2022年高考数学大复习小题课时练36 椭圆 解析版

1、课时3611gl(基础题)一、单选题1. (2020上海市嘉定区第二中学高三期中)已知AABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为()A.+=l(x0)B.土+上=1()，*0)1216v'1216''C.+=1(x0)D.+=l(y*0)1612(>1612V1【答案】A【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是桶圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点.【详解】.AABC的周长为12,顶点8(0,-2),C(0,2),：.BC=4,AB+AC=12-4=8,，8>4,

2、二点A到两个定点的跑离之和等于定值，二点A的轨迹是椭圆，a=4,c=2.-.b2=12,二椭圆的方程：十己=1(.-0)1216故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点.2. (2019上海普陀高三二模)若椭圆的焦点在x轴上，焦距为26，且经过点(6,0),则该椭圆的标准方程为【答案】D【分析】先由题意得到36求出,一技再由椭圆的焦点在，轴上，设椭圆方程为：%£=s。)，将(石，应)代入方程，即可求出结果.【详解】因为焦距为2",所以2c=26，即c=«又椭圆的焦点在轴上，

3、所以设椭圆方程为：4+工=1（。>0）,cia649又椭圆过点（6,a）,所以二+一7=1,解得=9,arar-6因此所求椭圆的方程为：+-=1.93故选D【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.3.（2017上海崇明高三一模）如图，已知椭圆C的中心为原点。，尸（-2底0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|oH=|of|,且归q=4,则椭圆c的方程为（）255CB.30103616D.4525【分析】取椭圆的右焦点耳（26,0）,连接班,【答案】C由平面几何的知识可得PFVPF,进而可得|尸耳|，由椭圆的定义可得、

4、b,即可得解.【详解】由题意可得该椭圆的半焦距c=26，设椭国C的方程为+4=l,（a>b>0）,ab取椭圆的右焦点E（2逐,0）,连接P1,如图，所以2a =仍尸|+|尸制= 12,所以从所以椭圆方程为故选属于基础题(a>b> 0)分别过点4(2,0)和点B则该椭圆的焦距为分析根据椭圆过点42,0)和点B1联立求解所以。=2,所以焦距2c = 26所以(2020上海松江高三模拟预测)已知椭圆详解】因为椭圆过点42,0)和点B【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了运算求解能力及转化化UI思想，对条件合理转化是解题关键怛娟=4石，所以|尸耳卜而可因为|。耳=|。川，所以

5、|。外=|。周，所以尸耳【点睛】本题上要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5. （2018上海市七宝中学高三三模）若椭圆C的方程为：+=则/>切是曲线C的焦点在X轴上的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【分析】由椭圆的几何意义推导.【详解】在方程£+4=1（k>0，>0）中，若左=，则它表示圆，若k*n,它表示椭圆，若后，则焦点在x轴上.，若>3则焦点在y轴上.但题中应是充要条件.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.若焦点在了轴，则椭圆标准方程为5+工=1（。>6

6、>0）,a"b"若焦点在y轴，则椭圆标准方程为£+5=1（。>6>o）.arb一x=5cos06. （2018上海金山高三二模）椭圆的参数方程为。.为参数），则它的两个焦点坐标是（）y=5sinUA.（±4,0）B.（0,±4）C.（±5,0）D.（0,±3）【答案】Alim消去参数可得椭邮勺标准方程二+f=1,所以椭圆的半焦距。=4，两个焦点坐标为（±4,0）.故259填仕4,0）.二、填空题7. （2017徐汇上海中学高三模拟预测）方程上+f-=1表示椭圆，则aw.2-aa+l【答案】卜力唱2

7、）【分析】根据椭圆标准方程的特点，列出不等式组，解这个不等式组即可.2a>02211【详解】因为方程二一+二一=1表示椭圆，所以有a+l>o=>ae（-l,-）o（-,2）.2aa+1-222-。工a+1故答案为：【点睛】本题考查了方程表示椭圆的条件，考查了数学运算能力.8. （2019上海松江高三一模）已知椭圆上+£=1的左、右焦点分别为E、F”若椭圆上的点尸满足94PFi=2PF1,则|尸耳|=【答案】4【分析】根据椭圆定义，得到|P用+|P段=2a=6,再由题中条件,即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆+=1中，/制+|尸周=2a=6,又忸制=2归闾，所以学用

