小学六年级数学培优专题训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上前言21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。具体来说本教材有以下几个方面的亮点：1内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。2循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，

2、循序渐进地进行学习。3专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。4选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。目录一、数的认识二、数的运算三、空间与图形四、解决问题五、实战模拟8专心-专注-专业第1讲 数的认识一、夯实基础1

3、数的意义（1）自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3叫做自然数。（2）小数把整数“1”平均分成10份、100份、1000份这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几可以用小数表示。（3）分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（4）百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。2数的大小比较（1）整数的大小比较比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。（2）小数的大小比较比较两个小数的大小，先看

4、整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比较大（3）分数的大小比较 整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。例如：，22。整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。例如：，33。分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再进行比较。3小数、分数、百分数的互化（1）小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。（2）分数化成小数。分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一

5、位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（5）分数化成百分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数），再化成百分数。（6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例1比较下列各组分数的大小 （1）和 （2）和分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选择比较方

6、法，比较的方法越简单越好。（1）和这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。 （2）和这两个分数一个大于，一个小于，可用为标准进行比较。 解（1）：=，=， ，得出。 解（2）：，得出。例2某数增加它的20%后，再减少20%，结果比原数减少了（ ）。 A. 4%       B. 5%       C. 10%       D. 20%分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。解：设某数为100则

7、100×（1+20%）=120， 120×（120%）=96，（10096）÷100=4%。故应选A。数的认识课堂过关卷一、细心填空1用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ）；读两个零的六位数是（ ）；一个零也不读的最小六位数是（ ）。2一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。3若被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为（ ）。4把0.35，34%，从大到小排序（ ）。5某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的（ ）6甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（ ）%。7一个分数的分子比分母少20，约分后

8、是，这个分数是（ ）。8写出三个比小，而比大的最简分数是（ ）、（ ）、（ ）。9中有（ ）个。10有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是（ ）。11A+B=60，A÷B=，A=（ ），B=（ ）。12( )( )=(填两个分母小于12的分数) = (填两个不同的整数)。13一个最简分数，若分子加上1，可以约简为，若分子减去一，可化简成，这个分数是（ ）。14修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修（ ）天完成它的。15一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为（ ）元。16甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是

9、5：2，这两个数的和是（ ）。17有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，加水（ ）千克。18x表示取数x的整数部分，比如13.58=13。若x=8.34，则x2x3x=（ ）。二、选择1 最大的小数单位与最小的质数相差（    ）。 A 1.1       B 1.9     

10、0; C 0.9       D 0.123.999保留两位小数是（    ）。 A 3.99      B 4.0       C4.00      D3.903下列四个数中，最大的是（ ）。A101% B0. CD1 4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。 A少于100 B100与150之间 C150与200之间

11、 D200与250之间5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分（ ）。 A高 B低 C一样高 D无法确定6一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是（ ）。A75 B84 C86 D93 7的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）A加上20 B加上6 C扩大2倍 D增加3倍 8书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是( ) A亏本 B赚钱 C不亏也不赚9把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。 A1：99 B1：100 C1：101

12、 D100：10110甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少（ ）。 A.50% B.40% C.25%三、星级挑战1财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？ 2暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。（1）7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ）。（2）从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（ ）次。第2讲 数的整除一、夯实基础整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整

13、除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数

14、。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例1从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被2、3和5整除这样的三位数有几个？ 分析：根据能被2、3、5整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5整除，这个三位数的个位数字必须是0。现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字中选取，且每位上数字的和要能被3整除。解：一共有两个：570或750。例2有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？分析：360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依

15、据题意，组合成4个连续自然数的乘积。再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数。解：360=2×2×2×3×3×5=3×（2×2）×5×（2×3）=3×4×5×6 答：年龄最大的小朋友是6岁。例3同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？ 分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。解：10、15、18

16、和24的最小公倍数是:2×3×5×1×1×3×4=360答：操场上的同学最少是360人。数的整除课堂过关卷一、填空1在l至20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。2一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（ ），用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（ ）。38（ ）5（ ）同时是2， 3 ，5的倍数，则这个四位数为（ ）。4一个五位数735，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么代表的数字是（ ），代表的数字是( )。5从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整

17、除的最大三位数，这个三位数是（ ），把它分解质因数是：（ ）。6把84分解质因数：84=（ ）。72和54的最大公约数是（ ）。712的约数有（ ），从中选出4个数组成一个比例是（ ）。8公因数只有（ ）的两个数，叫做互质数，自然数a和（ ）一定是互质数。9a、b都是非零自然数，且a÷b=c，c是自然数，（ ）是（ ）的因数，a、b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。10A、B分解质因数后分别是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 11A=2×2×3，B=2×C&#

18、215;5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是（ ），A、B的最小公倍数是（ ）。12在括号里填上合适的质数：（ ）（ ）=21=（ ）×（ ）。13两个质数的和是2001，这两个质数和积是（ ）。1445与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（ ）。15已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（ ）和（）。二、解决问题1有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没

19、有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战1有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？ 2有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？ 第3讲 简便运算（1）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们

20、学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b乘法分配律：a×（bc）=a×ba×c a×（bc）=a×ba×c二、典型例题例1. （

