中考数学圆与相似综合题含答案解析

1、中考数学圆与相似综合题含答案解析一、相似1.已知：如图，在4ABC中，AB=BC=1Q以AB为直径作。分别交AC,BC于点D,E,F,交BD于点P.(2)若CE=2求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求4DPE的面积.【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ADB=90；即BD±AC1 .AB=BC,2 .ABDCBD/ABD=ZCBD在。O中，AD与DE分另1J是/ABD与/CBD所对的弦.AD=DE;(2)解：二.四边形ABED内接于。O,ZCED=ZCAB,cecn/C=/C,ACEDIACAB,.CA-，AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,.5=%;正；(3)解：延

2、长EF交。于M,在RtMBD中，AD=%'取AB=10,BD=3.EMXAB,AB是。的直径,屏-瓦，/BEP=/EDB,.,.BPEABED,BP=t5,1316.DP=BD-BP=L,Sadpe:Sabpe=DRBP=13:32,/Sabcd=-N灰x。1=15,Sabde:Sabcd=BEBC=4:5,-1SabdE=12,Sadpe=.【解析】【分析】(1)根据已知条件AB是。O的直径得出/ADB=90,再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。(2)根据圆内接四边形的性质证得/CED=ZCAB,再根据相似三角形的判定证出CEDACAEI,得出对应边成比例，建立关于CD的方

3、程，即可求出CD的长。(3)延长EF交。于M,在RtAABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明BPEABED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标;M,使得DCMsbqc?如果存在，求出点M(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)解：曲八-3,A(l

4、r0).B(3,0)./-1-b-f-c=0代入x以-*d,得#第十£'比解得，抛物线对应二次函数的表达式为:(2)解：如图,设直线CD切。P于点E.连结PE、PA作CF上破/|点H.二陛11露隹融|由卜二)为3,得对称轴为直线L.:-!.；二.1:，=|I/小为等腰直角三角形.索-=二叱/.广格.I/阳为等腰三角形.设x=1,整理，得J+珈8-&解得，点p的坐标为a4二次或匕一二.(3)解：存在点M,使得.DQsBOC.如图，连结j.y.I广闻为等腰直角三角形，么的=/5'，"'=他由(2)可知，ZCDM=15：切=瓜IW房事”方比分两种情

5、况.bwa当他时，DMVl!F.阴-二.-.-砧,解得a.210Q)f=DQ-DM=4-33WJfj(Jt),DMCL当f"仍时，战45.,.A/5i,解得门*3,.第=W-腐-7=J.10综上，点M的坐标为3或5上，.x=1,顶点D(1,4),点C(0,【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由(1)中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线3),由题意可设点P(1,m),计算易得4DCF为等腰直角三角形，DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE列方程求解；DMCLDCDK(3)由DCMsbqc所得比例式分

6、两种情况：函)或函仆，根据所得比例式即可求解。3.在矩形ABCD中，BC=6,点E是AD边上一点，/ABE=30°,BE=DE,连接BD动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN/BD交直线BE于点N.(1)如图1,当点M在线段ED上时，求证：MN=EM；(2)设MN长为x,以M、N、D为顶点的三角形面积为y,求y关于x的函数关系式；(3)当点M运动到线段ED的中点时，连接NC,过点M作MFXNC于F,MF交对角线BD于点G(如图2),求线段MG的长.【答案】(1)证明：一"二切二,上电层二30.如/胆,.-4ft/小4出-M;EN-Ek过点石作£耳上监于点用，

7、则/(2)解：在后,网中,鹿二兆=BE=2AEa.当点岛在线段皮上时，过点力作”了上也于点L在册心小中,.V7-歌b.当点速在线段切延长线上时，过点A作*r/也于点2N1'第Xfi-_-在汽的N/£中，初3；3部二口-斑二T-4(3)解：连接S,交位于点WI.嬲为DE的中点,.,房=山冰:万=”灌=入,DM21COSzti玳一-*-府/二，.-.一反枕二60a,.-f80*-上期/出收"-，加靖60-90,j£i/B4.a疝D=N出应二必,IIm-MD=-X2-1'f1,I1一,闿=个解.B=$2+16=期,.上此力=阳'-NGM1：上就“