8、=6,因此|做|=4.故答案为：4【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.9. （2019上海高三二模）已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为2,且经过点（0,2）,则该椭圆的标准方程为.【答案】+-=154【分析】根据焦距和与y轴交点得到c,。，由求得/,进而得到标准方程.【详解】椭圆焦距为2：.C=又焦点在x轴上，经过点（0,2）：.b=2.-.a2=b2+c2=5椭圆的标准方程为二+±=154故答案为：+=154【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.10. （2019上海市向明中学高三三模）已知椭圆，+/=1焦点在x轴上，若椭圆上一点尸到

9、左焦点的距离I1=3,贝41鸟|=【答案】5【分析】根据椭圆的定义，|PF"+|PF2|=2o,求出结果即可.【详解】团椭圆工+¥=1,16b213当椭圆上的点P到它的左焦点距离是3时，点P到它的右焦点的距离是2。-3=2x4-3=5.故答案为：5.【点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程的应用问题，是基础题目.11. （2021上海高三专题练习）已知Fi,尸2是椭圆C：0+=1（4>8>0）的两个焦点，P为椭圆C上的一cTb点，且尸耳，尸死，若用的面积为9,则8=.【答案】3【分析】设伊用=小0闾=5，由椭圆的定义得到4+4=2。，根据尸匹_L尸鸟,得至厚+以=

10、短,进而求得格=2尸，结合：.角形的面积公式，即可求解.【详解】设怛耳|=小仍同=4，由椭圆的定义可得|尸6|+|飓|=4+4=,又由可得Y+4J%）可得2口=储+4）2-（厂+42）=42-4<；2=4，即任=2从，所以尸耳用的面积为56第=；楂=；x2b?=b）,又因为PKK的面积为9,即后=9,解得6=3.枚答案为：32212. （2020上海奉贤高三二模）已知尸为曲线：+=1上位于第一象限内的点，4、尸2分别为的两焦点，若/尸声人是直角，则点P坐标为【答案（&,#）/%+=2。【分析】若设尸（而,%）（%>0，%>0）,|“|=以归闻=，结合椭圆的定义和直角三

11、角形可得，加+2=”,inn=2cx0从而可求出,然后将的值代入椭圆方程中可求出方22【详解】解：曲线r：三+二=i是焦点在y轴上的椭圆，其中/=12,6=4,则/=8,得4124=26/=4,0=2&,设/>（.,%）（%>0,%>0）,|历|=同桃|=,因为N-P乃是直角，"z+=2a所以<加2+2=4/,mn=2cx0解得%=0,将/=及代入椭圆方程中得，1+普=1，解得为=灰（负根舍去）所以点的坐标为故答案为：（&,而）【点睛】此题考杳的是椭圆的定义和性质，属于基础题13. （2020上海杨浦高三一模）椭圆工 9+卜的焦点为E，%P为椭

12、圆上一点，若|尸娟=5,1）11 cos N耳PF2 =3【答案】|【分析】根据椭圆定义可得：|羽|+|尸闯=2凡|耳用=2百，在三角形gP鸟中由余弦定理，即可求得答案.【详解】.椭圆+=194可得:a=3,b=2,c=>/5.根据椭圆定义可得：|尸制+|段=2"6,忸用=2c=26,可得5+|图=2«解得:陶=2。-5=6-5=1在三角形州弘2中由余弦定理:cos"；/¥户剧:磐周：=2：+：0=（21PH卜PF22x5x15故答案为:1.【点睛】本题主要考查了山余弦定理解三角形，解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理，考杏分析能力和计算能力,属于

13、中档题.14. （2021上海长宁高三二模）设耳,鸟分别为椭圆:+y2=i的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点.若用5+义砧=6,且，>0,则实数a的值为.【答案】1【分析】由已知向量条件结合椭囤的对称性推出四边形片和8,定为平行四边形，可得不=此;即2=1.【详解】因为晤+2*=6,所以不=4瓯，所以KA8K，又；1>0,且A,8不是椭圆的顶点.根据椭圆的对称性可知，四边形定为平行四边形,如图：所以片4=68,所以了7=底，即4=1,故答案为：1.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.15. （2021上海黄浦高三三模）已知椭圆工+工=1的右顶点为A右焦点为&

14、#163;以A为圆心，/?为半径的圆43与椭圆相交于B,C两点，若直线BC过点F,则R的值为.【答案】2【分析】由对称性得弦8c是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得R.【详解】由已知42,0）,尸（L0）,因为8c过焦点尸，所以由对称性知8C_Lx轴，所以忸。=丝=±|=3,|陷=1,所以R =故答案为：f16. （2017上海高三一模）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60。的平面所截，截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于【答案】46【分析】利用已知条件，求出椭圆的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可.【详解】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成60。的平面所截，其截H是

