高考数学二轮复习-考前回扣-函数与导数学案

1、2.函数与导数1求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应法那么相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题1函数f(x)lg(1x)的定义域是_答案(1,1)(1，)2分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法那么的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题2函数f(x)的值域为R，那么a的取值范围是_答案解析要使函数f(x)的值域为R，需使所以所以1a<.3求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于或能判断单调

2、性的函数(2)图象法：适合于或易作出图象的函数(3)根本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)别离常数法：适合于一次分式问题3函数y(x0)的值域为_答案解析方法一x0，2x1，1，解得y<1.其值域为y.方法二y1，x0，0<，y.4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响问题4f(x)是_函数(填“奇“偶或“非奇非偶)答案奇解析由得定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)为奇函数5函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的

3、区间上假设有单调性，那么其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反(2)假设f(x)为偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(3)假设奇函数f(x)的定义域中含有0，那么必有f(0)0.“f(0)0是“f(x)为奇函数的既不充分又不必要条件问题5设f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，那么该函数在定义域上单调递_答案增解析由题意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函数f(x)的定义域是(1,1)，在此定义域内f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是

4、增函数6判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察(2)由根本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为根本初等函数单调性判断问题(3)对于解析式较复杂的，一般用导数(4)对于抽象函数，一般用定义法问题6函数y|log2|x1|的递增区间是_答案0,1)，2，)解析y作图可知正确答案为0,1)，2，)7有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)f(xa)(a>0)，那么f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，那么f(x)的周期T2a.问题7设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)那么f _.

5、答案18函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称问题8函数y的对称中心是_答案(1,3)9如何求方程根的个数或范围求f(x)g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数yf(x)和yg(x)的图象，看它们交点的个数；求方程

6、根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理问题9函数f(x)|x2|1，g(x)kx.假设方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，那么实数k的取值范围是_答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如下图，当直线g(x)kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)kx过点A时，斜率为，故当f(x)g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围是.10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系(2)假设原题中没有指出是“二次方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形问题1

7、0假设关于x的方程ax2x10至少有一个正根，那么a的取值范围为_答案11指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题11设alog36，blog510，clog714，那么a，b，c的大小关系是_答案a>b>c12函数与方程(1)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)yf(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在(a，b

8、)内至少有一个零点，即至少存在一个x0(a，b)使f(x0)0.这个x0也就是方程f(x)0的根(3)用二分法求函数零点问题12函数f(x)的零点个数为_答案113利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求导数yf(x)(3)解方程f(x)0在定义域内的所有实根(4)将函数yf(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成假设干个小区间(5)确定f(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性特别提醒：(1)多个单调区间不能用“连接；(2)f(x)为减函数时，f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.问题13假设函数f(

9、x)x2ln x1在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是_答案解析因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，由f(x)0，得x.利用图象(图略)可得解得1k<.14导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点问题14函数f(x)x4x3的极值点是_答案x115利用导数解决不等式问题的思想(1)证明不等式f(x)<g(x)，可构造函数h(x)f(x)g(x)，再证明h(x)max<0.(2)不等式恒成立问题可利用别离参数法或直接求含参数的函数的最值问题15函数f(x)x22axln x，假设f(x

10、)在区间上是增函数，那么实数a的取值范围为_答案解析由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因为max，所以2a，即a.易错点1无视函数的定义域例1函数y(x25x6)的单调增区间为_易错分析无视对函数定义域的要求，漏掉条件x25x6>0.解析由x25x6>0，知x>3或x<2.令ux25x6，那么ux25x6在(，2)上是减函数，y(x25x6)的单调增区间为(，2)答案(，2)例2奇函数f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式f(x3)f(x23)<0，求x的取值范围易错分析解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首

11、位解由得故0<x<.f(x)是奇函数，f(x3)<f(x23)f(3x2)又f(x)在(3,3)上是减函数，x3>3x2，即x2x6>0，解得x>2或x<3.综上得2<x<，即x的取值范围为(2，)易错点2分段函数意义不清例3假设函数f(x)在(，)上单调，那么a的取值范围是_易错分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况，无视对定义域的临界点处函数值的要求解析假设函数在R上单调递减，那么有解得a；假设函数在R上单调递增，那么有解得1<a，故a的取值范围是(，(1，答案(，(1，易错点3函数零点求解讨论不全面例4假设函数f(x)mx22x

12、1有且仅有一个正实数零点，那么实数m的取值范围是_易错分析解此题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如无视对m0的讨论解析当m0时，x为函数的零点；当m0时，假设0，即m1时，x1是函数惟一的零点，假设0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.答案(，01易错点4混淆“在点和“过点致误例5曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程易错分析“在点处的切线，说明点在曲线上，且点是切点“过点的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不