8、士力-NG树,jN二/-J庶Y,又/胸二二一胆看士,.1侬S册&,二坐NCJKVMCVI【解析】【分析】（1）过点E作EHLMN于点H，由已知条件易得EN=EM,解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在RtABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：当点M在线段ED上时，过点N作NILAD于点I，结合（1）中的结论MN=/-EM即可求解；当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'XAD于点I',解RtANI&#

9、39;和优：上可1求得NI'和NE,则DM=NE-DE,所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N',由（2）中的计算可得MN、CDMC的长，解直角三角形CDM可得/DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得/NMC=必，根据平行线的性/质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN>MD;则NC的长可求，由已知条件易得ANMSAMNG根据所得的比例式即可求解.4.如图，BD是DABCD勺对角线，AB±BD,BD=8cm,AD=10cm,动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A,同时动点Q

10、从点B出发，沿折线BD-DC运动到终点C,在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QMXAB,交射线AB于点M,连接PQ,以PQ与QM为边作DPQMN设点P的运动时间为t(s)(t>0),口PQMN与(2)当点N落在边AB上时，求t的值.(3)求S与t之间的函数关系式.(4)连结NQ,当NQ与4ABD的一边平行时，直接写出t的值.【答案】(1)(10-5t)(2)解：如图，dN3西)圉当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形.,PN/DB,.APNMADB,，AP:一一r-1AD=PN:DB,(105t):10=8t:8,120t=80,(3)解：分三种情况讨论：

11、2Q图图©图a)如图，过点P作P已BD于点E,则PE=3t.20<t-A当J时，3=JF.&=J7H.b)如图，过点P作PE!BD于点E,则PE=3t，设PN交AB于点F,则、二、t这5-X3t(84T+8t)二国+必当3时，2.c)如图，当J：FW3时，PF=8-4t,FB=3t,PN=DB=QM=8,.FN=4t,DQ=6(t-1),.BM=DQ=6(t-1).,./GBM=/A,/DBA=/GMB,.BGMsABD,，GM:BM=DB:11AB,解彳导:GM=8t-8,S=S平行四边形pnmq-Safmn-Sabmg=8(9t-6)X4t(9t-6)X(6t-6)

12、 (8t-8)=7户4-普.24t2(0(fW?,'6产+f忘D3综上所述：(4)解：分三种情况讨论.当NQ/AB时，如图5,图5过P作PF,BD于F,贝UPF=3t,DF=4t,PN=FQ=BQ=8t>.BD=8t+8t+4t=8,解得:当AD/NQ,且Q在BD上时，如图6.图6,PNQD和PNBQ都是平行四边形，PN=DQ=BQ,.8t+8t=8,解得:当AD/NQ,且Q在DC上时，如图7,可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8,S6此时DQ=AB=k/d-*=6,t=8(=2.综上所述：一或'或1-4.【解析】【解答】解：(1)(10-5

13、t)；【分析】(1)由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;(2)由欧勾股定理的逆定理可得/ABDW,所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得APBQ比例式：.-电阈，则可得关于t的方程，解方程即可求解；J(3)由(2)知，当DPQMN全部在DABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q在BD边上的运动速度是8cm/s,在DC边上的运动速度是6cm/s,所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A,所以分3种情况：口a)如图，过点P作P已BD于点E,当0<t，附，S=BQ，PE;W1b)如图

14、，过点P作PE±BD于点E,设PN交AB于点F,当<tw1时，S=(PF+BQ)PE;c)如图，当1<twaS行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG的面积；(4)由题意NQ与4ABD的一边平行可知，有3种情况：当NQ/AB;当AD/NQ,且Q在BD上时；当AD/NQ,且Q在DC上时。分这三种情况根据已知条件即可求解。5.如图，在等腰4ABC中，AB=BC以BC为直径的OO与AC相交于点D,过点D作DE，AB交CB延长线于点E,垂足为点F.(2).AB是。的直径，,.AB=BC,.,.AD=DC.切线.若。O的半径R=5,tanC=L；,求EF的长.理由如

15、下：如图，连接OD,BD,，/ADB=/90°,.1.BDXAC.OC=OB,.1.OD/BA,-DE±BC,.DELOD,，直线DE是。的(2)解：过D作DHLBC于H,OO的半径R=5,tanC=,.BC=10,设BD=k,郎CD=2k,.-.BC=k=10,.k=2、"，.BD=2由,CD=4,.DH=灰=4,.OH=2B图J城一加=3de±OD,DHXOE,.OD2=OH?OE,.OE=3,.BE=；,.DEXAB,16BF3BFBE了一元.BF/OD,ABFEsAODE,加胡，即3,.BF=2,/.EF=i-8F=81【解析】【分析】(1)DE