15、一个椭圆,则这个椭圆的短半轴为R=2,长半轴为cos60-,-a2=b2+c2,，c="2-22=2g，椭圆的焦距为4百；故答案为：4也.【点睛】本题考杳了椭圆的简单性质，服点考查了运算能力，属基础题.17. （2019上海浦东新华师大二附中高三一模）椭圆W+2y2=l的焦距是.【答案】0【分析】把椭圆x2+2/=l转化为标准方程，然后求出其焦距.【详解】解：把椭圆K+2/=l转化为：/+丁=1,。=1,b=22得c卡考E2c=y/2.椭圆x2+2y2=l的焦距是：丘.故答案为：-J1.【点睛】本题考笠椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用.x=2cos818. （20

16、18上海浦东新高三二模）椭圆；屋.八（。为参数）的右焦点坐标为j=j3sin®【答案】（1,0）【解析】因为（y=2cos0r2 2鬲“所以彳+7=1因为c="=l,右焦点为(1,0).三、解答题19. （2017上海浦东新高三一模）已知椭圆C：5+'=l（a>6>0）的左、右焦点分别为斗鸟，过死的一条直线交椭圆于尸、Q两点，若APKK的周长为4+4正，且长轴长与短轴长之比为求椭圆C的方程；（2）若|和+霞卜|求直线2。的方程.22【答案】（1）土+二=1;（2）小土y-2&=084【分析】（1）根据椭圆的定义和已知AP6人的周长，可以得到等式，

17、根据长轴长与短轴长之比为应：1，再结合椭圆中a,Ac的关系，可以求出。*工的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出FI线PE的方程，化简降+而卜国，将直线P外的方程与椭圆的标玳方程联仁利用一元二次方程根与系数关系最后可以求出PQ的方程.【详解】由条件可知I：2a+2c=4+40，a:6=0:l，0a2-b2+c2.解得：a=2>/2,b=2,c=2,所以椭圆C的方程为土+上-=184（2）设直线P4的方程为:X="+2,P（X|，X）,Q（X2，），2）;因为肝+殴=耳。+而+郎+及=加+,所以|5+困=|国，所以OPLOQ.所以为+乂%=0,"2。X-V-,.1=1

18、/2八2dAIX-4-4,84=（厂+2）y-+4Zy-4=0,y+y2=-yyy2=-x=ty+2%+9+丫）2=（产+1）%必+2（/4+1）,%，解得：/=3=±也所以直线尸。的方程为JIr±y-2五=0.【点睛】本题考查了期圆的定义和标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量表达式的化简，考查数学运算能力.2220. （2020上海徐汇高三一模）设椭圆一一+与=1（m>0）的两个焦点分别是入、八，M是椭圆上/n"+1m"任意一点，回6的周长为2+20.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点8及椭圆右焦点尸2作一直线交椭圆

19、于另一点N,求/耳N8的大小（结果用反三角函数值表示）./3【答案】（1）y+y2=l；（2）Z/=；7VB=arctan-.【分析】（1）由周长公式计算机，求椭圆方程；（2）首先写出直线方程，并与椭圆方程联立，并求点N的坐标，并计算tanNNB的值.【详解】（1）山题意知，椭圆焦点在x轴上，设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为2a、2b、2c,则a=4府+1,b-m,c=l,由己知，2。+2c=2+2忘，J加+1+1=1+及，解得加=1,所以所求椭圆的方程为:+y?=l.（2）由（1）知，B（0,-1）,马（1,0）,所以直线的方程为y=x-l,-y=x-,、由/2解得N，于是=-4-y=1（

20、33）3I2-由于N48N=,且£8=0,所以由tan/耳帖=第=；,得N£NB=arctan；-21. （2020上海奉贤高三一模）平面内任意一点尸到两定点耳（-6,。）、6（6,。）的距离之和为4.（1）若点P是第二象限内的一点且满足质两'=（）,求点尸的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点M2,判别啊.弧是否有最大值和最小值，请说明理由？【答案】（1）;（2）有最大值4-（病+叫，最小值【分析】由椭圆的定义可以直接求出椭圆的标准方程.（1）根据数量积的坐标运算公式，得到等式，与椭圆的标准方程联立，解方程即可；（2）设出两点坐标，根据平面向量数量积的坐标表