21、1）9999×77783333×6666 （2）765×64×0.5×2.5×0.125分析（一）：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍，因此我们可以把3333和6666分解后重组，即3333×3×2222=9999×2222 这样再利用乘法分配律进行简算。 解（一）: 原式=9999×77783333×3×2222 =9999×77789999×2222 =（77782222）×9999 = 分析（二）：我们知道0.5×2，2

22、.5×4，0.125×8均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成2×4×8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。 解（二）： 原式=765×（2×4×8）×0.5×2.5×0.125 =765×（2×0.5）×（4×2.5）×（8×0.125） =765×1×10×1 =7650例2399.6×91998×0.8 分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现

23、减数的因数1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律将399.6×9改写成（399.6×5）×（9÷5），即1998×1.8，这样再根据乘法分配律进行简算。 解: 原式=（399.6×5）×（9÷5）1998×0.8 =1998×1.81998×0.8 =1998×（1.80.8） =1998×1=1998例3×× 分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即比少1，比多1，

24、我们可以将被减数改写成（）×（1），把减数改写成（1）×，再利用乘法分配律进行简算。 解： 原式=×（1）（1）× =×× = =三、熟能生巧1（1） 888×667444×666 （2）9999×12223333×6662（1） 400.6×72003×0.4 （2）239×7.2956×8.2 3（1） 1989×19991988×2000 （2）8642×24688644×2466四、拓展演练11234

25、5;43262468×2837 2 275×121650×233300×7.53 ×× 五、星级挑战131÷532÷533÷534÷5 23333×45555×57777×7 39999×9999×99×994. 48.67×673.2×486.7973.4×0.05第4讲 简便运算（2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分

26、数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b乘法分配律：a×（bc）=a×ba×c a×（bc）=a×ba×c拆分：= =（）二、典型例题例1（1）2006÷2006 （2）9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3分析（一）：把2006化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示

27、，则便于约分和计算。解（一）: 原式=2006÷ =2006÷ =2006×=分析（二）：根据除法的性质可知9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3可以写成9.1×4.8×4÷（1.6××1.3），又根据分数与除法的关系，可以将其写成分数形式，其中9.1与1.3，4.8与1.6，4与存在倍数关系，可以进行约分后再计算。解（二）： 原式= =7×3×30 =630例2（1） （2）（97）÷（）分析（一）：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会

28、发现分子中2005×2006可变形为（20041）×2006=2004×200620061，同时发现20061=2005，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。解（一）： 原式= =1 分析（二）：在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。解（二）： 原式=（）÷（） =65×（）÷5×（） =65÷5=13例3 分析：因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如=1，=，=其余的部分分数可以互相抵消，这样计算就简便许多。 解: 原式=（

29、1）（）（）（） =1 =1=三、熟能生巧1 （1）238÷238 （2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷3÷1.12（1） （2）（1）÷（）3 四、拓展演练1（1）123÷41 （2）×2.84÷3÷（1×1.42）×12 （1） （2）（96）÷（32）3 五、星级挑战1 2. 3 4 1第5讲 简便运算（3）一、 夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常

30、用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：等差数列的一些公式：项数=（末项首项）÷公差1某项=首项公差×（项数1）等差数列的求和公式：（首项末项）×项数÷2二、典型例题例1 2468198200 分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数=（末项首项）÷公差1=（2002）÷21=100项，如何求和呢？我们

31、先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2200）÷2=101；第二项和倒数第二项的平均数也是（498）÷2=101依次求平均数，共算了100次，把这100个平均数加起来就是数列的和。即和=（首项末项）÷2×项数。 解: 原式=（2200）÷2×100=10100例2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、10、100、1000、10000、的整数，再从总和中减

32、去6个0.1，使计算简便。解: 原式=1101001000100000.1×6 =0.6=.4例32008×2009×分析：这道题数值较大，计算起来比较繁琐，但观察这些数，可以发现具有规律性，即被减数和减数中因数具有相同的排列规律，因此我们可以把写成2009×10001，把写成2008×10001，这样题目中被减数和减数的因数就完全相同，我们也就可以直接算出结果为0。解: 原式=2008×2009×100012009×2008×10001=0三、熟能生巧1 13576567 2 9999999999999

33、9931120×11221×0四、拓展演练1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.9×0.28.8×0.28.7×0.28.1×0.22（1）98998999899998 （2）3.90.390.0390.00390.000393（1）1234×14321×4 （2）2002×3003×五、星级挑战1 （1）438.9×5 （2）47.26÷5 （3）574.62×25 （4）14.758÷0.25 2. （44332443.32）

34、47;（88664886.64） 3 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第6讲 简易方程一、夯实基础 含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例1解方程

35、4（x2）15=7x20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。 4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20 3x=27 x=9 经检验x=9是原方程的解。例2解方程x÷2=（3x10）÷5 分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为x×5=（3x10）×2再求解。 x÷2=（3x10）÷5解： x÷2×10=（3x10）÷5×10 x×5=（3x10）×2 5x=6x20 x20=0 x=20 经检验x=20是原方