16、是。的切线，理由如下：如图，连接OD,BD,根据直径所对的圆周角的直角得出/ADB=/90°,根据等腰三角形的三线合一得出AD=DC,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，又三角形的中位线平行于第三边，得出OD/BA,又DE±BC,根据平行线的性质得出DELOD,从而得出结论：直线DE是。的切线；I(2)过D作DHLBC于H,根据正切函数的定义，由tanC=-,可以设BD=k,CD=2k,根据勾股定理表示出BC,再卞!据BC=1Q列出方程，求解得出k的值，进而得出CD,BD的长，根据面积法即可算出DH的长，再根据勾股定理算出OH的长，然后判断出AODH与ODE相似，根据

17、相似三角形对应边成比例即可得出OD2=OH?OE,根据等积式算出OE,的长，从而根据线段的和差算出BE的长，再判断出BFa4ODE,根据相似三角形对应边成比例BFBb得出,根据比例式即可算出BF,最后根据勾月定理算出FE的长。6.如图1,在RtAABC中，/B=90；BC=2AB=8点D、E分别是边BCAC的中点，连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为郎=.(2)拓展探究试判断：当0°抬360°时，质的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当4EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.【答案】(1)L2(2)解：如图2,当0

18、76;y360°时，血的大小没有变化, /ECD土ACB, /ECA土DCB,ECAC/又DCBC2,.EC/VADCB,(3)解：如图3,jD£ .AC=4.,CD=4,CD±AD, .AD=、 .AD=BC,AB=DC/B=90； 四边形ABCD是矩形，BD=AC=心.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,AC=,CD=4,CD±AD,，AD=.点D、E分别是边BC、AC的中点,，DE=样二3X(8-r2)=-X4=2,.AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得AE”BD2.BD=综上所述，BD【解析】

19、【解答】（1）当a=0时,ABC中，ZB=90；.AC=/呼中虻=弋虚/+炼点D、E分别是边BC、AC的中点，R3,BD=8+,2=4.Dffll当a=180时,【分析】（1）当"0时，出AE,BD的长，从而得出答案;鼻ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得如图1,当a=180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=BC：BD,再根据比例的性质得出AE：BD=AC：BC从而得出答案。（2）当0°y360°时，AE：BD的大小没有变化，由旋转的性质得出/ECD叱ACB,进而得出ZECA=ZDCB,又本据EC：DC=AC：BC=/，根据两边对应成比

20、例，及夹角相等的三角形相似得出ECADCB,根据相似三角形对应边成比例得出AE：BD=EC：DC=J;(3)如图3,在R匕ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=/%门;如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,在RtAADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的In心长，卞据AE=AD-DE算出AE的长，由(2),可得AE：BD=2,从而得出BD的长度。7.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A

21、(-3,0),C(0,4)，点B在x轴上，AC=BC过点B作BD±x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当4CMN是直角三角形时，求点M的坐标；(3)试求出AM+AN的最小值.【答案】(1)解：把A(3,0),C(0,4)代入y=ax25ax+c得1<3-9a+15&-f-c=0，61右二，解得,i4，抛物线解析式为y=-心x2+6x+4； .AC=BC,CO>±AB,.OB=OA=3, B(3,0),.BDx轴交抛物线于点D, .D点的横坐标为3,/口当x

22、=3时，y=-。X9+x3+4=5 .D点坐标为(3,5)。(2)解：在RtOBC中，BC=V*+飨'-"一=5,设M(0,m),贝UBN=CM=4-m,CN=5(4m)=m+1,4-骷s+12b即75,解得m=9cma当1万时，CMNsCBO,4-mni1II即万一/,解得m=方 /MCN=ZOCB,CM公.当COG时，CMNSCOB,贝U/CMN=/COB=90；16此时M点坐标为（0,3）;贝U/CNM=ZCOB=90,11此时M点坐标为（0,9）;综上所述，M点的坐标为（0,9）或（0,9）。口（3）解：连接DN,AD,如图， .AC=BC,CO±AB, O