21、示公式，结合点在椭圆上和椭圆的范围，可以求出啊瓯的最大值及最小值.【详解】因为42内，所以椭圆的定义可知：点尸的轨迹是以百（-6,0）、鸟（6,0）为焦点的椭圆，22a=4,c=Jina=2*=1,所以点P的轨迹方程为：+/=1.4.（1）设点P的坐标为：（%，%）（%。,0）,所以%-+y02=i所=（一为一天,一%）,%=（石-%一）,因为所比'=（）,所以（一6一%）（百一%）+%2=0,与江+城=1联立，解得一4V=1.为2=|X。0,%0X。=-半,%=亭，点P的坐标为卜手，用：（2）存在最大值和最小值，理由如下：根据题意，设“I、时2的坐标分别为：/（孙）,用2（-肛一），

22、PM=（mxQ9nyQ）,PN=（tnx0,ny0）»则PM,PN=（mx（i,ny0）（mxnyQ）=/nr+n而+y02=1,、3所以尸小川=/02+_m2-2,因为04/242,所以（两.成）g=4_（+2）,（丽丽）,而=1-（+/）.【点睛】本题考杳了椭圆的定义，考查了平面向量数量积的坐标公式，考查了椭圆的范围，考查了数学运算能力.技能专题练(能力题)一、单选题1. (2017上海交大附中高三一模)已知椭圆C:5+q=l,直线/：y=x-l,点P(1,O),直线/交椭圆C于A、B两点,则+|P网2的值为321324327330A.B.C.D.49494949【答案】B【详解

23、】设点45的坐标分别为(3,%),。2，%)，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点F(L0),此时直线y=经过点尸，可=+cx=2+X|t|尸邳=+=24X),所以1PA广+|Pfi|2=(2+J%)?4-(2+Xj)2=8+2(%+x2)+(x,+x2)2-2x,x2v=x-l88联立方程组2,得7/-8工-8=0,所以为+工2=丁中2=一三，1.43代入上式可得+|尸8/=8+2(%+%)+；8+电)2-2中21=管，故选区点睛：本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质，椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联汇,根据根与系数的关

24、系，利用韦达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.222. (2020上海高三专题练习)椭圆C：二+上=1的左右顶点分别为A，4,点P在C上且直线P4斜率的43取值范围是-2,-1,那么直线尸A斜率的取值范围是【答案】B【详解】设P点坐标为（x。,%）,则至+近=1,5=43%-幺R_323于是A.kr¥3,故后PA%"s¥44_444G33叫a、仪-2,-1水£.故选b.为84【考点定位】直线与椭圆的位置关系223.(2019上海高三模拟预测)已知48是椭圆E：0+斗=l(a>6>0)的左、右顶点，M是E上不同于ab4-48

25、的任意一点，若直线AM,的斜率之积为则E的离心率为。A.也B.C.-D.亚3333【答案】D4【分析】由题意方程可知，A(-a,0),8(a,0),设M*o，y。)，利用斜率公式以及直线AM,8M的斜率之积为-乱列式并化简得:薯3=-'<,再根据M在椭圆上可得下鼻=-与，联立可解得.天一a9苍一aa【详解】由题意方程可知,A(-a,0),B(a,0),设”(事,),，阳“="2，*“=一,x0+axoa则七七=一:，整理得：萼丁=一，Xq+ux0-a9片一储9又国+餐=1,得火=耳面_7),即a-ba-x-aa联立，得-与=一±即Zf，解得e=正.a29a29

26、3故选D.【点睛】本题考查了斜率公式椭圆的几何性质，属中档题.4. (2017徐汇上海中学高三模拟预测)设A,8两点的坐标分别为(-1,0),(1,0).条件甲：A、B、C三点构成以I3C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程/+2/=1(户0)的解，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】条件甲：A、8、C三点构成以田C为钝角的三角形，K对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2/=1("0)的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立.【详解】设C(x,y),条件甲：限8、C三点

27、构成以团C为钝角的三角形，0ACBC<00(x+1,y)(x-1,y)<0(32+/<1.其对应的图形是单位圆内的部分,条件乙：点C的坐标是方程、2+2/=1("0)的解，点c所而应的图形是椭圆/+十=1("°),这椭圆在单位圆内.所以条件乙能推出条件甲，反之不成立，则甲是乙的必要不充分条件，故选:B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查动点轨迹的判断，考查圆和椭圆的几何性质，属于中档题.5. (2021上海师范大学第二附属中学高三月考)设耳,人是椭圆工+=1的两焦点，A与8是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，。是坐标原

28、点，记s=2而。-肝-哥.在动点尸在第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到8的过程中，s的大小变化情况为()A.逐渐变大B.逐渐变小C.先变大后变小D.先变小后变大【答案】B【分析】设P(x,y),然后由向量数量积的坐标表示求出s为X的函数后，根据函数性质可得结论.【详解】设P(x,y),由椭IM1方程知平一石,0)石(6,0),s=2OP2-FPFP=2(x2+y2)-(x+45,y)x-y/5,y)=2(x2+y2)-(x2-5+y2)=x2+y2+5X'+ 5 = #+9,随x的减小而变小,故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础.6.