36、程的解。例3解方程360÷x360÷1.5x=6 分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。 360÷x360÷1.5x=6解： 1080720=18x 18x=360 x=20 经检验x=20是原方程的解。三、熟能生巧1122（x1）=4 5x19=3（x4）15 2（2x4）÷18=28 （5.3x5）÷7=x8 37（x3）=3（x5）4 xx÷32x30=180四、拓展演练1（x+10）6 84.5x32xx x7.4=x9.23 ：18% 五、星级挑战1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）

37、4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）3解方程：=2 4. 解方程：（x5）=3（x5）第7讲 定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“”、“”、“×”、“÷”。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：、并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例1 （1）ab=ab，求95的值。（2）定义新运算“ ”，

38、mn=m÷n×2.5。求： 60.40.4的值是多少？ 3510.3的值是多少？分析（1）：本题中的新运算符号“”表示的是求“”前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。解（1） ： 95=95=14分析（2）：本题中新运算“”的含义是求“”前后两个数的商的2.5倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.4÷0.4×2.5=151×2.5=377.5 3510.3=351÷0.3×2.5=1170×2.5=2925例2 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（ab）÷2，求34*（52*48

39、）值。分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用34与“52*48”的结果在进行一次这样的运算。 解：52*48=（5248）÷2=4÷2=2 因此34*（52*48）=34*2=（342）÷2=32÷2=16。例3定义两种新运算“”和“*”，对于任意两个 数x、y，规定xy=x5y，x*y=（xy）×2 ，求563.5*2.5的值。 分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“”表示求“”前面的数与后面数的5倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面

40、数的差的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。 解：56=55×6=35 3.5*2.5=（3.52.5）×2=2 563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） ab=ab，求45.238.9的值。（2）x、y是两个自然数，规定xy=（x+y）×10，求38的值。2定义一种新运算“”，规定AB=2×（AB），求0.6（5.45）的值。3定义两种新运算“”和 “”，已知ab=a÷24.1×b，ab=83（ab），求6142的值。四、拓展演练1 （1）定义一种新运算“”，规定AB=4A3B5，求（1）69 （2）9

41、6。（2）定义一种新运算“”，规定ab=（3xy）2x，求：1015 15102（1）定义新运算“”，规定mn=（mn）÷2，那么8 （122）与12（82）是否相等？如果不相等，哪个大？（2）定义一种新运算“”，已知ab=5a10b，求3758的值。3定义两种运算“”和“”，对于任意两个整数a，b，ab=ab1，ab=a×b1。计算4（68）（35）。五、星级挑战1定义新运算“”，若23=234，54=5678。求2（32）的值。2. 设a、b表示两个数如果ab，规定：ab=3×a2×b；如果ab，规定：ab=（ab）×3。求： 96 88

42、273设a、b表示两个数，ab=a×ba+b，已知a7=37，求a的值。 4设a、b表示两个整数，规定：a b=a（a1）（a2）（a3）（ab1），求1100的值。第8讲 巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2梯形（上底+下底）×高÷2S=(a+b)h÷2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等

43、一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。解：直角梯形OEFC的上底为：103=7（厘米），直角梯形OEFC的面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。答：阴影部分的面积是17平

44、方厘米。例2如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）。平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。答：平行四边形的面积为50平方厘米。例3如图,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别

45、为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？分析:由“ E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=8×6÷2=24（平方厘米）S三角形ABF=S三角形ABC=×24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=×12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面积是6平方厘米。 三、熟能生巧1如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的

46、面积。（单位：厘米）2如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？ 3如图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。四、拓展演练1如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49，那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）2 如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？             &

47、#160;     3如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。 五、星级挑战1如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？2有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？ 第9讲 组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置

48、或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=×直径=2×半径，即：C=d=2r(2)中心角为n°的弧的长度=n××(半径)÷180，即：l=（3）圆的面积=×(半径) 2，即：S=r2(4)中心角为n°的扇形的面积=n××(半径) 2÷360，即：S= l=lr二、典型例题例1如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

49、分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。 解：4×4÷2=16（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。分析：

50、阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。解：S阴影=S扇形ACBS扇形ACDS正方形ABCDABDC =×AB2×2AB2 =×42×24216×=9.12（平方厘米）。例3如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。分析： 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（）的面积之差。而图中（）的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。解：S阴影=S三角形ACD（S正方形BCDES扇形EBD）= =40.26（平方厘米）。三、熟能生巧1如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。2

51、如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。3如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。 四、拓展演练1如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？2如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。             

52、60;                 3如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战1如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取=3.14）。2求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）第10讲 长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组

53、，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长二、典型例题例1一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米

54、的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。                      分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是243×2=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁

55、盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上3×2=6（厘米）才是原铁皮的宽。解：长方体铁盒的长：243×2=18（厘米） 长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9（厘米） 长方形铁皮的宽：93×2=15（厘米） 长方形铁皮的面积：24×15=360（平方厘米）答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。例2如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。    解：长宽（5155）÷2255（cm） 长高（4455）÷2220（cm）    宽高（2355）÷2115（cm）    长宽高（255220115）÷2295（cm）    长：