23、C平分ZACB,ZACO=ZBCO, BD/OC,/BCO=ZDBC,1 DB=BC=AC=5CM=BN,2 .ACMADBN,.AM=DN,3 .AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），DN+AN的最小值=AD八屏+病=口，,.AM+AN的最小值为V67.【解析】【分析】（1）将A（-3,0）,C（0,4）代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线解析式；由AC=BCCO±AB,根据等腰三角形的三线合一”定理，可得OB=OA=3,而BDx轴交抛物线于点D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即可得点D的坐标。（2）当4CMN是直角三

24、角形时，有两种情况：ZCMN=90,或/CNM=9°0,则可得CMNsCOB,或CMNsCBO,由对应边成比例，设M（0,m）,构造方程解答即可。(3)求AM+AN的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数关系式表示出AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点A,M,N三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/DBC,连接AD,可证得ACM0DBN,贝UAM=DN,而DN+AN>AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，求AD的长即可。8.如图，已知一次函数y=-Jx+4的图象是

25、直线1,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、(1)求线段AB的长度；(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N,以点N为圆心，NA的长为半径作ON.当。N与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C,与。N的另一个交点为D,连接MD交x轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线1交于点P、Q,当APQ与CDE相似时，求点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,A(0,4),.OA=4,当y=0时，-Jx+4=0,x=3,.B(3,0),.OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NHy轴于H,过M作MEy轴于E,OBEM3t

26、anZOAB=OAAE4, 设EM=3x,AE=4x,贝UAM=5x,.M(3x,-4x+4),由旋转得：AM=AN,/MAN=90, /EAM+ZHAN=90； /EAM+ZAME=90;/HAN=ZAME, /AHN=ZAEM=90；.-.ahnamea,.AH=EM=3x,.ON与x轴相切，设切点为G,连接NG,则NG±x轴, .NG=OH,则5x=3x+4,2x=4,x=2,.M(6,-4);如图2,由知N(8,10), .AN=DN,A(0,4),.D(16,16),设直线DM：y=kx+b,把D(16,16)和M(6,-4)代入得：,b=16:能=-i,-k=2解得：，

27、直线DM的解析式为：y=2x-16, 直线DM交x轴于E, 当y=0时，2x-16=0,x=8, E(8,0),由知：ON与x轴相切，切点为G,且G(8,0),.E与切点G重合， /QAP=/OAB=ZDCE.APQ与CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：i)当DC上QAP时，如图2,/AQP=/NDE,/QNA=ZDNF,/NFD=ZQAN=90；1. AO/NE,.ACOANCE,AO_CGI：.-00=3|,连接BN,.AB=BE=5,ZBAN=ZBEN=90,ZANB=ZENB,.EN=ND,ZNDE=ZNED,ZCNE士NDE+ZNED,ZANB=ZNDE,.BNIIDE,

28、JSi_寸RRABN中，BN八'/VAB_A7sinZANB=ZNDE=BN,5_凶一冗,NF=2', 1.DF=4'6，ZQNA=ZDNF,tanZQNA=tanZDNF='川5AC，城二“ .AQ=20,34,.tanZQAH=tanZOAB=VA设QH=3x,AH=4x,则AQ=5x,5x=20,x=4, 1.QH=3x=12,AH=16, Q(-12,20),同理易得：直线NQ的解析式: P(0,14);y=-x+14,3,ii)当DC&PAQ时，如图/APN=ZCDE,/ANB=ZCDE1. AP/NG,/APN=ZPNE,/APN=ZPNE=

29、ZANB, .B与Q重合，.AN=AP=10, .OP=AP-OA=10-4=6 P（0,-6）;综上所述，APQ与CDE相似时，点P的坐标的坐标（0,14）或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB0B闽J的长度；（2）根据同角的三角函数得：tan/OAB=R!AE也设EM=3x,AE=4x,则AM=5x,得M（3x,-4x+4）,证明AHNMEA,则AH=EM=3x,根据NG=OH,列式可得x的值，计算M的坐标即可；如图2,先计算E与G重合，易得/QAP=/OAB=ZDCE,所以4APQ与4CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情

30、况进行讨论：i）当DCaQAP时，证明AC84NCE,列比例式可得CO=3,根据三角函数得：DF眼g磔tanZQNA=tanZDNF=4产心,AQ=20,则tanZQAH=tanZOAB=41*,设QH=3x,AH=4x,贝UAQ=5x,求出x的值，得P（0,14）;ii）当DC上PAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0,-6）.二、圆的综合9.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形,AB=CD.（1）如图（1）,求证:AD/BC；（2）如图（2），点F是AC的中点，弦DG/AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;在（2）的条件下，若DG平分/ADC,GE=57