29、 (2019上海青浦高三一模)长轴长为8,以抛物线y?=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为()【答案】D【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b,即可得到椭圆方程.详解】抛物线V=12x的焦点(3,0),长轴长为8,所以椭圆的长半轴为：4,半焦距为3,则匕=/诏万=/.）2所以所求的椭圆的方程为：+=1167故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.二、填空题227.（上海高三三模（理）椭圆J+J=l（a>0）的左焦点为尸，直线"皿与椭圆相交于点AB,当AE4346r3b-的周长最大时，的面积是.【答案】3=三经说【

30、解析】试题分析:设椭圆的右焦点为，因为应市7=.窿1r，所以用图三派豌，'与且仅当城声。激三点共线时取等号，此时AM8周长为嚣=笈点聿出演七公步出升公WF=酶,取到最大值，这时-三角形的面积为豺=例士Vq小病独考点：椭圆的定义和几何性质.8. （2020上海高三模拟预测）如图，一个球形广告气球被一束入射角为酬QP的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是m2.K4r-f-t*757r【答案】丁试题分析：由椭圆的最长的弦长为T米，知椭圆的2a=5,设气球的半径为R,入射角为物胖的平行光线与底面所成角就为60。，则有2asin600=2K,即代=

31、也,从而'U求的表面积为4万2=冬病.44考点：球及球的表面积计算.9. （2。”,上海杨浦,高三一模）已知点5D是椭圆;+y、l上的两个动点，且点此。,2）,若丽"碇'则实数儿的取值范围为【答案】今，3【解析】当直线斜率存在时，设过点M(0,2)的线方程为1区+2,联江方程/2，整理可得(1+4公)x2+166+12=0,则=(16%)2-4x(1+4/)x1220,BH2>-设C(X1,%),D(x2,y2),则飞+巧=一MD=AMC0X1=Ax2|6，2(1+外2-16k、2l+4k2_64k264_团(1+m”一,U2)2-A=,即-J-1+4二X12-

32、3(l+4fc2)-TX1+4K1+42'7-7当直线斜率不存在时，则过点M(0,2)的直线方程为x=0,此时C(0,l),D(0,-l),或C(0,-l),0(0,1)当C(0,l),。(0,-1)时，2=3；当C(0,-l),0(0,1)时，4综上，§4243故答案为耳,3点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现丽=义就，可以得出占=24，结合韦达定理找到4与火之间的关系，再利用ANO建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.10. (2018上海普陀高三二模)在平面直角坐标系宜为中，直线/的参数方程为%(为参数)，X=

33、COSy = sin椭圆C的参数方程为1.八(。为参数)，则直线，与椭圆C的公共点坐标为.【答案】(-孝，孝)【详解】直线/的参数方程x也.巨2 L 化为普通方程可得x-2y + & = 0,椭圆C的参数方程， 凡V =t4x = cosOy = sinO2化为普通方程为V+4y=1,联立x-2y+&=0Hx2+4y2=i,解得工=一也，丫=显,所以直线/与椭圆C2“4的公共点坐标为-等，乎»故答案为V2T11. （2018上海虹口高三二模）椭圆的长轴长等于机，短轴长等于n,则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为.【答案】mn【解析】由题意，椭圆的标准方程为卷+卷=1,矩

34、形第一象限内的一点为（cosmsin。），44所以矩形面积S=4xycos0xsin0=mnx|sin20,所以Smax=加儿点睛：本题考查椭圆的应用.本题中利用三角换元进行解题.三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧，在解决最值问题中，往往能起到很好的效果.本题利用三角换元就得到s=4xycos0xsin6=mnxgsin2J,显然Smax=1m儿2212. （2016上海虹口高三二模（理）如图，A、B为椭圆,+方=1（"。0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作X轴的垂线与其交于点C,若AB12OC（。为坐标原点），则直线AB的斜率为.【答案】2方2【分析】由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F

35、作x轴的垂线,求得4-。,0）,3（0,6）。（?,一）,根据的比,a求得h=C,进而得到4=后，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆马+"=1（。60）,过椭圆的右焦点F作x轴的垂线与其交于点C,ab可得A(-a,O),8(0,b),C(c,),a匕又由ABOC,可得2=2，整理得税=从，即6=c,ac又由=2尸=>。=伤，所以直线A3的斜率为k=2=与=也.ayJ2a2故答案为变.2【点睛】本题主要考查J'椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13. (

