2021年高考数学(文)一轮复习讲义第4章44三角函数的图象与性质

1、§4.4三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想.以选择、填空为主，中档难度.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0).(2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正

2、切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少相邻两个对称中心的距离呢提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期.2.函数f (x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么提示(1)f (x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f (x)为奇函数的充要条件是k(kZ).题组一思考辨析1.判断以下结论

3、是否正确(请在括号中打“或“×)(1)ysinx在第一、第四象限是增函数.(×)(2)由sinsin知，是正弦函数ysinx(xR)的一个周期.(×)(3)正切函数ytanx在定义域内是增函数.(×)(4)yksinx1，xR，那么y的最大值为k1.(×)题组二教材改编2.函数f (x)cos的最小正周期是_.答案3.y3sin在区间上的值域是_.答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin在上的值域为.4.函数ytan的单调递减区间为_.答案(kZ)解析由k<2x<k(kZ)，得<x<(kZ)，所以ytan的

4、单调递减区间为(kZ).题组三易错自纠5.在函数ycos|2x|；y|cosx|；ycos；ytan中，最小正周期为的所有函数为()A.B.C.D.答案A解析ycos|2x|cos2x，最小正周期为；由图象知y|cosx|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，应选A.6.函数ysin的对称轴为_，对称中心为_.答案xk，kZ，kZ解析由xk，kZ，得xk，kZ，由xk，kZ，得xk，kZ.故函数ysin的对称轴为xk，kZ；对称中心为，kZ.三角函数的定义域和值域例1(1)函数y的定义域为_答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同

5、一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如下列图在0,2内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影局部所示)所以定义域为.(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A.2B.0C.1D.1答案A解析因为0x9，所以，所以sin1，那么y2.所以ymaxymin2.(3)当x时，函数y3sinx2cos2x的值域为_.答案解析因为x，所以sinx.又y3sinx2cos2x3sinx2(1sin2x)22，所以当sinx时，ymin，当sinx或sinx1时，ymax2.

6、即函数的值域为.(4)(2022·全国)函数f (x)2sinxsin2x，那么f (x)的最小值是_.答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1).cosx10，当cosx<时，f(x)<0，f (x)单调递减；当cosx>时，f(x)>0，f (x)单调递增，当cosx时，f (x)有最小值.又f (x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，且当cosx时，sinx±，当sinx时，f (x)有最小值，即f (x)min2××.思维升华

7、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值).(2)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如yasinxcosxb(sinx±cosx)c的三角函数，可先设tsinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.跟踪训练1 (1)函数f (x)sin，其中x，假设f (x)的值域是，那么实数a的取值范围是_.答案解析x，x，当x时，f (x)的值域为

8、，由函数的图象(图略)知，a，a.(2)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_.答案解析设tsinxcosx，那么t2sin2xcos2x2sinx·cosx，sinxcosx，且t.yt(t1)21，t，.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.三角函数的周期性与对称性1.以下函数中，是周期函数的为()A.ysin|x|B.ycos|x|C.ytan|x|D.y(x1)0答案B解析cos|x|cosx，ycos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.假设函数f (x)2tan的最小正周期T满足1<T<2，那么自然数k的值为_.答案2或3解析

9、由题意得1<<2，kN，<k<，kN，k2或3.3.函数ytan的图象的对称中心是_.答案，kZ解析由(kZ)，得xk(kZ)，即其对称中心为，kZ.4.函数f (x)sin(x)的最小正周期为4，且xR有f (x)f成立，那么f (x)图象的对称中心是_，对称轴方程是_.答案，kZx2k，kZ解析由f (x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f (x)f恒成立，所以f (x)maxf，即×2k(kZ)，又|<，所以，故f (x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f (x)图象的对称中心为，kZ.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f (x

10、)图象的对称轴方程是x2k，kZ.思维升华(1)对于函数yAsin(x)(A0，0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义.利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例2 (1)函数f (x)sin的单调递减区间为_.答案(kZ)解析f (x)sinsinsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ).(2)函数f (x)tan的单调递增区间是_.答案(kZ)解析由k<2x<k(