13、是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点解设切点为M(x0，x3x0)因为点M在切线上，所以x3x0(3x3)x016，得x02，所以切线方程为y9x16.易错点5极值点条件不清例6f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值，且极值为10，那么ab_.易错分析把f(x0)0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解解析f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立，得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知，a4，b11

14、，所以ab7.答案7易错点6函数单调性与导数关系理解不准确例7假设函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，那么a的取值范围是_易错分析误认为f(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f(x)0的情况解析f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案1函数f(x)log2(x26)的定义域为_答案(，)(，)解析由题意得x26>0x>或x<，即定义域为(，)(，)2假设函数f(x)那么满足f(a)1的实数a的值为_答案1解析依题意，满足f(a)1的实数a必不大于零，于是有由此解得a1.3(2021·江苏溧阳中学

15、等三校联考)假设f(x)是周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)x28x30，那么f()_.答案24解析由，得f()f()f(4)，又f(4)(4)28(4)3024，故f()24.4函数f(x)其中m>0，假设函数yf(f(x)1有3个不同的零点，那么实数m的取值范围是_答案(0,1)解析令f(f(x)1，得f(x)或f(x)m1<0，进一步，得x或xm<0或x.因为m>0，所以只要m<1，即0<m<1即可5(2021·南通模拟)假设曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，那么正数t的值为_答案e2解析因为yln x1，所以(l

16、n 11)(ln t1)1，所以ln t2，te2.6不等式logaxln2x<4(a>0，且a1)对任意x(1,100)恒成立，那么实数a的取值范围为_答案(0,1)(，)解析不等式logaxln2x<4可化为ln2x<4，即<ln x对任意x(1,100)恒成立因为x(1,100)，所以ln x(0,2ln 10)，ln x4，故<4，解得ln a<0或ln a>，即0<a<1或a>.7函数yf(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x03)(x01)2，那么该函数的单调减区间为_答案(，3解析由导数的几何意

17、义可知，f(x0)(x03)(x01)20，解得x03，即该函数的单调减区间是(，38函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)x24x，那么不等式f(x)>x的解集为_答案(5,0)(5，)解析方法一不等式f(x)>x的解集，即为函数yf(x)图象在函数yx图象上方局部x的取值范围因为函数f(x)和yx都是R上的奇函数，且方程f(x)x的根为±5,0，由图象知，不等式f(x)>x的解集为(5,0)(5，)方法二令x<0，那么x>0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)(x)24(x)x24x.要使f(x)>

18、x，那么或或解得5<x<0或x>5，所以不等式f(x)>x的解集为(5,0)(5，)9函数f(x1)是偶函数，当1<x1<x2时，f(x2)f(x1)(x2x1)>0恒成立，设af ，bf(2)，cf(3)，那么a，b，c的大小关系为_答案b<a<c解析因为f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以yf(x)关于直线x1对称又1<x1<x2，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，知yf(x)在1，)上是增函数，又f f ，且2<<3，所以f(2)<f <

19、;f(3)，即b<a<c.10函数f(x)假设函数f(x)的图象与直线yx有三个不同的公共点，那么实数a的取值集合为_答案16，20解析设h(x)sin xx，x(，1)，h(x)cos x10，那么h(x)单调递减，由于h(0)0，所以f(x)x在(，1)上仅有一个根设g(x)x39x224xa，那么g(x)3x218x24，令g(x)3x218x240，得x12，x24.且g(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4，)上单调递增，g(1)a16，g(2)a20，g(4)a16，因为g(x)0有且仅有两个根，故g(1)g(4)a160或g(2)a200，解得a20或a1

20、6.11函数f(x)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？解(1)因为f(x)，而函数f(x)在x1处取得极值2，所以即解得所以f(x)即为所求(2)由(1)知，f(x)，由f(x)>0可知，1<x<1，故f(x)的单调增区间是1,1所以解得1<m0.所以当m(1,0时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增12函数f(x)(c>0且c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc.(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1

21、时k的取值范围解(1)f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，(*)c0，k0.c1.由f(x)0，得kx22xck0，另一个极值点为xc，即x1.(2)由(*)式得k，即c1.当c>1时，k>0；当0<c<1时，k<2.当k>0时，f(x)在(，c)和(1，)上是减函数，在(c,1)上是增函数，Mf(1)>0，mf(c)<0，由Mm1及k>0，解得k.当k<2时，f(x)在(，c)和(1，)上是增函数，在(c,1)上是减函数，Mf(c)>0，mf(1)<0，Mm11恒成立综上可知，所求k的取值范围为(，2)，