36、2021宝山上海交大附中高三开学考试)已知椭圆三+y2=l的左、右焦点为入，F2,点P为椭圆上4动点，则质声耳的取值范围是.【答案】-2,1【分析】设P(x,y)为椭圆上任意点，根据向量数量积运前求西.房，利用二次函数求值域即【详解】设洋x,y)为椭圆上任意一点,则而=(-V3-x,-y),M=(y/3-x-y),._a_丫2Rc所以PF、PF2=(-V3-x,-y)-(>/3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1=-x2-244因为P在椭圆上，所以-2KxW2,所以-241炉-241,4即对理的取值范围是-2,1故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质

37、，属于中档题.14. (2017上海高三二模)设A是椭圆+<=l(a>0)上的动点，点F的坐标(-2,0),若满足|AF|=10aa-4的点A有且仅有两个，则实数。的取值范围为【答案】(8,12)【分析】椭圆£+¥=1("0)，长轴为2a,焦距为4,F(-2,0)为椭圆的焦距，满足|”曰0点A有且CT，厂一4只有两个，可得。-2<|AF|va+2,即可得出结论.【详解】由题意,尸为椭圆的焦点,因为满足|AF|=10的点A有且仅有两个,所以a-2VA尸K0+2,即。一2<10<。+2,解得8<a<12.故答案为：（8,12）

38、【点睛】本题考查椭圆的焦半径取值范围，解题的关键要确定出点尸是焦点，属于中档题.15. （2017徐汇上海中学高三模拟预测）抛物线片x2-2xsina+l的顶点在椭圆myl上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是.【答案】（0,1）【分析】根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos2a=0或cos2a=,，又因为对应m的5/7?a有2个不同的值，所以看到co52a=,无解，进而得到答案.m【详解】由题意可得：抛物线片%2-2X5MQ+1的顶点坐标为：（5/力叫cos2a）,因为抛物线y=x2-2xs/na+l的顶点在椭圆x2+m/=l上，所以将顶点代入椭圆方程可得：5

39、苏a+mco5%=l,即mcosAa=cos2a,解得：cos2a=0或cos2a=,m因为这样的抛物线有且只有两条，所以对应的sina有2个不同的值，所以cos2a=无解，即0vme1.m故答案为：（0.1）.【点睛】本小题主要考查抛物线顶点坐标，考查特殊角的三角函数值，考杳三角函数的值域，属下中档题.16. （2017徐汇上海中学高三模拟预测）已知椭圆4/+/2-8区-4.+8二-4=0（女为参数）,存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于石，求直线方程.【答案】石【分析】先判断出椭圆4/+9-8H-4h+8&、4=0”为参数）表示中心在直线y=2x长轴长和短轴长分别为

40、4,2的一组椭圆，判断出符合条件的直线需要与直线y=2x平行，设出直线方程，先利用个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，再证明对于所有的椭圆都满足条件.【详解】解:椭圆4/+/_8丘_46+8公一4=0（%为参数）可化为"一修?=1,所以4/+y2-8H-4+8&2-4=0表示中心在直线丫=2上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭网，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线/与直线y=2x不平行，则必定存在椭圆与直线/不相交，于是，设所求直线的方程为y=2x+%,因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于逐，则直线y=2x+b与椭圆V+=1所得到弦长为石，设4弦

41、的两端点为A（x，y）,832，%），J"?*,b人4由，、y2得8厂+4瓜+力-4=0,所以+工2=，XjX2-，x+=12“8所以|A同二川+2?J（X+占1-48七=小，即（一§）-4x"8f=1,解得力=±2,设立线y=2x+2与椭圆4/+/一8履-4h+8公-4=0（左为参数），相交所得的弦长为d,弦的两端点为:则由尸+广诋-38&、4=0得次+（8.原卜+如-8&=0,y=2x+2所以弓+4二2左-1,x3x4=k2-k,因此d=J1+2?血+匕）2_4呼4=由J（2k-1）2_4仅、8k）=g所以直线y=2x+2与椭圆4/+

42、y2-8日一4h+8公一4=0伏为参数）相交所得的弦长为君.同理可证,对任意KwR,椭圆4/+y2-8h-4外+8产4=0”为参数）与直线y=2x-2相交所得弦长为逐.【点睛】本题主要考查由椭圆的弦长求弦所在直线方程的问题，熟记椭圆的弦长公式，以及直线与椭圆位置关系即可，属于常考题型.17. （上海普陀高三三模）设点尸是椭圆+9=1上异于长轴端点的一个动点，片、入分别为椭圆的左、4右焦点，0是坐标原点，若/是NKP6的平分线上一点，且片“，叱，则|两|的取值范围是.【答案】0,6）【分析】设点尸隹第象限，延长PE，6M交卜点N,rhMP是N-尸鸟的平分线，且甲/可得|M|=|PN|,因M|=|