31、3,tan/ADF=4j3，求。O的半径。0怪)【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）J129【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边形的性质得到ZNDC=ZB.即可证明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得

32、到AB,HB,AH,HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.AB=CD,弧AB=MCD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延长AD至ijN,使DN=AD,连接NC.AD/BC,DG/AB,二.四边形ABED是平行四边形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圆内接四边形，/NDC=/B./AB=CD,“CL“r“LCL1MBECND,AE=CN./DN=AD,AF=FC,DF=-CN,，AE=2DF.（3）连接BG,过点A作AHBC,由（2）知/AEB=/AN

33、C,四边形ABED是平行四边形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tan/ADF=473,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,/NDC=/DCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,工DE是等边三角形，.AB=DE=CE,/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等边三角形，BE=GE=5j3.tanZAEB=tan/ADF=4>/3,设HE=x，贝UAH=4>/3x.,ZABE=ZDEC=60°,，

34、/BA+30°,.BH=4x,AB=8x,，4x+x=5有，解得：x=V3,-AB=8V3,HB=4V3,AH=12,EC=DE=AB=8V3,.HC=HE+EC=73873=973.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2"122(9峋2=3743.AC作直径AP,连接CP,ZACP=90,/P=/ABC=60,/.sinZP=,APAP旦入432砺APsin60V327129,OO的半径是照9.210.如图，在4ABP中,C是BP边上一点，/PAC=/PBA。是ABC的外接圆，AD是。的直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是。的切线；（2）过点C作C。AD,垂足为点F,

35、延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.【答案】（1）证明见解析（2）2J3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出/ACD=90以及利用/PAC=/PBA得出zCAD+ZPAC=90进而得出答案；(2)首先得出CA84BAC,进而得出AC?=AGAB,求出AC即可.试题解析：(1)连接CD,如图，AD是。0的直径，ZACD=90: ZCAEH-ZD=90, ZPAG/PBA,ZD=ZPBA, ZCAEH-ZPAG=90,即ZPAD=90°,PAXAD,.PA是OO的切线；(2) -CF±AD, ZACRZCAF=90,ZCAEH-ZD=90, ZACRZD

36、, ZACRZB,而ZCAG=ZBAG,.ACGAABC,.AC:AB=AG:AC,.AC2=AG?AB=12,.AC=2%/3.11.如图，已知RtABC中，C=90°,O在AC上，以OC为半径作。0,切AB于D点，且BC=BD.(1)求证：AB为OO的切线；3(2)若BC=6,sinA=-,求。O的半径；5(3)在(2)的条件下，P点在上为一动点，求BP的最大值与最小值.A【答案】（1）连OD,证明略；（2）半径为3;（3）最大值3疾+3,375-3.【解析】分析：（1）连接OD,OB,证明OD®4OCB即可.（2）由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-

37、,然后求出OD的长度即可.55（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交。O于点E、F,当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在AODB和OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;.,.ODBAOCB(SSS/ODB=/C=90:.AB为。的切线.(2)如图：3CB3sinA=一，一5AB5BC=6,AB=10,BD=BC=6,.AD=AB-BD=4,.sinA=3,cosA=4,55.OA=5,OD=3,即。的半径为：3.（3）如图：连接OB,交。为点E、F,由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3

38、,DB=6,-OB=326235.PB=OB-OE=3.53.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=36.5.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识全等三角形判定与性质的理解.关键是对三角函数值、勾股定理、12.已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的OO与AD,BD分别交于点E、点F,且/ABE=ZDBC.（1）判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；(2)若sin/ABE=U3,CD=2,求。的半径.3【答案】（1）直线BE与OO相切，证明见解析;2)oO的半径为.3【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证/BEO=90&#

39、176;,即可得出直线BE与。相切;(2)连接EF,先根据已知条件得出BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：(1)直线BE与。O相切.理由如下：连接OE,在矢l形ABCD中，AD/BC,./ADB=/DBC.OD=OE,ZOED=ZODE.又/ABE=/DBC,ZABE=ZOED,矩形ABDC,/A=90°,ZABE+/AEB=90°,ZOED+ZAEB=90；/BEO=90；.直线BE与。O相切;(2)连接EF,方法1:,四边形ABCD是矩形，CD=2,.,./A=/C=90：AB=

