG=DG=4, FG=CG-CF=2. AF=3I, FG=2, .AG=7af2 FG2 后点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角 函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想9.如图，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上，OO经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；1)证明见解析2-一 V33(2)若。O的半径是2cm, E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE

27、交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, ，BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae de ,OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, / AKO=/AKE=90 ； .AK必AKE, .AO=AE=OE, .AOE,3 22 24是等边三角形，ZAOE=60°,，S呻S 扇形 oae- Sa aoe 60亡360【点睛】 本题考查了切线的判定、扇形的

28、面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.10.如图1,已知。是 AADB勺外接圆，/ADB的平分线 DC交AB于点 M,交。O于点C,连接 AC, BC.(1)求证：AC=BQ(2)如图2,在图1的基础上做。的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作。O的切 线AH,若AH/BC,求/ACF的度数；(3)在(2)的条件下，若 AABM面积为6届 AABDW A ABC勺面积比为2: 9,求CD 的长.图1图2【答案】(1)证明见解析；(2) 30。； (3) 2后【解析】分析

29、：(1)运用 在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；(2)连接AO并延长交BC于I交。O于J由AH是。的切线且 AH/ BC得AILBC,易证/IAC=30,°故可得/ABC=60=2 F=/ACB,由CF是直径可得 / ACF的度数；(3)过点 D作DGLAB,连接 AO,知ABC为等边三角形，求出 AB> AE的长，在 RtAAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求 CD的长.详解：(1) DC平分 /ADB,ZADC=Z BDC, . AC=BC(2)如图，连接 AO并延长交BC于I交OO于J.AH是。的切线且 AH/BC,AIXBC,

30、.BI=IC,-.AC=BC,1.IC=-AC,2/ IAC=30 , °/ ABC=60 =°Z F=Z ACB.FC是直径，/ FAC=90, °/ ACF=180-90 -6030 :(3)过点D作DG AB,连接AO由(1) ( 2)知ABC为等边三角形,. Z ACF=30,°AB CF , .AE=BE SmbcAB2 27百，4 AB=6 6 ,AE 3 3 .在 RtAAE计，设 EO=x,贝U AO=2x,222 AO2 AE2 OE2,2x 23用 2 x2, .x=6,。的半径为6, .CF=12.Smbd AB DG - 6M D

31、G - 6近, 22 .DG=2.如图，过点D作DG CF ,连接OD. AB CF ,DG AB,.CF/DG,四边形GDGE为矩形，GE 2,CG GE CE 6 3 2 11,在 RtAOGD 中，OG 5,OD 6, DG 而，CD . DG 2 CG 2,11 112 2 33点睛：本题是一道圆的综合题 .考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等 相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.11.在平面直角坐标系 xOy中，对于点P和图形 W,如果以P为端点的任意一条射线与图 形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形 W.图1图2图3(1)如图1,已知点A (-2,

32、0),以原点 O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于 点 B.在P1(0,4) ,P2(0, 1) ,P3(0, -3) ,P4(4, 0)这四个点中，独立于 Ab 的点是;(2)如图 2,已知点 C (-3, 0) , D (0, 3) , E (3, 0)，点 P是直线 l: y=2x+8 上的一 个动点.若点P独立于折线CD-DE,求点P的横坐标xp的取值范围；(3)如图3, OH是以点H (0, 4)为圆心，半径为1的圆.点T (0, t)在y轴上且t>- 3,以点T为中心的正方形 KLMN的顶点K的坐标为(0, t+3),将正方形 KLMN在x轴及 x轴上方的部分记为图形 W

33、.若。H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.5一 一一【答案】(1) P2,自；(2) XPV-5 或 xp>- - (3) -3vtv1-J2 或 1+J2 vt7-J2 .3【解析】【分析】(1)根据点P独立于图形 W的定义即可判断；(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；(3)求出三种特殊位置时 t的值，结合图象即可解决问题.【详解】(1)由题意可知：在Pi(0, 4) ,P2 (0,1) ,P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中，独立于Ab的点是P2, F3.(2) /C (-3, 0) , D (0, 3) , E (3, 0),直线C