43、MV|,结合QM是a/N的中位线，可得|0叫=3|用"=，|尸用-|用），结合椭圆的定义,可得到|。"|=2-|飓然后求出|产用的取值范围可得到|西|的范围.【详解】设点P在笫象限，延长尸鸟，交于点N,因为MP是6的平分线，且耳加，MP,所以|P£|=|PN|,|4M|=|MZV|,则。M是a/N的中位线，可得|。叫=3优%|=：(|尸'卜归国)=；(1尸用-归功)，由椭圆的定义知，|制+|朋|=4,则|同=4-|尸局,所以叫=3(附H*)=；(4-2附|)=2-|尸周，因为P在第一象限，且不在长轴端点，所以a-c|P段%即2-6俨用2,若点户在短轴端点，

44、可得归周=2,所以2-石|尸国42,即042Tp用6,即04|两'"根据对称性可知，点尸在异于长轴端点的任意一点，04|两|百都成£故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的性质，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.18. (2020上海普陀高三一模)设椭圆：5+y2=l(al),直线/过的左顶点A交轴于点尸，交于点、Q,若AAOP是等腰三角形(。为坐标原点)，且而=2丽，则的长轴长等于.【答案】2石【分析】如图所示，设Q(%,%).由题意可得：A(-a,0),尸(0m).根据夙=2函，可得%,九.代入椭圆方程解得。，即可得出.【详解】解：如图所示，设

45、。(x°,%),由题意可得:A(-a,0),P(0,a).PQ=2QA,'（%,%-=2（一",一%）,2aa毛=-3*%代入椭圆r方程可得：+：=】，解得。=逐.，的长轴长=2遥.故答案为：2石.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19. (2020上海徐汇位育中学高三期中)已知写、尸2是椭圆C：+?=l(a>G)的左、右焦点，过原点。且倾斜角为60。的直线与椭圆C的一个交点为M,若|砒+R砥-丽则椭圆C的长轴长为【答案】2,3+2222a2【分析】由题意设直线为y=6x，代入=+匕=1,求得根据

46、31+1+。-M+砥R砒-丽I，得到2网卜窃,将M的坐标代入求解.【详解】设直线为=瓜，代入鸟+凹=1a3解得X?=7，丁,丁1+Q-1+Q-因为I碗+丽1=1丽一丽'I,所以。？丽1=就，所以4a2 3a27-*7 + cr 1 + 6T又因为。2=从+自从=3,解得/=3+26.所以椭圆C的长轴长为W3+26.故答案为：2,3+2为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查运算求解的能力，属于中档题.20. （2017上海松江高三一模）设P（x,y）是曲线C:店+后=1上的点，耳（。），月（4,0）,则归用+归用的最大值为.【答案】10【分析】作出曲线C和椭圆

47、三+二=1的图象,延长耳p交椭圆于点M,可得出|M4|+|咋|=10,由三角形三边关系得出归国+|"K|M|+|m段=1（），当且仅当点尸为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出怛制+|尸闾的最大值.【详解】曲线c的方程为®+®=i,作出椭圆工+£=i和曲线c的图象如卜.图所示：53259则点6、6分别为椭圆二+1=1的左、右焦点，由椭圆定义得|A闺+|M闾=1。.延长甲5交椭圆于点M,当点尸不在坐标轴上时，由三角形三边关系得段仍用，所以，|尸制+仍闻忸耳|+|网+|峭|=|岫|+阿同=10：当点P为椭圆C的顶点时=10.综上所述，I尸耳|+|飓区10,因此

48、，|尸耳|+|尸闻的最大值为10.故答案为10.【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2221. （2017上海黄浦高三一模）已知点QAB,尸分别为椭圆C:=+=l（a">0）的中心、左顶点、上顶ab点、右焦点，过点尸作08的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若丽=4加，则实数/I的值为.【答案】夜分析1先分别求出各点坐标，由通=痂可得AB/方，因此可解得=3则a=任.即可求得之【详解】由题，则。（0,0）,A（-a,0）,B（0,b）,1（c,0）,方2过点F作08的平行线