40、CD=2.ZABE=ZDBC,.sinZCBD=sinABE3'BDDC273,sinCBD在RtAAEB中，CD=2,.BC2应DCAE2AEtanZCBD=tanZABE,，产，BCAB2,22由勾股定理求得BE、,6.在RtBEO中，/BEO=90°,EO2+eB2=OB2.设OO的半径为r,则r2(76)2(2a/3r)2,.=,22,方法2:DF是。的直径，ZDEF=90°.四边形ABCD是矩形，./A=/C=90：AB=CD=2.ZABE=ZDBC,.sinZCBD=sinABE设DCx,BDs/3x,则BCV2xCD=2,BC2夜DCAE2AEtanZ

41、CBD=tanZABE,.，广一BCAB2.22AEE为AD中点.DF为直径，ZFED=90°,EF/AB,1:DF-BD73,2OO的半径为2点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度.13.如图，AD是4ABC的角平分线，以AD为弦的。交AB、AC于E、F,已知EF/BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)若已知AE=9,CF=4,求DE长；(3)在(2)的条件下，若/BAC=60,求tan/AFE的值及GD长.五D【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)18.36.55【解析】试题分析：(1)连接OD,由角平分线的定义

42、得到/1=/2,得到DEDF,根据垂径定理得到ODLEF,根据平行线的性质得到ODLBC,于是得到结论；(2)连接DE,由DeDF,得到DE=DF,根据平行线的性质得到/3=/4,等量代换得到/1=74,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过F作FHI±BC于H,由已知条件得到/1=/2=/3=/4=30°,解直角三角形得到1 1,_.一FH=-DF=-X6=3DH=3J3,CH=JCHF2J7，根据二角函数的7E乂得到tan/AFE=tanZC=-HF37;根据相似三角形到现在即可得到结论.CH7试题解析：(1)连接OD,AD是ABC的角平分线，/1=72,DeDf，

43、 ODXEF,.EF/BC,ODXBC, .BC是。O的切线；(2)连接DE,DeDf,，DE=DF .EF/BC,/3=Z4, -/1=Z3,/1=Z4, /DFC玄AED, .AEDADFC,AEDE口u9DE一一，即一一，DFCFDE4.DE2=36, .DE=6;(3)过F作Fhl±BC于H, /BAC=60；.1./1=/2=Z3=Z4=30； -FH=1DF=16=3,DH=3a/322 CH=.CF1HF7.7, EF/BC,/C=ZAFE,HF3.7tan/AFE=tanZC=；CH7 /4=/2./C=/C, .ADCADFC,ADCD,DFCF /5=/5,/3=

44、/2,.ADFAFDGJ,ADDF,DFDG,CDDF36.76)即CFDG4DG.dg=1866方DG=点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键相似三角形的判定与性质、解直角三角形、14.如图，AB是。的直径，D>线于点E,且CE=CF.(1)求证：CE是。的切线；连接CDCB,若AD=CD=aD为。上两点，CF，AB于点F,CHAD交AD的延长求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】OC/AE,可得/OCB=(1)连接OC,AC,可先证明AC平分/BAE,结合圆的性质可证明90°,可证得结论；(2)可先证

45、得四边形AOCD为平行四边形，再证明OCB为等边三角形，可求得CRAB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明：连接OC,AC. .CF±AB,CE!AD,且CE=CF./CAE=/CAB.,.OC=OA,/CAB=/OCA./CAE=/OCA. .OC/AE. /OC斗ZAEC=180； /AEC=90；/OCE=90即OCXCE.OC是。的半径，点C为半径外端,.CE是。O的切线.(2)解：-.AD=CD,/DAC=/DCA=/CAB,2 .DC/AB,3 /CAE=/OCA4 .OC/AD,四边形AOCD是平行四边形，.OC=AD=a,AB=2a,5 /CAE=/CA

46、B,-.CD=CB=a,.CB=OC=OB,.OCB是等边三角形，心a在RtACFB中，C已、纱-F甲二言尹,1，S四边形ABCD-(DC+AB)?CF=【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.15.如图所示，ABC内接于圆。，CDAB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证：OBCACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明,不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且ADBD2ED,若DE3,OB5,求CF的长度.14【答案】