34、D的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,y= 2x 8由，解得y= x 3x= 5,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,V= 2由尸2x 8 y= x 3x二_14 'y3可得直线l与直线DE的交点的横坐标为5. .满足条件的点 P的横坐标xp的取值范围为：xpv-5或xp>-.3 . OT=KT+HK-OH=3+/2 -4=&-1 ,EH,贝U EH=EK=1 HK=J2 ,t(0, 1-72),此时 t=i-J2,当-3 v tv 1- J2时，O H上的所有点都独立于图形W.如图3-2中，当线段KN与。H相切于点E时，连接EH.OT=OH+KH

35、-KT=4+/2-3=1 + 72 ,.T (0, 1 + 72)，此时 t=i+J2，如图3-3中，当线段 MN与。H相切于点E时，连接EH.OT=OM+TM=4- 72 +3=7-72，.T (0, 7-&)，此时 t=7-T2 ,当1+J2 vt<7-J2时，OH上的所有点都独立于图形 W.综上所述，满足条件的 t的值为-3vtv1-J2或1 +J2 vt7-J2 .【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形 W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.12.如图所示，ABC内接于圆O, CD

36、 AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD；(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED ,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.图1图2图3 一，一一14【答案】(1)见解析；(2)成立；(3) 一5【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)

37、分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长 CG 交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可.【详解】(1)证明：.AB为直径，ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,_ _ 1_1OBC 180 BOC 180 2 A 90 A , 22ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC,CD

38、BA ,AECADC90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 , CFEDFA,BCDBAH, 根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3,HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ,延长KO交。O于N,连接CN、AN,则 NAK 90 CMK ,CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG ,四边形CGAN是平行四边形，AG CN 6,作OT CK于T

39、, 则T为CK的中点， .O为KN的中点，八 1 一 . OT CN 3,2OTC 90 , OC 5,由勾股定理得：CT 4,CK 2CT 8, 作直径HS,连接KGHK 6, HS 10,由勾股定理得：KS 8,tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD ,设 BD a,AD BDCD DK c 1-：.3a a 2 3 , 一 9 斛得：a 一,5 1DK a 2 3CF CK 21【点睛】3D 3a,2ED a 6, DKCK ,8,13一,526 14、 8 551 -AD2,本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等

40、知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.13.已知 RtAABC, / BAC= 90 °,点 D 是 BC 中点，AD= AC, BC= 46，过 A, D 两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心 O在AB上且点 M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)i蚯【答案】

41、(1) 2J3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE± DM,易得到 4ADC为等边三角形，得 /CAD=60°,贝U / DAO=30° , / DON=6O ,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=,AD=J3, ON=DN=1;23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30

42、°,得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1;(3)连AP、AQ, DPI AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6(J ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三

43、角形， CD=AD=2%/3 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，BC= 473 ,.AD= -BC= 273 ；2(2)连 DE、ME,如图， DM > DE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，OEXDM,又 AD= AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1-在 RtADN 中，DN= AD= 732 ''在 RtODN 中，ON=；Z1dN=13 ， 当ON等于1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME, DE为底边，如图3,作D

44、HXAE,. AD=2 百，ZDAE= 30；.DH= 73, /DE60； DE=2, .ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 - 75 = 15 °,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh=石，ON=石-1 ;综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2近.理由如下：连AP、AQ,如图2,. / C= / CAD= 60 ；而 DP, AB

45、,.AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 °,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ;Z CAQ= / PAD,1 . AC=AD, /AQC=/P,2 .AQCAAPD,.DP= CQ,.DP- DQ= CQ DQ= CD= 2到）岛却【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相 等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.14.如图，已知 BAC,AB AC,O为ABC外心，D为e O上一点，BD与AC的交 点为 E ,且 BC2 AC CE .求证：CD CB ;若 A 300,且eO的半径为3 J3，I为 BCD内心，求OI的长【答案】证明见解析；2J3【解析】【分析】- BC CE先求出 ，然后求出4BCE和4ACB相似，根据相似三角形对应