49、，交椭圆C在第一象限部分丁点P,将x = c代入鸟+ a- b=1中可得.y=2,即尸为所以而=（a,。）,而=（c§）,因为福=2而,所以福丽，则儿="包,即”"所以a=缶，a又有a=Ac,所以2=>/2,故答案为：0【点睛】本题考杳椭圆的几何性质的应用，考查平面向量共线定理的应用22. （2018上海市南洋模范中学高三三模）如图，点P（x,y）（x>0,y>。）是双曲线二-£=1（a>0,b>0）crb上的动点，大、人是双曲线的焦点，M是NF/K的平分线上一点，且晒丽=0,某同学用以下方法研究|OM|：延长6M交尸耳于点

50、N,可知XPNF1为等腰三角形，且M为鸟N的中点，得10W|=g|N用=a,类似地：点P（x，y）（x>0，y>0）是椭圆二+耳=1（。>>0）上的动点，TK椭圆的焦点，m是4P6a的平分线上一点，且砂丽=0则|OM|的取值范围是【答案】(0,五-方)【分析】利用M是13F1PF2平分线上的一点，且F2MMP,判断0M是三角形FN的中位线，把。M用PFi,PE表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出。”的范围.【详解】如图，延长交PFi与N点，团PM是团&P&平分线，且询标=0,且F2MBMP，PN=PF2,M为

51、F2N的中点，连接。/W,0O为尸赤中点，M为FzN中点,OM=F1N=PF1-PN=PF1-PF2团在椭圆。+4=1(a>b>0)中，b设P点坐标为(xotyo)贝|JIPFiI=o+exo,PFi=0-exo»2c0|PFi|-|PF2|=|a+ex0-a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|=一|xo|,a即有10Ml=£|xo|,a即点在椭圆4+与=1(o>b>0)h,a'blS|xo|E3(0,a,又回当|刈|=。时，FzMBMP不成立，Gl|xo电(0,a),0|O/W|0(0,c)=(0,y/a2-b2)-故答案为：(0,Ja2

52、b2).【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.23.(2。2。上海长宁高三三模)已知椭圆(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),。为坐标原点,点A是椭圆在第一象限的一点，且AOA尸为等边三角形，则。=【答案】县止【分析】AQ4F为等边三角形,。尸=。耳=。4=1得到是直角.：角形，求出4%利用椭圆定义求出。.【详解】如图AQ4/为等边:角形，。尸=。耳=。4=1得到AAF尸是直角：.角形,-,-FXF=2,AF=,AFt=43山椭圆定义得：2a=AFAF=43+1G+l/.a=2故答案为："+【点睛】本题考直

53、利用椭圆定义求参数值.椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.三、解答题2224. （2020上海松江高三一模）已知椭圆匚=+%.=1（"。0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴a'b"长的五倍，直线/交椭圆于不同的两点M和N,（1）求椭圆厂的方程；（2）若直线/经过点P（0,4）,且aOMN的面积为2&，求直线/的方程：（3）若直线/的方程为y=h+«%H。），点M关于x轴的对称点为“，直线MN,分别与x轴相交于P、Q两点，求证：IOPIIOQI为定值.【答案】（1）二+t=

54、1;（2）y=±巫x+4：（3）证明见解析.84,2【分析】（1）根据题意，结合“，6，c的关系即可求得椭圆的方程；设出宜线/的方程为丫=丘+4,与描网方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出aOMN的面积并等于20，求解上的值，即可得直线/的方程；（3）由已知得”的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令y=。，求出x,即可得IOQI,并根据直线方程求出1。尸1,然后相乘代入化简即可.【详解】解：（1）由题意得a=。2-廿=4,解得a=20，8=2,所以椭圆的方程为土+匕=1.84（2）设点M,N的坐标为（5%）、N（乙,%），由题意可知，直线/的斜率

55、存在设直线/的方程为y=h+4.y=fcr+4由方程组4*22,得（1+2公口2+16米+24=0+=1I84咐”上16k24所以再+"一由*"不后Somn=；,4.|占-&|=2/（xi+jc2）2-4%1x,=金厂=2&ZI+解得左=土如同直线/的方程为丫=土恒x+4(3)由题意知”点的坐标为22将丁二丘+，代入土+"=184得：Qk+1)x+4Azx4-2/8=0,0x)+x24kt2产一 82tX+%=%(X+%)+2/=3+对于直线y=+r,令y=o得x=-(0|。臼=1-对于直线“N：y-y2=y2+y'(x-x2),令y=。%X得r=一%(-当)+*=再必+必=，(5+»)+的+/)%+为2K+%力+M2烟x,+/(内+%)8Z8k=_"=，倒|0Q上y2+mttOP-OQ=-j-y-=8.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件：(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三