22、) 司马迁与班固司马迁作?史记?，完成于汉武帝末年。班固作?汉书?，书未成而作者因与外戚窦宪的关系，死于狱中，事在汉和帝永元四年公元92年。一属西汉，一属东汉，相去公元元年各约90年。今日看来，这两部书好似联袂而出。其实它们间隔了大约180年，等于我们现在距离清嘉庆朝的时间。?史记?为私人著作，?汉书?那么经皇帝看过，有国史的色彩。司马迁自称“成一家之言和“藏之名山，已和班固作书的宗旨不同。况且?史记?是通史，?汉书?是断代史。两位史家的个性癖好不同，这也使他们在取材行文之间，有相当的出入。在公元前90年和公元90年，中国的史家和思想家所处的社会环境已有大幅度的变化。其中一个关键在于，汉武帝用

23、董仲舒之建议，罢斥百家，独尊儒术。我们在这里要特别指出的是，董仲舒之尊儒，并不是以尊儒为目的，而是为了树立一种统一帝国的正统思想，他坦白地成认提倡学术，旨在支持当时政权。武帝之置五经博士、立学校之官、策贤良，都根据此宗旨着眼，从此中国庞大的文官集团，有了他们施政的正统逻辑。司马迁和董仲舒同时代，他读书不受这种政策的影响。而到了班固生活的年代，“正规的儒家思想已有一百多年的根底。司马迁和班固一样，自称是周公和孔子的信徒。可是今日我们一翻开?史记?，随意翻阅三五处，即可以体会到作者带着一种浪漫主义和个人主义的作风，爽快淋漓，不拘形迹，无腐儒气息。他自称“少负不羁之才，长无乡曲之誉，应当是一种真实的

24、写照。他所崇奉的“士为知己用，女为悦己容也可以说是源于儒家道德，可是这立场就已经和经过正统限制的所谓儒家不同了。?史记?里写荆轲和高渐离饮酒击筑，又歌又泣，旁假设无人，已近于董仲舒所说的“邪辟。并且项羽是汉高祖刘邦的死对头，而?史记?里的?项羽本纪?排列在?高祖本纪?之前假设在后代必称“项酋“伪楚，而“本纪只能降格为“载记。文中又把项羽写成一个虽暴躁却又浑憨可爱的角色，其英雄末路，令人怜惜。与之相较，刘邦反像一个伪君子。?史记?除了?刺客列传?之外，还有?滑稽列传?日者列传?和?龟策列传?，可谓涉及九流三教，有呈现整个社会之剖面的样子。班固书里虽有?东方朔传?，却不再缕列非正派或下流的文化资料

25、。也因其如此，司马迁就受到班固的指责。?汉书?里就有?司马迁传?，内中批评他“又其是非颇缪于圣人，论大道那么先黄老而后六经，序游侠那么退处士而进奸雄，述货殖那么崇势利而羞贱贫，此其所蔽也。这些地方还缺乏以表现班固的正统思想，最使我们看出他的作品在历史上是属于“罢斥百家，独尊儒术之后的产物的，乃是?汉书?卷二十?古今人表?。这表里列有1931位古代名人，包括传奇中的人物如女娲氏、有巢氏，?论语?中有名的孔门弟子，?春秋?中的国君等，至秦亡为止。由作者“显善昭恶的原那么按上上至下下区分为三等九那么。内中得“上上圣人者十四人，包括三皇五帝，以周公、孔子殿后。仲尼之外即再无圣人，孟子也只与颜渊、管仲同

26、属“上中仁人。老子与商鞅、申子、墨翟、韩非都属“中上，与孙膑、白起一流。刺客荆轲那么为“中中，和孟尝君、吕不韦同品。而“下下愚人里既有蚩尤、共工、三苗，也有倾国倾城的褒姒和妲己。秦始皇虽焚书坑儒，班固只贬之为“中下，因为他下面还有二世胡亥列入“下中，宦官赵高列入“下下。因此，我们也可以推想出世俗观念中儒家的拘泥，并不一定是孔子和他门徒的真性格。那些呆板多方面的样子，还是后人所造，其目的在维持文官集团的紧凑。总算还是中国读书人的运气好，得有太史公司马迁在兰台令班固之前写作，否那么没有?史记?，径由?汉书?开二十三史之端，中国史学的传统，必更趋向“文以载道的方针，更缺乏“百家殊方的真实性和生动活泼了。1. 关于?史记?和?汉书?的表述，以下理解符合原文意思的一项为哪一项A. ?史记?完成于汉武帝末年，?汉书?完成于汉和帝永元四年，一属西汉，一属东汉，成书年代相差约180年。B. ?史记?为私人著作，而?汉书?那么经皇帝看过，带有国史的色彩，因此?汉书?在编修上要比?史记?更为严谨和准确。C. 司马迁的“成一家之言“藏之名山的宗旨和