11、kZ)，得<x<(kZ)，所以函数f (x)tan的单调递增区间为(kZ).(3)函数ysinxcosx的单调递增区间是_.答案解析ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ).函数ysin在R上的单调递增区间为(kZ)，又x，函数的单调递增区间为.本例(3)中，将x改为x，那么函数的单调递减区间是_.答案，解析ysin，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数ysin在R上的单调递减区间为(kZ).又x，函数的单调递减区间为，.命题点2根据单调性求参数例3 >0，函数f (x)sin在上单调递减，那么的取值范围是_.答案解析由<x

12、<，>0，得<x<，又ysinx的单调递减区间为，kZ，所以kZ，解得4k2k，kZ.又由4k0，kZ且4k>0，kZ，得k0，所以.本例中，假设>0，函数f (x)cos在上单调递增，那么的取值范围是_.答案解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，那么kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且4k>0，kZ，得k1，所以.思维升华(1)三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中>0)的单调区间时，要视“x为一个整体，通过解不等式求解.但如果<0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.(2)三

13、角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练2(1)ysincos的单调递增区间为_.答案(kZ)解析ysin，由2k2k(kZ)，得4kx4k(kZ).函数的单调递增区间为(kZ).(2)函数ysinx在上是增函数，那么的取值范围是_答案解析由于ysinx在上是增函数，为保证ysinx在上是增函数，所以>0且·，那么0<.1.函数ytan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析ytantan，由xk(kZ)，得xk(kZ).应选D.2(2022·全国)函数f (x)的最小正周期为()A.B.CD2答案C解析f

14、60;(x)sinxcosxsin2x，所以f (x)的最小正周期T.3.函数f (x)sin在区间上的最小值为()A.1B.C.D.0答案B解析由x，得2x，所以sin，故函数f (x)sin在区间上的最小值为.应选B.4.函数ytanxsinx|tanxsinx|在区间内的图象是答案D解析ytanxsinx|tanxsinx|结合选项中图形知，D正确.5.函数y2sin(x0，)的单调递增区间是()A.B.C.D.答案C解析y2sin2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即函数在R上的单调递增区间为，kZ，函数在0，上的单调递增区间为.6假设函数f (x)s

15、incos的图象关于原点对称，那么角等于()A.B.C.D.答案D解析因为f (x)2sin，且f (x)的图象关于原点对称，所以f (0)2sin0，即sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)又|<，所以.7.设函数f (x)cos(>0)，假设f (x)f对任意的实数x都成立，那么的最小值为_.答案解析因为f (x)f对任意的实数x都成立，所以f为f (x)最大值，所以2k(kZ)，所以8k(kZ)，因为>0，所以当k0时，取最小值为.8.(2022·全国改编)假设f (x)cosxsinx在a，a上是减函数，那么a的最大值是_.答案

16、解析f (x)cosxsinxsin，当x，即x时，ysin单调递增，f (x)sin单调递减.函数f (x)在a，a上是减函数，a，a，0<a，a的最大值为.9.函数f (x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，那么函数f (x)的最小正周期为_.答案解析由函数f (x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，又(1,2)，函数f (x)的最小正周期为.10.函数ysin2x2cosx在区间上的最小值是，那么的取值范围是_.答案解析ycos2x2cosx1，令tcosx1,1，yt22t1，其图象开口向下，对称轴为t1，故在区间1,1

17、上为增函数，令t22t1，解得t.故cosx的范围为，而cos，根据ycosx函数图象的对称性可知.11.函数f (x)cos2sinxcosx.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f (x).(1)解f (x)cos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.所以f (x)的最小正周期T.(2)证明因为x，所以2x.所以sinsin.所以当x时，f (x).12.函数f (x)4tanxsincos.(1)求f (x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x)在区间上的单调性.解(1)f (x)的定义域为.f (x)4tan xcos xcos4sin xc

18、os4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f (x)的最小正周期T.(2)令z2x，函数y2sin z在z，kZ上单调递增.由，得x，kZ.设A，B，易知，AB.所以，当x时，f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.13.(2022·全国)关于函数f (x)sin|x|sinx|有下述四个结论：f (x)是偶函数；f (x)在区间上单调递增；f (x)在，上有4个零点；f (x)的最大值为2.A.B.C.D.答案C14(2022·天津新华中学月考)假设函数f (x)4sinx·sin2cos2x(>0)在上是增函数，那么的